26.2.2.4 二次函数 y =ax²+bx+c的图象与性质 课件 2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第26章　二次函数　 26.2 二次函数的图象与性质 　 华师大版-数学-九年级下册 第4课时 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质 　 2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 学习目标 1.会把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方写成y＝a(x－h)2+k(a≠0)的形式. 2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象性质． 3.理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系. 【重点】会把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k (a≠0)的形式. 【难点】掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题． 新课导入 抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值 （h，k） （h，k） 直线x=h 向上 向下 当x=h时,y有最小值为k. 当x=h时, y有最大值为k. 当x<h时,y随着x的增大而减小. 当x>h时, y随着x的增大而增大. 直线x=h 当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时, y随着x的增大而减小. y=a(x-h)2+k（a<0） y=a(x-h)2+k（a>0） 二次函数y=a(x-h)2+k的性质: 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 新知探究 问题1：我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？ 知识点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 1 一般式 顶点式 如何转化？ 新知探究 二次项系数化为1 不要漏乘括号前系数 化为顶点式 分组，准备配方 配方法： 因此,二次函数y=2x2-4x+5图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,3). 新知探究 y=2x2-4x+5 y=2(x-1)2+3 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 y=2x2-4x+5 向上 x=1 （1，3） 当x>1时，y随 x的增大而增大； 当x<1时，y随 x的增大而减小 配方 新知探究 问题2：求二次函数y=ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标. 配方： 提取二次项系数 配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 化简：去掉中括号，前三项化为平方形式，后两项合并同类项 y=ax²+bx+c 新知探究 一般地，二次函数 y = ax2+bx+c 可以通过配方化成 y =a(x -h)2+k 的形式，即 因此，抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是 ， 对称轴是直线 . 新知探究 二次函数 y = ax2+bx+c的图象与性质： y O x a>0 当x<时，y随x的增大而减小； 当x>时，y随x的增大而增大. 当 x =时，函数取最小值，最小值为 新知探究 二次函数 y = ax2+bx+c的图象与性质： y O x a<0 当x<时，y随x的增大而增大； 当x>时，y随x的增大而减小. 当 x =时，函数取最大值，最大值为 新知探究 做一做： 如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用表示. (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少? (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少? y/m 5 -5 O 10 x/m 桥面 新知探究 将函数配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离. y/m 5 -5 O 10 x/m 桥面 方法一： ∴这条抛物线的顶点坐标是(-20,1）. 新知探究 y/m 5 -5 O 10 x/m 桥面 （1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m. （2）同理,右边抛物线的顶点坐标是(20,1）,两条钢缆最低点之间的距离是│-20-20│=40（m）. 新知探究 左边钢缆的函数. 由顶点坐标公式,）， 得=-20,=1. ∴这条抛物线得顶点坐标是(-20,1）. y/m 5 -5 O 10 x/m 桥面 方法二： （1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m. （2）同理,右边抛物线的顶点坐标是(20,1）,两条钢缆最低点之间的距离是│-20-20│=40（m）. 新知探究 方法总结： 将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式 ①配方法 对称轴：直线x=h 顶点坐标：(h,k) ②公式法 对称轴：直线x= 顶点坐标： 新知探究 知识点 二次函数的图象与系数的关系 2 问题3：一次函数 y = kx+b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空. x y O y=k1x+b1 x y O y=k2x+b2 y=k3x+b3 k2 0 b2 ___ 0 k4 ___ 0 b4 ___ 0 ＜ ＞ ＞ ＜ k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＞ ＞ ＜ ＜ k1 0 b1 ___ 0 y=k4x+b4 新知探究 问题4：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： x y O a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 对称轴在y轴左侧， 对称轴在y轴右侧， x=0时，y=c. 开口向上，a＞0 对称轴在y轴右侧, 新知探究 x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是y轴， x=0时，y=c. 新知探究 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c之间的关系: 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 归纳总结： 左同右异 新知探究 归纳总结： 1.关于x轴对称的抛物线解析式为 y=-(ax2+bx+c)= -ax2-bx-c； 2.关于y轴对称的抛物线解析式为y=a(-x)2+b(-x)+c=ax2-bx+c； 3.当- = 0时，顶点在y轴上； 4.当Δ=b2-4ac=0时，顶点在x轴上，当Δ=b2-4ac>0时 ,抛物线与x轴有 两个交点，当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点； 5.当x=1时，抛物线解析式为y=a+b+c；当x=-1时，抛物线解析式为 y=a-b+c. 二次函数y=ax2+bx+c的补充性质： 课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质 图象 性质 如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小. 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是 ，顶点是 课堂训练 1. （2023•株洲）如图所示，直线l为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（　　） ​ A．b恒大于0 B．a,b同号 C．a,b异号 D．以上说法都不对 C 课堂训练 2.（2023•贵州）已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a,b）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 课堂训练 3. （2023•阜新）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b=0 C．4ac＞b2 D．点（-2，0）在函数图象上 B 课堂训练 4.（2023•泰安）二次函数y=-x2-3x+4的最大值是 ． 5. （2023•福建）已知抛物线y=ax2-2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n-1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 ． -1＜n＜0 课堂训练 6. （2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t. （1）若对于x1=1，x2=2，有y1=y2，求t的值； （2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 课堂训练 解：（1）∵对于x1=1，x2=2，有y1= y2， ∴a+b+c=4a+2b+c.∴3a+b=0. ∴ = -3．∵对称轴为x= - = ,∴t = . （2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2， ∴＜x1+x2＜，x1＜x2. ∵y1＜y2，a＞0， ∴（x1，y1）离对称轴更近. 又∵x1＜x2，∴（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧. ∴＞t,即t≤ $$