26.2.2.5 利用二次函数求最值 课件 2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第26章　二次函数　 26.2 二次函数的图象与性质 　 华师大版-数学-九年级下册 第5课时 利用二次函数求最值 　 2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 学习目标 1.能根据实际问题建立二次函数关系式，并能确定自变量取值范围； 2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 【重点】用二次函数的知识解决实际问题中的最值. 【难点】根据题意正确列出二次函数模型． 新课导入 y=ax2+bx+c a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 当x位于对称轴左侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴右侧时，y随x的增大而增大. 当x位于对称轴右侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴左侧时，y随x的增大而增大. 直线 直线 温故知新 新课导入 做一做 1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）y = x2 - 4x - 5; (2) y = -x2 - 3x + 4. 解：(1) 开口方向：向上；对称轴：x = 2； 顶点坐标：(2，-9). (2) 开口方向：向下；对称轴：x = ； 顶点坐标：( ， ). 新课导入 2.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0）图象如图,下列正确的个数为（ ）. ①bc＞0；② 2a－3c＜0；③ 2a+b＞0； ④ax²+bx+c=0有两个解x1, x2,当x1＞x2时,x1＞0,x2＜0 ； ⑤a+b+c＞0； ⑥当x＞1，y随x增大而减小. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B a＞0, b<0, c<0 √ × √ √ √ × 新知探究 知识点 求二次函数的最大（或最小）值 1 问题1：二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 新知探究 填空： 2.对于二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)： 1.对于二次函数y = a(x – h )2 + k(a≠0)： 若a＞0,则当x= 时,y取最 值,最 值为 ； 若a＜0,则当x= 时,y取最 值,最 值为 . 若a＞0,则当x= 时,y取最 值,最 值为 ； 若a＜0,则当x= 时,y取最 值,最 值为 . h 大 k 大 h 小 小 k 大 大 小 小 新知探究 思考：当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值. 新知探究 问题2：求下列函数的最大值与最小值： x O y 解： -3 1 (1) ∴ 当 时，有 当 时，有 新知探究 解： O x y 1 -3 (2) ∴ 当 x = -3 时，有 ∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小. 当 x = 1 时，有 新知探究 方法归纳 当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定： 1. 配方，求出二次函数的顶点坐标及对称轴； 2. 画出函数图象，标明对称轴，并在 x 轴上标明 x 的取值范围； 3. 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系，根据二次函数的性质及图象，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值，然后根据 x 的值，求出最值. 新知探究 知识点 实际应用题中的最值问题 2 例1：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？ A C B D 解：设AB的长为xm，矩形的面积为ym2.（0<x<10）依题意得y=x(20-2x)=-2x2+20x= -2(x-5)2+50.则当x=50时，此时BC=10时，函数取得最大值，最大面积为50m2. 新知探究 例2：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品每件每降价0.1元，每天的销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？ 解：设每件商品降价x元（0≤x≤2），销售该商品每天的利润为y元.依题意得y=(10-x-8)(100+100x)= -100x2+100x+200.（0≤x≤2） 请同学们自己完成这个问题的解答. 新知探究 例3：用长为6m的铝合金型材做一个形状如图的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 新知探究 解：设矩形窗框的宽为xm，则高为（x>0，>0）故0<x<2.矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是y=x·，即y=x2+3x. 配方得y=（x1）2+，所以当x=1时， 函数取得最大值，最大值y=1.5. 因此，所做矩形窗框的宽为1m、 高为1.5m时，它的透光面积最大， 最大面积是1.5m2. 新知探究 二次函数解决实际最值问题的步骤 1.实际问题函数化：自变量选取的方法通常不是唯一的，以直接决定和影响其它因素变化的量作为自变量x，用自变量x表示出其他量y便得到函数关系式； 2.求出函数解析式和自变量的取值范围； 3.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,但是一定要注意顶点坐标是否符合自变量的取值范围. 课堂小结 利用二次函数求最值 二次函数的最大（或最小）值 实际应用 当x= 时,y取最大（或最小）值,最大（或最小）值为 实际问题函数化，求出函数值解析式和自变量的取值范围，根据画图或公式求出最值 课堂训练 1.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费用每平方米1000元,设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式,并写出自变量`的取值范围； (2)请设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用. 解:(1)设矩形一边长为x m，则另一边长为(6－x) m， ∴ S=x(6－x)=－x2+6x，其中0＜x<6. (2)S=－x2+6x=－(x－3)2+9， ∴当x=3时,即矩形的一边长为3m时,矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000(元). ∵ 0＜x<6， 课堂训练 2.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元. 则 y=(x+30－20)(400－20x) =－20x2+200x+4000=－20(x－5)2+4500. ∵x＞0， ∴0＜x＜20，400-2x＞0. ∵ x=5时，满足0＜x ＜20, ∴当x=5时，y最大值 =4500. 答：售价提高5元时，半月内获最大利润4500元. 课堂训练 3.如图1，在△ABC 中， ∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 以 4 cm/s 的速度移动(不与点 C 重合). 如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s，四边形 APQC 的面积最小. 3 A B C P Q $$