期末真题必刷易错60题（考题猜想，20种热考题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

期末真题必刷易错60题（考题猜想，20种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．二次根式的性质与化简（共2小题） 1．（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内：　　． 【分析】根据已知可得，所以把转化为，然后再把的平方移到根号内，然后进行化简计算即可． 【解答】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 将 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，确定根号外的取值范围是解题的关键． 2．（2023秋•静安区校级期末）如果，那么等式成立的条件是 　　． 【分析】根据解答即可． 【解答】解：如果， 那么，， 解得 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握的化简以及二次根式有意义的条件是解题的关键． 二．最简二次根式（共2小题） 3．（2023秋•静安区校级期末）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：，故不符合题意； 是最简二次根式，故符合题意； ，故不符合题意； ，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 4．（2023秋•长宁区校级期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，符合题意； 、是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式，掌握最简二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键． 三．二次根式的乘除法（共2小题） 5．（2023秋•静安区校级期末）计算：． 【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键． 6．（2023秋•杨浦区期末）计算：　　． 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 四．同类二次根式（共2小题） 7．（2022秋•长宁区校级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的定义即可求解． 【解答】解：．，与不是同类二次根式，不符合题意； ．与不是同类二次根式，不符合题意； ．，与是同类二次根式，符合题意； ．，与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 8．（2023秋•虹口区校级期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是　　 A．3 B． C．1 D．0 【分析】根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求出． 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 五．二次根式的加减法（共2小题） 9．（2021秋•奉贤区校级期末）计算：． 【分析】先去括号化简二次根式，再合并二次根式． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题关键． 10．（2022秋•浦东新区期末）计算：． 【分析】先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 六．二次根式的混合运算（共3小题） 11．（2023秋•浦东新区校级期末）对于任意正数，，定义运算※如下：※计算※※的结果为 　2　． 【分析】根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ※※ ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义新运算是解题的关键． 12．（2023秋•闵行区校级期末）计算：． 【分析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．（2022秋•杨浦区期末）计算：． 【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 七．二次根式的应用（共2小题） 14．（2023秋•静安区校级期末）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为、、，记，则其面积这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若，，则此三角形面积的值可以是　　 A． B．6 C． D．5 【分析】由题可知，，把，代入的表达式中，再利用三角形三边关系确定的取值范围，则可以确定的取值范围，从选项中选出符合条件的答案即可． 【解答】解：，，， ， ， ， 又三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ， ， 当时，为最大值，， ， 题目中符合的取值范围的值只有， 故选：． 【点评】解题的关键是用仅有未知数的方程式表达，再结合二次根式的性质和三角形三边关系进行分析，即可得出的最大值和最小值． 15．（2023秋•浦东新区校级期末）解不等式：． 【分析】先化简，再利用解不等式的方法与步骤解出答案即可． 【解答】解： ． 【点评】此题考查解不等式的步骤与方法以及二次根式的化简． 八．解一元二次方程-配方法（共3小题） 16．（2023秋•杨浦区期末）用配方法解一元二次方程，则方程变形为　　 A． B． C． D． 【分析】首先进行移项变形成，两边同时加上9，则左边是一个完全平方式，右边是一个常数，即可完成配方． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）解方程：． 【分析】利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 18．（2023秋•虹口区校级期末）（1）计算：； （2）用配方法解方程：． 【分析】（1）根据平方差公式、分母有理化计算即可； （2）利用配方法解出方程． 【解答】解：（1）原式 ； （2）， 则， ， ， ， ， ，． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法、实数的运算，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤、平方差公式、分母有理化是解题的关键． 九．解一元二次方程-因式分解法（共4小题） 19．（2023秋•嘉定区期末）方程的解是 　，　． 【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， 或， ，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）方程的解为 　，　． 【分析】根据解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， 或， ，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键． 21．（2023秋•崇明区期末）解方程：． 【分析】利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程． 【解答】解：， 则， ， 或， ，． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 22．（2022秋•青浦区校级期末）解方程：． 【分析】原方程整理为，再利用提公因式法求解即可． 【解答】解：， ， ， ， 或， 解得，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键． 十．函数自变量的取值范围（共2小题） 23．（2023秋•浦东新区校级期末）函数的定义域是 　　． 【分析】根据二次根式，以及分母不为0可得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，以及分母不为0是解题的关键． 24．（2023秋•普陀区期末）函数的定义域是 　　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 十一．函数的图象（共2小题） 25．（2023秋•闵行区校级期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程（千米）与骑车的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： （1）小杰去公园时下坡路长 　3　千米； （2）小杰下坡的速度为 　　千米分钟； （3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是 　　分钟． 【分析】（1）根据函数图象可以得到小杰去学校时下坡路的长； （2）根据函数图象中的数据可以求得小杰下坡的速度； （3）根据函数图象中的数据可以求得上坡和下坡的速度，从而可以得到小杰回家骑车走这段路的时间． 【解答】解：（1）由图象可得， 小杰去学校时下坡路长：（千米）， 故答案为：3； （2）小杰下坡的速度为：（千米分钟）， 故答案为：0.6； （3）小杰上坡的速度为：（千米分钟）， 小杰下坡的速度为：0.6千米分钟， 则小杰回家骑车走这段路的时间是：（分钟）， 故答案为：． 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 26．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油箱余油量为吨，加油时间为（分，、与之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 　30　吨油；运输飞机的油箱有余油量 　　吨油； （2）这些油全部加给运输飞机需 　　分钟； （3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 　　吨油； （4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 　　小时． 【分析】（1）通过观察线段，段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油． （2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟． （3）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量． （4）根据（3）中的耗油量，可直接得出最多飞行时间． 【解答】解：（1）由题意及图象得 加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油． 故答案为：30；40． （2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟； 故答案为：10； （3）运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨， 所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨， 运输飞机每分钟耗油量为0.1吨； 故答案为：0.1； （4）由（3）知运输飞机每小时耗油量为（吨， （小时）， 故答案为：11.5． 【点评】本题考查函数图象．解决本题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定． 十二．角平分线的性质（共4小题） 27．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的面积为 　20　． 【分析】过作于，由角平分线的性质推出，于是得到的面积． 【解答】解：过作于， 是的角平分线，， ， ， 的面积． 故答案为：20． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到． 28．（2023秋•宝山区期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 　24　． 【分析】过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【解答】解：过作于， ，， ， ， 的面积． 给答案为：24． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到． 29．（2023秋•虹口区校级期末）如图，已知，点为、的平分线的交点．，且，则两平行线、间的距离等于 　　． 【分析】过点作，交于点，交于点，则，即可得出的长为两平行线、间的距离，根据角平分线的性质求出，则可求． 【解答】解：过点作，交于点，交于点， ， ， 平分，， ， 平分，， ， ， ， ， 即两平行线、间的距离为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质和平行线之间的距离的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等． 30．（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【分析】（1）过点作于点，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【解答】证明：（1）如图，过点作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ． （2），， ， 再和中， ， ， ． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 十三．线段垂直平分线的性质（共3小题） 31．（2023秋•浦东新区期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则　40　度． 【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，进而求出，结合图形计算即可． 【解答】解：， ， 垂直平分， ， ， 同理可得：， ， ， 故答案为：40． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 32．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则　40　． 【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质计算，得到答案． 【解答】解：， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ， 故答案为：40． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 33．（2022秋•长宁区校级期末）在中，已知，，点在射线上，联结，． （1）如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； （2）如图2，当点在边上时，求证：； （3）若，，请直接写出的长． 【分析】（1）依据题意，由的垂直平分线经过点，从而，故，再结合，求出，最后，进而计算可以得解； （2）依据题意，取的中点，连接，可得，即，从而．，再由，故，从而，进而可以判断得解； （3）依据题意，分在边上时和在的延长线上两种情况，然后在中和在中利用勾股定理建立方程进而计算可以得解． 【解答】（1）解：的垂直平分线经过点， ． ． 又， ． ． 又， ． （2）证明：如图1，取的中点，连接． ， ． ， ． ． ． ． ． （3）解：如图2，当在边上时，作于， 又， ． 设， ． ． ，． ，． 在中，， 在中，， ． ，即． 如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接． 由题意，， ． ． ． 又， ． 设， ． ． ． ． ． ． 在中，， 在中，， ． ，即． 综上，的长为或． 【点评】本主要考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 十四．直角三角形的性质（共2小题） 34．（2023秋•静安区校级期末）中，是锐角，与的平分线交于点，过作交的延长线于点．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是或． 【分析】根据题意，画出和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系．设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出的值，的值即为的度数． 【解答】解：如图1所示，当时： 设，则． 和分别平分和， ，， ①当时： ， ； ②当时： ，， ， ， ． 如图2所示，当时： 设，则． 和分别平分和， ，． ①当时： ，， ， ， ； ②当时： ，， ， ， （不符合题意，舍去）． 综上，或， 故答案为：或． 【点评】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键． 35．（2021秋•金山区期末）在中，，，于，则　35　度． 【分析】此题根据直角三角形的性质：两锐角互余求解． 【解答】解：，，于， ， ． 故答案为：35． 【点评】本题考查直角三角形性质，熟练掌握运用直角三角形的两锐角互余． 十五．含30度角的直角三角形（共6小题） 36．（2023秋•闵行区校级期末）如图，在中，，，如果是的中点，，垂足是，那么的值等于　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据等腰三角形的性质得，，，进而可求出，然后直角三角形的性质可得，，据此即可得出的值． 【解答】解：连接，如图所示： 在中，，，点是的中点， ，，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 37．（2023秋•虹口区校级期末）如果等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于 　　． 【分析】画出图形，根据直角三角形中角所对直角边是斜边一半即可求得的大小，根据等腰三角形底角相等及三角形内角和定理即可解题． 【解答】解：如图，是边上高， ， 为直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形中角所对直角边是斜边一半的性质，本题中画出图形并求得的大小是解题的关键． 38．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则　16　． 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 39．（2023秋•崇明区期末）已知，在中，，，垂足为，，且，那么　　． 【分析】根据直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：， ， ，， ，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 40．（2022秋•杨浦区期末）已知，如图，在中，为边上的中线，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据三角形的中线定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，，再利用三角形的内角和定理可得，最后根据垂直定义可得，从而可得，进而根据同角的余角相等即可解答； （2）在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质即可解答． 【解答】（1）证明：为边上的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 41．（2023秋•闵行区期末）如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点，取线段的中点，联结．求证：．（说明：此题的证明过程需要批注理由） 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得：，再利用直角三角形斜边中线的性质得：与的关系，最后根据直角三角形30度的性质得和的关系，从而得出结论． 【解答】证明：连接， 是的垂直平分线（已知）， ，（线段垂直平分线的性质）， （等边对等角）， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 中，是的中点（已知）， （直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， 中，（已知）， （直角三角形角所对的直角边是斜边的一半）， （等量代换）． 【点评】本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键，属于基础题． 十六．直角三角形斜边上的中线（共5小题） 42．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，垂足为点，是边上的中线，如果，，那么　20　度． 【分析】连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：连接， 是边上的中线， 是边上的中线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 43．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，、分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 　　． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，求出，由直角三角形的性质得到，因此，即可求出． 【解答】解：，是的中线， ， ， ， ， 是的高， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质， 44．（2023秋•嘉定区期末）如果直角三角形的面积是8，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是 　4　． 【分析】设直角三角形的斜边长为，根据三角形的面积可得，从而可得：，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 【解答】解：设直角三角形的斜边长为， 直角三角形的面积是8，斜边上的高是2， ， 解得：， 直角三角形的斜边长为8， 斜边上的中线长是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 45．（2023秋•静安区校级期末）如图，在和中，，联结与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 【分析】连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，根据等腰三角形的性质进一步得出结论． 【解答】证明：如图， 连接，， ， ，， ， 点是的中点， ， 垂直平分． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线等知识，熟练运用直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 46．（2023秋•闵行区校级期末）已知：如图，在中，，点在上，点在上，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）由（1）知，，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论． 【解答】证明：（1）连接， ，， ， ， ， 点是的中点， ； （2）由（1）知，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 十七．勾股定理（共6小题） 47．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，，，求的长　　 A．4 B．2 C．4或6 D．2或4 【分析】可能为锐角三角形，也可能为钝角三角形，画出相关图形，得到锐角和钝角．作于点，根据，可得长，利用勾股定理可得长和长，让它们相加或相减即可得到的长． 【解答】解：①如图：为锐角三角形． 过点作于点． ． ，， ． ． ， ． ． ②如图：为钝角三角形． 过点作于点． 由①可得：，． ． 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的应用．把所给三角形进行分类讨论是解决本题的关键．用到的知识点为：在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的两条直角边为，，斜边为．那么． 48．（2023秋•松江区期末）在中，，是边的中线，如果，，那么　6　． 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：在中，，是边的中线，， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及勾股定理是解题的关键． 49．（2023秋•金山区期末）如图，在中，，，垂足为点，点为的中点，联结、交于点，若，则　　． 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据重心的概念得到，，设，根据勾股定理用表示出，计算即可． 【解答】解：，， ， 点为的中点， 点是的重心， ，， 设，则， 在中，， ， ， 由勾股定理得：， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键． 50．（2023秋•金山区期末）如图，在中，，点是边的中点，，，，则的长为 　　． 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，然后由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【解答】解：，点是边的中点， ， ， ， 即， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 51．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出，从而可得，进而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据，可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：连接， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 的度数为． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 52．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在四边形中，，，． （1）求证： （2）如果平分，且，求的面积． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）过点作，垂足为，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：，，． ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：过点作，垂足为， 平分，，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 的面积， 的面积为． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 十八．勾股定理的逆定理（共3小题） 53．（2023秋•崇明区期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案． 【解答】解：、根据三角形内角和定理可以计算出，，，可判定是直角三角形，故此选项不符合题意； 、，根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，故此选项不合题意； 、根据三角形内角和定理可以计算出，，，可判定不是直角三角形，故此选项符合题意； 、可利用勾股定理逆定理判定为直角三角形，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 54．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在中，，点为上一点，联结，，，，则　16.9　． 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用平角定义可得，再设，则，最后在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：在中，，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：16.9． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． 55．（2023秋•松江区期末）已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得，联结，当时，求的度数． 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，即可得出结论． 【解答】解：，，点是边中点， ， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 即的度数为． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理的逆定理以及含角的直角三角形的判定等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理的逆定理是解题的关键． 十九．勾股定理的应用（共3小题） 56．（2023秋•杨浦区期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）． 【分析】根据勾股定理求出，再根据含角的直角三角形的性质求出，进而求出． 【解答】解：在中，， 则， 米， ， （米， 在中，， ， （米， 米， 答：行走的通道拓宽了米． 【点评】本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质，灵活运用相关的定理是解题的关键． 57．（2022秋•宝山区校级期末）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积． 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积直角的面积． 【解答】解：连接．如图所示： ，，， ； 在中， ，，， ，即， 是直角三角形． ； 即绿地的面积为． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键． 58．（2021秋•浦东新区期末）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题： “今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索比木柱长三尺，的长度为8尺，求：绳索的长度． 【分析】设尺，则尺，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设尺，则尺， ， 是直角三角形， 由勾股定理得：， 即， 解得：（尺， 答：绳索的长度是尺． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键． 二十．命题与定理（共2小题） 59．（2023秋•虹口区校级期末）下列命题中，真命题的有　　个． ①到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线； ②以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线； ③反比例函数，随着的增大而增大； ④过原点的一条直线一定是正比例函数的图象． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据角平分线的判定定理、等腰三角形的概念以及三角形的三边关系、反比例函数的图象和性质、正比例函数的概念判断即可． 【解答】解：①在角的内部且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，故本选项命题是假命题； ②以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线（底边的中点除外），故本选项命题是假命题； ③反比例函数，在每一个象限，随着的增大而增大，故本选项命题是假命题； ④坐标轴的轴和轴是过原点的一条直线，但不是正比例函数的图象，故本选项命题是假命题； 故选：． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 60．（2023秋•宝山区期末）下列命题中，逆命题是假命题的是　　 A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 【分析】关键逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定、直角三角形的判定、中心对称、线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【解答】解：、两直线平行，内错角相等，逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； 、直角三角形的两个锐角互余，逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意； 、关于某个点成中心对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某个点成中心对称，是假命题，符合题意； 、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题是到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． $$ 期末真题必刷易错60题（考题猜想，20种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．二次根式的性质与化简（共2小题） 1．（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内：　　． 2．（2023秋•静安区校级期末）如果，那么等式成立的条件是 　　． 二．最简二次根式（共2小题） 3．（2023秋•静安区校级期末）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•长宁区校级期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 三．二次根式的乘除法（共2小题） 5．（2023秋•静安区校级期末）计算：． 6．（2023秋•杨浦区期末）计算：　　． 四．同类二次根式（共2小题） 7．（2022秋•长宁区校级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•虹口区校级期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是　　 A．3 B． C．1 D．0 五．二次根式的加减法（共2小题） 9．（2021秋•奉贤区校级期末）计算：． 10．（2022秋•浦东新区期末）计算：． 六．二次根式的混合运算（共3小题） 11．（2023秋•浦东新区校级期末）对于任意正数，，定义运算※如下：※计算※※的结果为 　　． 12．（2023秋•闵行区校级期末）计算：． 13．（2022秋•杨浦区期末）计算：． 七．二次根式的应用（共2小题） 14．（2023秋•静安区校级期末）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为、、，记，则其面积这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若，，则此三角形面积的值可以是　　 A． B．6 C． D．5 15．（2023秋•浦东新区校级期末）解不等式：． 八．解一元二次方程-配方法（共3小题） 16．（2023秋•杨浦区期末）用配方法解一元二次方程，则方程变形为　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）解方程：． 18．（2023秋•虹口区校级期末） （1）计算：； （2）用配方法解方程：． 九．解一元二次方程-因式分解法（共4小题） 19．（2023秋•嘉定区期末）方程的解是 　　． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）方程的解为 　　． 21．（2023秋•崇明区期末）解方程：． 22．（2022秋•青浦区校级期末）解方程：． 十．函数自变量的取值范围（共2小题） 23．（2023秋•浦东新区校级期末）函数的定义域是 　　． 24．（2023秋•普陀区期末）函数的定义域是 　　． 十一．函数的图象（共2小题） 25．（2023秋•闵行区校级期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程（千米）与骑车的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： （1）小杰去公园时下坡路长 　　千米； （2）小杰下坡的速度为 　　千米分钟； （3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是 　　分钟． 26．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油箱余油量为吨，加油时间为（分，、与之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 　　吨油；运输飞机的油箱有余油量 　　吨油； （2）这些油全部加给运输飞机需 　　分钟； （3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 　　吨油； （4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 　　小时． 十二．角平分线的性质（共4小题） 27．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的面积为 　　． 28．（2023秋•宝山区期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 　　． 29．（2023秋•虹口区校级期末）如图，已知，点为、的平分线的交点．，且，则两平行线、间的距离等于 　　． 30．（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 十三．线段垂直平分线的性质（共3小题） 31．（2023秋•浦东新区期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则　　度． 32．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则 　　． 33．（2022秋•长宁区校级期末）在中，已知，，点在射线上，联结，． （1）如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； （2）如图2，当点在边上时，求证：； （3）若，，请直接写出的长． 十四．直角三角形的性质（共2小题） 34．（2023秋•静安区校级期末）中，是锐角，与的平分线交于点，过作交的延长线于点．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 35．（2021秋•金山区期末）在中，，，于，则　　度． 十五．含30度角的直角三角形（共6小题） 36．（2023秋•闵行区校级期末）如图，在中，，，如果是的中点，，垂足是，那么的值等于　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•虹口区校级期末）如果等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于 　　． 38．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则　　． 39．（2023秋•崇明区期末）已知，在中，，，垂足为，，且，那么　　． 40．（2022秋•杨浦区期末）已知，如图，在中，为边上的中线，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 41．（2023秋•闵行区期末）如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点，取线段的中点，联结．求证：．（说明：此题的证明过程需要批注理由） 十六．直角三角形斜边上的中线（共5小题） 42．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，垂足为点，是边上的中线，如果，，那么　　度． 43．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，、分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 　　． 44．（2023秋•嘉定区期末）如果直角三角形的面积是8，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是 　　． 45．（2023秋•静安区校级期末）如图，在和中，，联结与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 46．（2023秋•闵行区校级期末）已知：如图，在中，，点在上，点在上，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：． 十七．勾股定理（共6小题） 47．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，，，求的长　　 A．4 B．2 C．4或6 D．2或4 48．（2023秋•松江区期末）在中，，是边的中线，如果，，那么　　． 49．（2023秋•金山区期末）如图，在中，，，垂足为点，点为的中点，联结、交于点，若，则　　． 50．（2023秋•金山区期末）如图，在中，，点是边的中点，，，，则的长为 　　． 51．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 52．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在四边形中，，，． （1）求证： （2）如果平分，且，求的面积． 十八．勾股定理的逆定理（共3小题） 53．（2023秋•崇明区期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 54．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在中，，点为上一点，联结，，，，则　　． 55．（2023秋•松江区期末）已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得，联结，当时，求的度数． 十九．勾股定理的应用（共3小题） 56．（2023秋•杨浦区期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）． 57．（2022秋•宝山区校级期末）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积． 58．（2021秋•浦东新区期末）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题： “今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索比木柱长三尺，的长度为8尺，求：绳索的长度． 二十．命题与定理（共2小题） 59．（2023秋•虹口区校级期末）下列命题中，真命题的有　　个． ①到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线； ②以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线； ③反比例函数，随着的增大而增大； ④过原点的一条直线一定是正比例函数的图象． A．0 B．1 C．2 D．3 60．（2023秋•宝山区期末）下列命题中，逆命题是假命题的是　　 A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$