专题03二次函数多结论问题和待定系数法-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（湖北专用）

专题03 二次函数多结论问题和待定系数法 二次函数多结论问题 1．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，二次函数的图象的对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③是抛物线上两点，则；④对于任意实数，都有．其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）下列关于抛物线（a是常数，且）的四个结论：①开口向上；②一定经过点；③最小值是；④若两点在抛物线上，则．其中正确的个数是（    ） 3.（23-24九年级上·湖北恩施·期末）抛物线的对称轴是直线，它与x轴交于，其中，下列四个结论：①；②；③ 点在抛物线上，当时，则；④ 关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有3个，其中正确的有(    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①； ②； ③方程的两个根为，； ④抛物线上有两点和，若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线经过点，且满足．下列四个结论： ①抛物线的对称轴是；②b与c同号； ③若，则不等式的解集； ④抛物线上的两个点，，当，且时，． 6.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）二次函数（，是常数，的图象过点．现有以下结论： ①； ②若，则随的增大而增大； ③若该抛物线过点，在抛物线上，则在时，； ④若该抛物线与直线没有交点，则； 其中，正确的结论是 ． 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）二次函数（，，均为常数，且）的图像经过点，点，则下列结论： ①； ②； ③若点，在抛物线上，若，则； ④若关于的方程没有实数根，则． 其中结论正确的序号是 ． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数（，为常数且）经过，且，下列结论：；；若关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个；当时，二次函数的最大值为，则. 其中一定正确的有 .（填序号即可） 9．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）已知抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间，则下列结论： ① ； ②； ③若该抛物线经过点，，则 ④若关于x的一元二次方程 无实数根，则． 其中正确的结论是 ．(只填序号) 10．（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论①；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论是 ． 11．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过两点，且．下列四个结论： ①；②若,则； ③若两点在抛物线上，，且，则； ④当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 其中正确的是 （填写序号）． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数的图象过定点，，下列结论： ①当时，该函数图象的顶点坐标为；②该函数图象与x轴始终有两个不同的交点；③当时，该函数在时，y随x增大而增大；④该函数图象截x轴所得线段长度小于．其中正确的结论是 ．（只填序号） 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）对于拋物线．下列四个结论：①若，则拋物线的对称轴为；②若拋物线经过点，且，则；③若，当时，总有随的增大而减小，则；④关于的方程有两个正根，，且，若，则．其中正确结论的序号是 ． 14．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）二次函数（，，为常数，）中的与的部分对应值如下表： 下列结论： ①； ②若，则该函数的图象与轴没有公共点； ③当时，若，则的值随值的增大而增大； ④当时，关于的一元二次方程的解是，． 其中正确的是 （填写序号）． 15．（23-24九年级上·湖北·期末）已知抛物线，下列说法： ①抛物线与轴必有两个交点；②若抛物线经过两点，则；③若抛物线与轴两个交点的距离大于4，则；④若抛物线经过位于对称轴两侧的两点，且，则．其中一定正确的结论有 （填写序号即可）． 待定系数法求二次函数解析式 1．（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； (3)如图2，若点是的中点，点是抛物线上一点，其横坐标为，试探究是否存在点，使？若存在，求出的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过程）；若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，如果，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴正半轴交于，（点在点的左边）两点，与轴正半轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点作轴，交抛物线于另一点，是下方抛物线上一点，过点作于点，求的值： (3)如图，是直线下方的抛物线上一点，交抛物线于另一点，直线，交于点．若的面积为，求点的坐标． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴的公共点是，求这条抛物线的顶点坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数多结论问题和待定系数法 二次函数多结论问题 1．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，二次函数的图象的对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③是抛物线上两点，则；④对于任意实数，都有．其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线， ， ，故①正确； 时，函数值与时相等， 由图象知，时，， 时，，故②正确； ，函数图象开口向上， ，故③错误； 当时，为二次函数最小值， 对于任意实数，都有， ，故④正确； 即正确的有3个， 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）下列关于抛物线（a是常数，且）的四个结论：①开口向上；②一定经过点；③最小值是；④若两点在抛物线上，则．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线（a是常数，且）的开口向上，故①正确； ∵时，， ∴抛物线（a是常数，且）一定经过点，故②正确； ∵（a是常数，且）， ∴函数的最小值是，故③正确； ∵（a是常数，且）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵两点在抛物线上，且， ∴，故④正确． 故选：A． 3.（23-24九年级上·湖北恩施·期末）抛物线的对称轴是直线，它与x轴交于，其中，下列四个结论：①；②；③ 点在抛物线上，当时，则；④ 关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有3个，其中正确的有(    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的二次函数的性质判断各项中的结论是否正确即可． 【详解】解：∵，对称轴是直线， ∴ ， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，即； 故①正确，②错误； ③由①知，抛物线开口向下， ∴当时，y随x增大而增大， ∵对称轴是直线， ∴当时，， 故③正确； ④根据抛物线可知， 若有整数根，则两个根分别为和0，或和， 故P的值有2个，故④错误， 故选：B 4．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（    ） ①； ②； ③方程的两个根为，； ④抛物线上有两点和，若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向和与y轴交点可判断出a，c的正负即可对①作出判断，利用抛物线与x轴的交点和对称轴可得出时，即可对②作出判断；由对称性可对③④作出判断，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：抛物线开口方向向下， ， 抛物线交y轴于正半轴， ， ，故①正确； 抛物线对称轴为直线，时，， 时，， ，故②错误； 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 方程的两个根为，，故③正确； ， 两点分布在对称轴的两侧， ， 到对称轴的距离等于到对称轴的距离， ，故④正确， 综上所述正确的有：①③④，共有3个， 故选：C． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线经过点，且满足．下列四个结论： ①抛物线的对称轴是；②b与c同号； ③若，则不等式的解集； ④抛物线上的两个点，，当，且时，． 其中一定正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数图像及性质．根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴对称轴为：， 故①正确； ∵满足， ∴抛物线经过， ∵对称轴为：， ∴抛物线经过， ∴图像有两种情况： ①当时，，此时， ②当时，，此时， ∴b与c同号， 故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵由②知，b与c同号， ∴， ∴， ∵整理得：， 用反证法时，不成立， 故③不正确； ∵抛物线上的两个点，，当，且时， ∴，解得：， 故④正确， 故答案为：①②④． 6.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）二次函数（，是常数，的图象过点．现有以下结论： ①； ②若，则随的增大而增大； ③若该抛物线过点，在抛物线上，则在时，； ④若该抛物线与直线没有交点，则； 其中，正确的结论是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．先求出，可得，故①正确；再求出抛物线的对称轴为直线，可得若，则随的增大而增大，故②正确；求出抛物线的解析式为，可得当时，函数有最小值，最小值为，从而得到时，，故③正确；，由该抛物线与直线没有交点，可得，从而得到，故④正确． 【详解】解：∵二次函数的图象过点． ∴，即， ∵， ∴， ∴，故①正确； 根据题意得：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴若，则随的增大而增大，故②正确； ∵该抛物线过点，在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，函数有最小值，最小值为， ∴时，，故③正确； 联立得∶，即， 整理得：， ∵该抛物线与直线没有交点， ∴， 解得：，故④正确； 故答案为：①②③④． 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）二次函数（，，均为常数，且）的图像经过点，点，则下列结论： ①； ②； ③若点，在抛物线上，若，则； ④若关于的方程没有实数根，则． 其中结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由且A、B两点位于y轴两侧，可判断①；由对称轴为，可得，把代入抛物线的表达式中可判断②；由可知可能在A、B之间，也可能在B点右侧，而在B点右侧，分两种情况讨论，可判断③；由方程没有实数根可得，由此可判断④． 本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图像与系数的关系．二次函数系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴交点． 【详解】∵, ∴抛物线开口向下， 又∵抛物线与x轴的两个交点、位于y轴两侧， ∴， 故结论①正确； ∵抛物线的对称轴为 ∴， 由可知时，， ， ， 故结论②错误； ∵ ∴可能在A、B之间，也可能在B点右侧，而在B点右侧， ， 当点在A、B之间时，此时； 当在B点右侧时， 此时、都在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴， ∴当时，， 故结论③正确； 若关于x的方程没有实数根， 则， ， ， 故结论④正确． 综上，正确的有①③④ 故答案为：①③④ 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数（，为常数且）经过，且，下列结论：；；若关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个；当时，二次函数的最大值为，则. 其中一定正确的有 .（填序号即可） 【答案】///// 【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，，则，根据得，根据，得，根据得，则，即可判断正确，根据，得，即可得点在轴的下方，根据抛物线的对称轴为直线，，得抛物线与直线交点的横坐标为整数的有，则关于x的方程有整数解，则符合条件的的值有个，故正确；根据抛物线对称轴为直线，与轴的交点为，得抛物线过，根据当时，二次函数的最大值为得或，即可得；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴正确， ∵，， ∴， ∴点在轴的下方， ∵抛物线的对称轴为直线，，， ∴抛物线与直线交点的横坐标为整数的有， ∴关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个， 故正确； ∵抛物线对称轴为直线，与轴的交点为， ∴抛物线过， ∵当时，二次函数的最大值为，且， ∴， ∴， 故错误， 综上，正确， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）已知抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间，则下列结论： ① ； ②； ③若该抛物线经过点，，则 ④若关于x的一元二次方程 无实数根，则． 其中正确的结论是 ．(只填序号) 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握性质是解题的关键，根据顶点坐标，根的判别式，点到对称轴的距离大小比较计算判断即可． 【详解】∵抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间， ∴，，，， ∴，，， ∴， 故①正确；②错误； ∵，，距离对称轴越远，函数值越小， ∴， 故③正确； ∵关于x的一元二次方程 无实数根， ∴， ∴， 即 ∵， 则． 故④错误； 故答案为：①③． 10．（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论①；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，开口方向判断①，与轴的交点个数，判断②，特殊点判断③，最值判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴；故①正确； ∵抛物线与轴没有交点， ∴；故②错误； ∵顶点坐标为，图象过， ∴， 两式相减，得：， ∴；故③正确； ∵当时值最小， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 11．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过两点，且．下列四个结论： ①；②若,则； ③若两点在抛物线上，，且，则； ④当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题综合考查了二次函数的图象与性质，掌握相关函数结论，利用数形结合的数学思想是解题关键．①求出抛物线对称轴直线的范围即可判断；②先求出对称轴，再根据当时，即可判断；③，分别判断各因式的正负即可；④抛物线过可得，求出的取值范围，利用数形结合的数学思想即可判断． 【详解】解：∵抛物线过两点，且， ∴ ∵抛物线的对称轴为直线， ∴ ∵抛物线开口向下， ∴ ∴，故①正确； 若,则， ∴ ∴ ∵当时，， ∴ ∴，故②错误； ∵若两点在抛物线上， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 由①得： ∴ ∴ ∴，故③正确； ∵抛物线过， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 由①得， ∴ 即：抛物线与轴必定交于点的上方，如图所示：    则抛物线与直线必有两个交点， 即：关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根 故④正确； 故答案为：①③④ 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数的图象过定点，，下列结论： ①当时，该函数图象的顶点坐标为；②该函数图象与x轴始终有两个不同的交点；③当时，该函数在时，y随x增大而增大；④该函数图象截x轴所得线段长度小于．其中正确的结论是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．①利用待定系数法求得，设，则，，则二次函数的解析式为，把，即代入求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②求得判别式的值，即可判断；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④令函数值为0，求得与轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题． 【详解】解：∵二次函数的图象过定点，， ∴，解得， 设，则，， ∴二次函数的解析式为， 当，即时，则，， ∴， 顶点坐标是；①正确； ∵， ∴该函数图象与x轴始终有交点，②不正确； 当即时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的左边随的增大而增大． 因为当时，， ∴该函数在时，y随x增大而增大；③正确； 令，有， 解得：，， ， 所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，④错误； 综上，正确的结论有①③． 故答案为：①③． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）对于拋物线．下列四个结论：①若，则拋物线的对称轴为；②若拋物线经过点，且，则；③若，当时，总有随的增大而减小，则；④关于的方程有两个正根，，且，若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称轴公式，判断①；将点，代入解析式，结合，判断②；根据抛物线的开口方向和增减性判断③；根据抛物线与一元二次方程的关系，判断④．掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 【详解】解：，对称轴为，故①正确； 抛物线经过点， ， ， ∴， ，故②正确； ，当时，总有随的增大而减小， ， ，故③错误； ， ∴， ∵关于的方程有两个正根，， ， ，， ∵， ，， 当时，， ，故④正确． 综上所述，①②④正确． 故答案为：①②④． 14．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）二次函数（，，为常数，）中的与的部分对应值如下表： 下列结论： ①； ②若，则该函数的图象与轴没有公共点； ③当时，若，则的值随值的增大而增大； ④当时，关于的一元二次方程的解是，． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】 本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数图像的性质，对称轴，判别式，抛物线与轴的交点，是解答本题的关键． 根据题意，可以得到；再利用判别式时，分，二种情况讨论，由此得到；当时，抛物线开口向上，故在对称轴的右侧，的值随值的增大而增大；通过将关于的一元二次方程变形为：，探讨一次函数与二次函数图像交点的情况，得到关于的一元二次方程的解是，，由此得到答案． 【详解】解：由已知条件得： ①当时，， 故①正确，符合题意； ②根据题意， 函数的对称轴为直线， 即，， 时，， 由①知， ，即， 该函数的图象与轴没有公共点，即， ， 当时， ，即， 解得； 当时， ，即， 此时，不等式无解； 时，函数的图象与轴没有公共点， 故②错误，不符合题意； ③当时，抛物线开口向上， 故在对称轴的右侧，的值随值的增大而增大， 若，则的值随值的增大而增大， 故③正确，符合题意； ④关于的一元二次方程变形为： ， 即探讨一次函数与二次函数图像交点的情况， 当时， 即，二次函数，一次函数， 当时，二次函数，一次函数， 即，为一次函数与二次函数图像的两个交点， 关于的一元二次方程的解是，， 故④正确，符合题意， 综上，①③④正确， 故答案为：①③④． 15．（23-24九年级上·湖北·期末）已知抛物线，下列说法： ①抛物线与轴必有两个交点；②若抛物线经过两点，则；③若抛物线与轴两个交点的距离大于4，则；④若抛物线经过位于对称轴两侧的两点，且，则．其中一定正确的结论有 （填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】当时，，则，可判断①的正误；由抛物线经过两点，可知关于直线对称，则，计算求解，可判断②的正误；设是的两个根，则，，由抛物线与轴两个交点的距离大于4，可得，计算求解，可判断③的正误；由抛物线经过位于对称轴两侧的两点，且，可得，，计算求解可判断④的正误． 【详解】解：∵， 当时，， ∴，抛物线与轴必有两个交点，①正确，故符合要求； ∵抛物线经过两点， ∴关于直线对称， ∴， 解得，，②正确，故符合要求； 设是的两个根， ∴，， ∵抛物线与轴两个交点的距离大于4， ∴， 即或，③错误，故不符合要求； ∵抛物线经过位于对称轴两侧的两点，且， ∴，， 解得，，④正确，故符合要求； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的图象与性质，完全平方公式的变形，一元一次不等式组的应用等知识．熟练掌握抛物线与轴的交点，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的图象与性质，完全平方公式的变形，一元一次不等式组的应用是解题的关键． 待定系数法求二次函数解析式 1．（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； (3)如图2，若点是的中点，点是抛物线上一点，其横坐标为，试探究是否存在点，使？若存在，求出的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过程）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2) (3)在抛物线上存在点，当或时，使． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接由对称性可得，则当P、B、C三点共线时，有最小值，即此时有最小值，求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案； （3）如图所示，取点，连接，求出，证明是等腰直角三角形，得到，则射线与抛物线的交点即为点N的位置，同理取，可证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：把、代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，连接 点B与点关于对称轴对称， ， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 在中，当时，， ∴ 设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线的解析式为， ， 对称轴为直线， 将代入得，， ； （3）解：存在点，使． 如图所示，取点，连接， ∵，点M为的中点， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴射线与抛物线的交点即为点N的位置， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴； 同理取，可证明， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴； 综上所述，当或，． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，如果，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与线段及特殊四边形的综合问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据抛物线与轴的交点，利用交点式即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，表示出即可求解； （3）分类讨论为平行四边形的对角线时为平行四边形的对角线时为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的解析式为： （2）解：如图所示：    令，可得， ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴ 解得： ∴点的坐标为或 （3）解：由两点可得抛物线的对称轴为：直线， 设 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 综上所述，点的坐标为 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴正半轴交于，（点在点的左边）两点，与轴正半轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点作轴，交抛物线于另一点，是下方抛物线上一点，过点作于点，求的值： (3)如图，是直线下方的抛物线上一点，交抛物线于另一点，直线，交于点．若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）求出点坐标，设点的坐标为，利用坐标表示出、、， 代入算式计算即可求解； （）过作轴交于点，设点，的横坐标分别为，，利用待定系数法分别表示出直线、直线、直线的解析式，通过联立函数解析式得到一元二次方程求出点的横坐标，再通过的面积为求出点的纵坐标即可求解． 【详解】（1）解：（）抛物线经过点，， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：轴， ， ， ，， ， 设点的坐标为， ， ， ，，， ； （3）解：过作轴交于点， 当时，， ，， ， ， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 设点，的横坐标分别为，， 联立和得，， ， ， 设直线的解析式为， 联立和得，； ， ， 直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 由①②③，得， ，， 轴， ，， ， ，， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴的公共点是，求这条抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，配方法求顶点坐标，掌握待定系数法求解析式，配方法的运用是解题的关键． 运用待定系数法求出的值，再求出抛物线的解析式，运用配方法即可求解． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 解析式为：， 配方得：， 顶点坐标为：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$