精品解析：广东省深圳市罗湖区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

数学（11月） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共24分，第Ⅱ卷为9-20题，共76分．全卷共计100分．考试时间为90分钟 注意事项： 1． 答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2． 选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第Ⅰ卷（本卷共计24分） 一、单选题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分） 1. 实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中， 是无理数的有：，，，（每两个3之间依次多一个1）， ∴无理数的个数是4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式，熟记无理数的定义是解题的关键． 2. 如图，已知OA=OB，点A到数轴的距离为1，则数轴上B点所表示的数为（ ） A. - B. - C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出OA的长，然后根据数轴与实数的关系解答． 【详解】解：∵OA=OB=， ∴B点所表示的数为-． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，求出OB的长是解答本题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减、乘除法则，逐项判定． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的加减和乘除运算法则． 4. 如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )． A. 5m B. 7m C. 8m D. 10m 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：由题意得 在中，根据勾股定理得： 所以大树的高度是3+5=8(米)． 故选C. 5. 对于函数的图象，下列结论错误的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 与轴的交点为 D. 若两点，在该函数图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】求出当时y的值，求出当时，x的值即可判断A、C；根据一次函数图象与系数的关系即可判断B、D． 【详解】解：A、当时，， 一次函数的图象必过点，故A不符合题意； B、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，故B不符合题意； C、当时，即，解得：， 一次函数的图象与轴的交点为，故C符合题意； D、， 随的增大而减小， 又点，在一次函数的图象上，且， ，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 6. 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图，则大圆柱形容器水面的高度与注水时间的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则大圆柱形容器水面的高度一定会慢慢升高，故排除A；当水面高度和小水杯一样高时，继续注水，水流入小水杯，大圆柱形容器水面的高度不变，故排除D；当小水杯注满水时，大圆柱形容器水面的高度继续升高，但此时的高度变化比第一阶段的变化慢，所以直线比较平缓，故排除B， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图像得到在自变量增大的时候，函数是增大、减小、还是不变是解题的关键． 7. 如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可； 【详解】解：∵AB为底面直径， ∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间， ∵两点之间线段最短， 故选： C． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键． 8. 如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键，由已知条件可证，得到，利用折叠知，设，则，在中，利用勾股定理即可求得的值，再利用面积公式即可得解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由翻折得，，， ∴， 又∵ ∴ ∴，， 设，则 在中，，， ∴， ∴重叠部分的面积为， 故选∶． 第II卷（本卷共计76分） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. ﹣3是_____的立方根． 【答案】-27． 【解析】 【分析】根据立方根的定义直接进行解答即可． 【详解】∵-3的立方是-27， ∴-3是-27的立方根， 故答案为：-27． 【点睛】本题主要考查立方根的定义，若x3=a，则x=，x叫做a的立方根，基础题比较简单，掌握好概念是解题的关键． 10. 直线沿y轴向下移动6个单位长度后，与x轴的交点坐标为_______ 【答案】（2,0） 【解析】 【详解】将y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后的解析式为：y=2x-4，当y=0时，则x=2，即图像与x轴的交点坐标为(2，0). 故答案为(2，0). 11. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】先估算出，再估算出即可完成求解． 【详解】解：∵； ∴； 因为1.236介于整数1和2之间， 所以; 故答案为：1． 【点睛】本题考查了对算术平方根取值的估算，要求学生牢记的近似值或者能正确估算出的整数部分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力． 12. 如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：△ABC的面积=×BC×AE=2， 由勾股定理得， 则， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 13. 如图，在中，， 点D、E分别是上动点，且， 连接， 则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作，使点F与点在直线的异侧，且，连接，可证明，由，，求得，由，且，，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，使点F与点在直线的异侧，且，连接， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：（本题共7小题， 其中第14题5分， 第15题7分， 第16题8分， 第17题8分， 第18题9分， 第19题12分， 第20题12分， 共61分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算， 先求算术平方根，绝对值和立方根以及乘方运算，再算加减法即可． 【详解】解： ． 15. 已知：a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】（1），， （2）以a、b、c为边能构成三角形，三角形的形状是等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据等腰三角形的概念和勾股定理的逆定理求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴，， ∴，，； 【小问2详解】 ∵， ∴，即 ∴ ∴以a、b、c为边能构成三角形， ∵，且， ∴三角形的形状是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，等腰三角形的概念和勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形． 16. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是 （1）点A 的坐标是 ，点C的坐标是 ； （2）请作出关于x轴对称的 （点A 与点A'对应， 点B 与点B'对应， 点C与点 对应）； （3）y轴上存在点P， 使得的值最小，则的最小值是 ． 【答案】（1），． （2） 如图所示，即为所求作； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，作轴对称图形，勾股定理， （1）观察平面直角坐标系写出坐标即可； （2）作点A，B，C关于x轴对称的点，再依次连接即可； （3）根据轴对称得出点C的对称点，连接与y轴交于点P，根据两点之间线段最短说明，再根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知点； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示，作点C关于y轴对称的点是， ∴， 即， 连接，交y于点P，根据两点之间线段最短，最小值为， 根据勾股定理，得． 故答案为：． 17. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 18. 我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水吨，应交水费元． （1）若，请写出与的函数关系式． （2）若，请写出与的函数关系式． （3）如果该户居民这个月交水费23元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【答案】（1） （2） （3）13吨 【解析】 【分析】（1）当0＜x≤8时，根据水费=用水量×1.5，即可求出y与x的函数关系式； （2）当x＞8时，根据“每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费”，得出水费=8×1.5+（用水量-8）×2.2，即可求出y与x的函数关系式； （3）当0＜x≤8时，y≤12，由此可知这个月该户用水量超过8吨，将y=23代入（2）中所求的关系式，求出x的值即可． 【小问1详解】 根据题意可知： 当时，； 【小问2详解】 根据题意可知： 当时，； 【小问3详解】 当时，， 的最大值为（元，， 该户当月用水超过8吨． 令中，则， 解得：． 答：这个月该户用了13吨水． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据数量关系找出函数关系式是解题关键． 19. 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】（）；（）；． 【解析】 【分析】（）求出，把的值代入海伦公式计算即可求解； （）把代入计算即可求解； 根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解； 本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，平方差公式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ； （）当时， ，，， ∴中最长边的长度为； ∵，， ∴， ∵，三角形的边为正数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值， ∴，，， ∴ ， ， ， ． 20. 综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． （1）求直线的表达式与点的坐标； （2）如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． （3）试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，点P的坐标为或 （3）存在，M点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）分别求出，，再确定函数解析式即可； （2）设，则，则，再求，由题意可得，即可求点坐标； （3）分三种情况：①当以为等腰三角形的顶点时，；②当以为等腰三角形的顶点时，，则点与点关于轴对称；③当以为等腰三角形的顶点时，，设，由，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数图象分别交轴、轴于点、， 当时，则，得：， 当时，得：， ∴，， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴直线的表达式为：， 当时，则，得：， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ①当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点的坐标为或； ②当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； ③当以为等腰三角形的顶点时， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，等腰三角形的性质等知识点，运用了方程的思想，难度较大．熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（11月） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共24分，第Ⅱ卷为9-20题，共76分．全卷共计100分．考试时间为90分钟 注意事项： 1． 答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2． 选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第Ⅰ卷（本卷共计24分） 一、单选题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分） 1. 实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 如图，已知OA=OB，点A到数轴的距离为1，则数轴上B点所表示的数为（ ） A. - B. - C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )． A. 5m B. 7m C. 8m D. 10m 5. 对于函数的图象，下列结论错误的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 与轴的交点为 D. 若两点，在该函数图象上，则 6. 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图，则大圆柱形容器水面的高度与注水时间的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第II卷（本卷共计76分） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. ﹣3是_____的立方根． 10. 直线沿y轴向下移动6个单位长度后，与x轴的交点坐标为_______ 11. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______． 12. 如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ___． 13. 如图，在中，， 点D、E分别是上动点，且， 连接， 则的最小值是_______． 三、解答题：（本题共7小题， 其中第14题5分， 第15题7分， 第16题8分， 第17题8分， 第18题9分， 第19题12分， 第20题12分， 共61分） 14. 计算： 15. 已知：a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状；若不能构成三角形，请说明理由． 16. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是 （1）点A 的坐标是 ，点C的坐标是 ； （2）请作出关于x轴对称的 （点A 与点A'对应， 点B 与点B'对应， 点C与点 对应）； （3）y轴上存在点P， 使得的值最小，则的最小值是 ． 17. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 18. 我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水吨，应交水费元． （1）若，请写出与的函数关系式． （2）若，请写出与的函数关系式． （3）如果该户居民这个月交水费23元，那么这个月该户用了多少吨水？ 19. 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 20. 综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． （1）求直线的表达式与点的坐标； （2）如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． （3）试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $