26.3.1 二次函数的实际应用 课件 2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第26章　二次函数　 26.3 实践与探索 　 华师大版-数学-九年级下册 第1课时 二次函数的实际应用 　 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 3.会运用二次函数解决抛物线型问题. 【重点】能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值. 【难点】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，在解决问题的过程中体会数形结合思想． 新课导入 生活中有哪些场景可以让你联想到抛物线？ 新课导入 复习导入 回顾：根据自变量的取值范围求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值. （1）当自变量的取值范围是全体实数时， 解:若a＞0，则在顶点处取得最小值，此时不存在最大值； 若a＜0，则在顶点处取得最大值，此时不存在最小值． 新知探究 （2）当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时， 解:ⅰ若在自变量的取值范围x1≤x≤x2内， 最大值与最小值同时存在， 如图①，当a＞0时， 最小值在x＝处取得， 最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数 值； 当a＜0时，最大值在x＝处取得， 最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值. 新知探究 ⅱ若不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且在x＝x1，x＝x2时的函数值中，较大的为最大值，较小的为最小值，如图②. 新知探究 问题1：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上. (1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？ 知识点 用二次函数求几何图形的最大面积 1 提示：思考△CBF与△EAF有什么关系？有何启发？ F E A C D 40m 30m B 新知探究 解:∵AB = x，则BF = 40-x. ∵BC∥AD， ∴△BCF∽△AEF. ∴ = 即 = . ∴BC = AD = (40-x). F E A C D 40m 30m B x 40-x 新知探究 (2)设矩形的面积为ym²，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ F E A C D 40m 30m B x 40-x 解:由面积公式易得：y = AD•AB = (40 x) • x， 即y = +30x = +300 (0＜x＜40). ∴当x = 20时，y的值最大，最大值是300. 即当AB = 20m时，矩形的面积最大， 最大值是300m². 新知探究 在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 议一议： 提示：类比原题的方法，思考能否利用相似表示AD？ A C D 40m 30m B O F E 新知探究 解：过点O作OM⊥EF于点M，交AD于点N，由勾股定理易得EF = 50m，由等面积法可得OM = 24m. 设AB = x，则MN = AB= x，ON= OMMN=24x. 由△AOD∽△FOE，得 = ， 即 = ∴AD = 50 x. 易得y= AD•AB = (50x)•x = (x12)2+300. ∴当AB=12m时，矩形的面积最大， 最大值是300m². A C D 40m 30m B O F E ∟ ∟ M N 新知探究 练习1：某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2) 解：∵7x+4y+πx=15, ∴0＜x＜1.48. x x y 注意：利用二次函数解决实际问题，必须求出自变量取值范围. 新知探究 设窗户的面积是S m2, 则 因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02 m2. 新知探究 二次函数解决几何面积最值问题的方法: ①求出函数表达式和自变量的取值范围； ②配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； ③检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值，使之必须在自变量的取值范围内. 归纳总结 新知探究 知识点 利用二次函数解决抛物线型问题 2 问题2：如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8米， 宽是2米，抛物线可以用y =x2 +4表示. (1)一辆货运卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？ (2)如果该隧道内设双向车道，那么这辆货运 卡车是否可以通过？ 2 4 -2 -4 o 3 x y 新知探究 (2)由(1)，得当y =2时，x= ∵＞2，∴这两货运卡车能通过. 2 4 -2 -4 o 3 x y 解：(1)把y = 42=2代入y =x2+4，得2=x2+4. 解得x=，则此时可通过货运卡车的宽度为米. ∴高4米，宽2米的卡车能通过该隧道. 新知探究 练习2：如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 提示：将实际问题转化为数学问题，先建立适当的坐标系求出这条抛物线表示的二次函数，再根据二次函数的图象进行解题. 新知探究 1 -2 -1 2 3 y O -1 -2 1 2 x 解: 建立如图所示的平面直角坐标系， 设这条抛物线表示的二次函数为y = ax2. 由抛物线经过点（2，2），可得2=a×22. 解得a = . ∴这条抛物线表示的二次函数为y = x2. 当水面下降1m时，水面的纵坐标为 y =3， 这时有3= x2，解得x=± . ∴这时水面宽度为 m. 答：当水面下降1m时，水面宽度增加 m. 新知探究 抛物线型问题的一般解题步骤： ①建立适当的平面直角系，并将已知条件转化为点的坐标； ②合理地设出所求的函数的表达式，并代入已知条件或点的坐标，求出关系式； ③利用关系式求解实际问题. 归纳总结 课堂小结 几何面积最值问题 关键 注意 （二次函数的图象和性质） 转化 回归 （实物中的抛物线型问题） 实际问题 数学模型 常见几何图形的面积公式 建立函数关系式 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 依据 抛物线型问题 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 转化关键 课堂小结 课堂训练 1.（2023秋•瑞安市月考）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y = 2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w=(x30)(2x+80) B．w=x(2x+80) C．w=30(2x+80) D．w=x(2x+50) A 课堂训练 2.（2023•老河口市模拟）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 m2． 3.（2023秋•沙市区期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间 t（单位：s）的函数表达式是s =15t6t2，汽车刹车后到停下来，所需的时间为 ．（单位：s） 144 1.25 课堂训练 4. （2023•原平市一模）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度 y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y =x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 B 课堂训练 A 5.（2023秋·西青区期中）如图所示是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为2 米，则水面下降（ ） A.1米 B.2米 C.3米 D.10米 课堂训练 6. （2023秋•古冶区期中）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． 课堂训练 解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边长为30-2x米. 根据题意，得S=x（30-2x）= -2x2+30x= -2（x-）2+， 8≤30-2x≤18. 解得6≤x≤11. ∴当x＞时，S随x的增大而减小， ∴当x=7.5时，S最大值= ；当x=11时，S最小值=11×（30-22）=88． $$