专题01 分式-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用，北京版）

专题01 分式 【经典基础题】 · 题型01 分式有意义或等于0 · 题型02 分式变形或约分 · 题型03 同分母分式加减法 · 题型04 异分母分式加减法 · 题型05 分式加减混合运算 · 题型06 分式乘除混合运算 · 题型07 分式乘方运算 · 题型08 分式四则混合运算 · 题型09 解方式方程 · 题型10 分式化简求值 【优选提升题】 · 题型01 分式的实际应用（价格问题） · 题型02 分式方程的实际应用（产量问题） · 题型03 分式方程的实际应用（路程问题） · 题型04 分式方程的实际应用（工程问题） · 题型05 由分式方程解求参 · 题型06 分式新定义 · 题型07 分式的规律问题 · 题型08 二元分式的化简求值 · 题型09 分式的开放性问题 分式有意义或等于0 1．（23-24八年级上·北京石景山·期末）若代数式的值为0，则实数x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式的分子为0，分母不为0，列式求解即可． 【详解】解：若代数式的值为0， ，， 解得，， 实数x的值为0， 故选A． 2．（17-18八年级上·北京·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键 直接运用分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵数式有意义， ∴，即． 故答案为． 3．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式有意义， ，解得， 故选：B． 4．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为0，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式的值为0，即根据分子为零分母不为零建立式子求解，即可解题． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得且， 综上可知，， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·北京昌平·期末）若分式的值为0，则的值为 . 【答案】0 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：若分式的值为0， 则，， ， 即的值为0， 故答案为：0． 6．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）如果分式的值为0，那么的值为是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式为条件，分式的分子为，分母不为是解题的关键． 根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案． 【详解】解：分式的值为0， ，且， ， 故答案为：2． 7．（23-24八年级上·北京房山·期末）如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，根据分式的值为，列出分式方程，解分式方程即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】∵分式的值为， ∴， 方程两边同时乘以得， ， 解得， 检验：把代入得，， ∴是原分式方程的解， 故选：． 8．（23-24八年级上·北京丰台·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解答的关键．根据分式的分母不能为零求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，只需， 则实数的取值范围是， 故选：C． 9．（23-24八年级上·北京通州·期末）如果分式的值为，那么的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件：分子的值为零，分母得值不为零，即可求解，掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，且， 解得， 故答案为：． 分式变形或约分 10．（23-24八年级上·北京石景山·期末）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，异分母分式相加，根据“分式的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分式值不变”以及异分母分式的加法法则，逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D正确，符合题意； 故选：D． 11．（23-24八年级上·北京平谷·期末）分式，化简结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的约分的应用，能根据分式的基本性质正确约分是解此题的关键． 先对分母分解因式，再根据分式的基本性质进行约分即可． 【详解】解：， 故选：B． 12．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入数字 ，变形的依据是 ． 【答案】 分式的基本性质 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质可和分母的变化即可求解． 【详解】解：∵， ∴括号内应填入数字，变形的依据是分式的基本性质． 故答案为：，分式的基本性质． 13．（23-24八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，，则，，即，原变形错误，不符合题意； B、，原变形正确，符合题意； C、若，，，则，，即，原变形错误，不符合题意； D、，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 14．（23-24八年级上·北京顺义·期末）如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质， 依题意分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的a和b得， ∴新分式缩小到原来的， 故选C． 15．（23-24八年级上·北京海淀·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形正确，符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选C． 16．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】0或/或0 【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或， 然后分别求解，即可确定的整数值． 【详解】解：若分式的值为整数， 则或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若取整数， 则的整数值为0或． 故答案为：0或． 同分母分式加减法 17．（23-24八年级上·北京延庆·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据同分母的分式的加减，进行计算，再约分即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：                ． 异分母分式加减法 18．（23-24八年级上·北京昌平·期末）计算：. 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法，掌握异分母加法的运算法则是解题关键．先通分，变为同分母分式，再加减即可． 【详解】解： ． 19．（23-24八年级上·北京顺义·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式加减法，熟练掌握分式加减法的法则是解题的关键． 先化成同分母分式，再运用同分母分式加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 20．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算法则，即可解题． 【详解】解：原式 ． 分式加减混合运算 21．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论． 【答案】数据计算：，，；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用： 数据计算：把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，由此可解； 实验结论：根据前一问结论，比较大小即可； 推广证明：用含x，a，m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比，利用分式的性质将分子化为相同，比较分母的大小即可． 【详解】解：数据计算： 方案一，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案二，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案三，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，，； 实验结论： ， 方案三的漂洗效果最好， 故答案为：三； 推广证明： 依题意可得， 选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，可化为； 选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同， 所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小， 因为，且，， 所以， 所以， 所以， 即方案二比方案一的漂洗效果好， 因为，且， 所以， 所以， 所以， 即方案三比方案二的漂洗效果好， 综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好． 分式乘除混合运算 22．（23-24八年级上·北京大兴·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，再运用分式的乘法运算法则即可求解，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 23．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握分式的乘除运算法则，即可解题． 【详解】解：原式， ． 分式乘方运算 24．（23-24八年级上·北京延庆·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 25．（23-24八年级上·北京大兴·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘方运算，解题的关键是熟练掌握分式乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：． 故答案为：． 26．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项分别进行判断即可．此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．与不是同类项，不能进行合并和计算，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 分式四则混合运算 27．（23-24八年级上·北京平谷·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，正确理解运算顺序是关键． 首先计算括号内的式子，把除法转化成乘法，然后进行约分即可求解． 【详解】解： = = = 28．（23-24八年级上·北京·期末）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简． 【详解】原式 29．（23-24八年级上·北京丰台·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则，先算括号，再算除法运算即可； 【详解】解：原式 ． 30．（23-24八年级上·北京海淀·期末）（1）已知，求代数式的值． （2）计算：． 【答案】（1）13（2） 【分析】本题考查了整式的化简求值和分式的混合运算，掌握运算法则和通分、约分是解题的关键． （1）先去括号，在合并同类项，然后把代入化简后的式子计算即可； （2）先通分括号里面的，再把除法转化为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式= =； ∵， ∴． ∴．   ∴原式=． （2）原式= =   =． 解方式方程 31．（23-24八年级上·北京·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程．根据题意对分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 32．（23-24八年级上·北京延庆·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．去分母，化成整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得 ， 解得， 检验：当时，， 所以原方程的解是． 33．（23-24八年级上·北京·期末）解分式方程： 【答案】方程无解 【分析】本题考查解分式方程，两边同乘，化分式方程为整式方程，求解即可，注意检验． 【详解】解： 左右同乘， ， 解得：， 检验时，， ∴原方程无解． 34．（23-24八年级上·北京平谷·期末）解分式方程： ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程．先去分母，将分式方程转化成整式方程，再移项，合并同类项，然后系数化为1，最后检验即可． 【详解】解： 检验：当时，方程左右两边相等，所以是原方程的解． 所以原方程的解是． 35．（23-24八年级上·北京通州·期末）分式方程的两边同时乘以，约去分母，得到的整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程去分母，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据解分式方程的方法即可得到答案． 【详解】解：两边同时乘以， 得， 故选C． 36．（23-24八年级上·北京通州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算． 【详解】解： ． 37．（23-24八年级上·北京丰台·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解答，解题的关键是掌握分式方程的解法，注意，检验； 根据分式方程的解答方法解答即可； 【详解】解：方程两边乘，得 解得：； 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 38．（23-24八年级上·北京西城·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程，方程两边同乘以变形为整式方程，解整式方程并检验，即可确定原方程的解． 【详解】解：, 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 39．（23-24八年级上·北京东城·期末）解分式方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法．先去分母把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后代入原方程检验即可． 【详解】解： 方程两边都乘，得． 解得：． 检验：当时，． 所以分式方程的解是． 40．（23-24八年级上·北京顺义·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 41．（23-24八年级上·北京大兴·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以进行去分母，然后按照移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，然后检验，即可获得答案． 【详解】解：， 等号两边同时乘以，可得 ， 移项、合并同类项，可得 ， 系数化为1，可得 ， 经检验，是该分式方程的解， ∴该分式方程的解为． 分式化简求值 42．（23-24八年级上·北京延庆·期末）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再计算乘法，约分即可化简，再代入值进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： 将代入中，原式． 43．（23-24八年级上·北京东城·期末）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，最后代入求值即可．掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 44．（23-24八年级上·北京东城·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值． 【详解】解： ． 当时，原式． 45．（23-24八年级上·北京昌平·期末）先化简，再从0，1，2三个数中，选择一个合适的数作为的值代入求值. 【答案】，当时，原式=1.（或原式=） 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后确定a的值，把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ； ∵， ∴， 将代入，得：.（或将代入，得：.） 46．（23-24八年级上·北京房山·期末）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先对算式进行化简，再把代入到化简后的结果中进行计算即可求解，掌握分式的运算是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 把代入得， 原式． 47．（23-24八年级上·北京石景山·期末）已知，求代数式的值． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．先将括号里面进行通分，将除法改写为乘法，各个分子分母因式分解，再化简，根据得出，将其代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 48．（23-24八年级上·北京西城·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），原式 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可； （2）先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算． 【详解】解：（1） ． （2） =． 当时，原式． 49．（23-24八年级上·北京顺义·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把计算括号内的分式加法，再把被除数分子，除数分子和分母分解因式，接着把除法变成乘法化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 分式的实际应用（价格问题） 50．（23-24八年级上·北京东城·期末）列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． (1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 (2)请你完整解答本题． 【答案】(1)1300；； (2)每套B型号的“文房四宝”的价格为100元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）先求出型号的“文房四宝”花费元，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套； （2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元， ∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，， ∴每套型号的“文房四宝”的价格为元， ∴购买型号的“文房四宝”套， 故答案为：1300；；； （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元． 分式方程的实际应用（产量问题） 51．（23-24八年级上·北京昌平·期末）甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出乙每天做个零件，再根据甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，乙每天做个零件， 则可列方程为， 故选：A． 52．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用分式的减法计算括号内的减法运算，再计算分式的乘法即可得到化简结果，再求出，整体代入化简结果即可得到答案，此题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 53．（23-24八年级上·北京·期末）某生态示范村种植基地计划种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了8万斤，种植亩数减少了20亩，则原计划平均每亩产量是多少万斤？ 【答案】万斤 【分析】本题考查分式方程的应用，设原计划每亩产量x万斤，改良后每亩产量万斤，根据题意可以列出相应的分式方程，注意分式方程要检验，从而可以解答本题，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【详解】设原计划每亩产量x万斤，改良后每亩产量万斤， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴原计划平均每亩产量是万斤． 54．（23-24八年级上·北京平谷·期末）过年包饺子是中国新年传统习俗之一，在中国，饺子不仅仅是一种食物，它还象征着团圆、和谐和幸福．大年三十当天，小美的爸爸、妈妈一起为全家制作美味的饺子，小美的爸爸擀皮，妈妈包饺子，一共制作了80个饺子，小美发现爸爸每分钟擀皮的个数是妈妈包饺子的4倍，爸爸擀面皮的时间比妈妈包饺子的时间少用了20分钟，请你根据以上信息，求出爸爸每分钟擀皮的个数和妈妈每分钟包饺子的个数． 【答案】妈妈每分钟包饺子3个，则爸爸每分钟擀皮12个． 【分析】此题考查分式方程的应用．设妈妈每分钟包饺子x个，则爸爸每分钟擀皮4x个，根据爸爸擀面皮的时间比妈妈包饺子的时间少用了20分钟，列出方程求解即可． 【详解】解：设妈妈每分钟包饺子x个，则爸爸每分钟擀皮4x个 由题意知，． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：妈妈每分钟包饺子3个，则爸爸每分钟擀皮12个． 55．（23-24八年级上·北京丰台·期末）北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息 信息一：基地有、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，试验田比试验田少20亩； 信息二：试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨； 信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍． 根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量． 【答案】0.575吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，设普通水稻平均每亩产量为吨，则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨，利用试验田比试验田少20亩，可列方程，解方程即可解答，解题的关键是找出正确的等量关系． 【详解】解：设普通水稻平均每亩产量为吨， 则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨． 由题意可得， ． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． ． 答：粳稻“天隆优717”平均每亩产量为0.575吨． 56．（23-24八年级上·北京顺义·期末）列方程解应用题： 某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个． 【答案】A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个，根据A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，列出方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个． 分式方程的实际应用（路程问题） 57．（23-24八年级上·北京·期末）远大中学组织同学到离学校15km的郊区进行社会调查．一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40min后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度． 【答案】自行车的速度为15km/h，汽车的速度为45km/h 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设自行车的速度为x km/h，则汽车的速度为 km/h，根据骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地，列出分式方程进行求解即可．读懂题意，正确的列出分式方程，是解题的关键． 【详解】解：设自行车的速度为x km/h，则汽车的速度为km/h， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：自行车的速度为15km/h，汽车的速度为45km/h． 58．（23-24八年级上·北京昌平·期末）第31届世界大学生夏季运动会，于2023年7月28日至8月8日在成都举办.上海的学生小李一家想在此次运动会期间前往成都观赛，可供选择的交通工具有我国自主知识产权的高铁和C919大型民航客机．已知民航客机的平均速度是高铁的3倍，当路程均为1620千米时，搭乘民航客机会比高铁节省4小时，求民航客机和高铁的平均速度． 【答案】高铁平均速度为270千米/时，民航平均速度为810千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，设高铁的平均速度为千米/时，则民航客机的平均速度为千米/时，根据题意列分式方程求解检验，即可得到答案． 【详解】解：设高铁的平均速度为千米/时，则民航客机的平均速度为千米/时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际问题的意义， 当时，， 答：高铁平均速度为270千米/时，民航平均速度为810千米/时． 59．（23-24八年级上·北京石景山·期末）2023年8月29日华为系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在和网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比网络环境下载的时间少105秒，测得网络环境下载的速度是网络环境下载速度的倍，问该用户在网络环境下载文件的速度是每秒多少兆? 【答案】该用户在网络环境下载文件的速度是每秒92兆 【分析】设该用户在网络环境下载文件的速度是每秒兆，则在网络环境下载文件的速度是每秒兆，根据下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比网络环境下载的时间少105秒，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设该用户在网络环境下载文件的速度是每秒兆，则在网络环境下载文件的速度是每秒兆，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ， 答：该用户在网络环境下载文件的速度是每秒92兆． 60．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词． 【答案】求测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词． 【分析】考查了分式方程的应用，解题的关键是能够找到等量关系并依照等量关系列出方程求解． 【详解】解：设测试者使用键盘输入平均每分钟输入x个单词，则使用语音输入平均每分钟输入个单词． 由题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 所以． 答：测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词． 61．（23-24八年级上·北京延庆·期末）列方程解应用题： 为响应绿色出行，低碳减排号召，助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从地到地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元 【分析】本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 62．（23-24八年级上·北京·期末）甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设普通列车的平均速度为，则高铁列车的平均速度为，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时列分式方程求解． 【详解】解：设普通列车的平均速度为，则高铁列车的平均速度为， 解得：， 经检验：是原分式方程解，且符合实际意义， ∴， 答：高铁列车的平均速度为． 63．（23-24八年级上·北京通州·期末）列方程解应用题： 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间. 【答案】天 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意列出方程解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 根据题意得：， 即 两边同时乘以 得 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：规定时间为天． 分式方程的实际应用（工程问题） 64．（23-24八年级上·北京大兴·期末）小月是学校图书馆A书库的志愿者，小杰是学校图书馆B书库的志愿者；他们各自负责本书库的整理工作．6月5日，图书馆A书库有120册图书需整理，而B书库有80册图书需整理，小月每小时整理图书的数量是小杰每小时整理图书数量的1.2倍，他们同时开始工作，结果小杰比小月提前15分钟完成工作，求小月和小杰每小时分别可以整理多少册图书． 【答案】小月每小时整理96册，小杰每小时整理80册 【分析】题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验. 设小杰每小时整理x册图书，则小月每小时可以整理册图书，根据同时开始工作，小杰比小月提前15分钟完成工作．列方程求解 【详解】设小杰每小时整理x册图书， 根据题意，得 ，解得 经检验，是原方程的解，且符合实际意义. ∴（册） 答：小月每小时整理96册，小杰每小时整理80册. 65．（23-24八年级上·北京丰台·期末）甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程，若两队共同工作6天可完成这项工程，则下面列式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是工程问题, 解答此题的关键是掌握工作效率时间工作总量； 根据工作效率时间工作总量，要求 6 天完成，则两队的工作效率之和乘6即可； 【详解】把这项工程看做单位 “ 1 ”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为； 根据工作效率时间工作总量，可得：； 故选：C． 66．（23-24八年级上·北京西城·期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量工作效率工作时间．先设乙单独清点这批图书需要的时间是小时，根据“甲3小时清点完一批图书的”和“两人合作2.4小时清点完另一半图书”列出方程． 【详解】解：设乙单独清点这批图书需要， 根据题意，得， 故答案为：． 67．（23-24八年级上·北京·期末）某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ (2)已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室 (2)13天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，利用工作时间工作总量工作效率，可列出关于的分式方程即可， （2）设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，根据安装总费用不超过22600元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； （2）解：设安排甲公司工作天，则乙公司工作天， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为13． 答：最多安排甲公司工作13天． 68．（23-24八年级上·北京海淀·期末）列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 【答案】件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键． 设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可． 【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹， 依题意可得：，解得：． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：1名快递员平均每天可配送包裹件． 69．（23-24八年级上·北京海淀·期末）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______； (2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ (3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)①，②方案C (3) 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答； （3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ② 解：=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． （3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位， ∴第一次净水后，杂质含量为：， ∴第二次净水后，杂质含量为：， ∵ ， ∵， ∴， 当，即时，有最大值为， ∴此时分数有最小值， 即第一次使用单位的净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少， 故答案为：． 由分式方程解求参 70．（23-24八年级上·北京·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母得到， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是方程 的根， 当时，解得： 当时，解得： 故选：A． 71．（23-24八年级上·北京石景山·期末）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示出x，再根据解是正数且列不等式，即可求解． 【详解】解：将分式方程，去分母得：， 整理得， 解得， 分式方程的解是正数， ， ； 又， ， ， m的取值范围是且， 故选C． 分式新定义 72．（23-24八年级上·北京东城·期末）已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1)；且； (2)①；② 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的除法运算，化简求值，掌握运算法则是解本题的关键； （1）根据分式的基本性质化简繁分式即可，根据分母不为0求解分式有意义的条件时，字母的取值范围即可； （2）①先代入，再列式计算分式的除法运算即可； ②先化简分式，代入，约分后可得答案． 【详解】（1）解：； ∵繁分式有意义， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）①∵，． ∴ ； ②∵， ∴， ； 73．（23-24八年级上·北京顺义·期末）对于任意实数a，b，规定：．若，则x的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了定义新运算、分式方程，解题的关键是根据新运算得出算式，再解分式方程． 【详解】解：， ， ， 解这个方程得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：6． 74．（23-24八年级上·北京海淀·期末）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题： 乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”． a．分子和分母均为正整数； b．分子小于分母； c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同； d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等． 例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”． （1）判断： （填“是”或“不是”）“乐数”； （2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ． 【答案】 不是 （答案不唯一） 【分析】本题考查了了分式的定义，因式分解的应用． （1）根据“乐数”的定义可以判断不是“乐数”； （2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，由题意得，推出，由，为正整数，得到或5或10，据此求解即可． 【详解】解：（1）去掉相同的数字3之后，得到的分数为，而，， 故不是“乐数”； （2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为， 由题意得， 整理得，即， ∵，为正整数， ∴或5或10， ∴或4或9（舍去）， ∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是或． 故答案为：不是，． 分式的规律问题 75．（23-24八年级上·北京石景山·期末）小明根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； 第5个：______． …… (2)观察、归纳，发现规律，得出猜想： 第n个等式可以表示为：______（n为正整数）． (3)证明（2）中的猜想． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了分式的规律探索，分式加减运算，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据前4个等式的规律即可得； （2）根据前5个等式，归纳类推出一般规律即可得； （3）根据分式的减法、二次根式的性质化简即可得证． 【详解】（1）解：第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； 第5个： ； 故答案为：． （2）解：归纳类推得：如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为： ； 故答案为：． （3）证明：∵， ， ∴． 76．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：方程变形得：， ∴， 可得或， 解得：，． 二元分式的化简求值 77．（23-24八年级上·北京丰台·期末）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出的值，整体代入计算即可求出值； 【详解】解：原式 ． ， ． 原式． 分式的开放性问题 78．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）化简：，并选择一个适当的的值代入求值． 【答案】，2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式化简求值、分式有意义的条件、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握分式运算法则是解题关键． 首先根据分式的运算法则进行运算求解，然后根据分式有意义的条件可知且且，最后将代入求值即可． 【详解】解： ， ∵且且， ∴且且， ∴可取， 此时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式 【经典基础题】 · 题型01 分式有意义或等于0 · 题型02 分式变形或约分 · 题型03 同分母分式加减法 · 题型04 异分母分式加减法 · 题型05 分式加减混合运算 · 题型06 分式乘除混合运算 · 题型07 分式乘方运算 · 题型08 分式四则混合运算 · 题型09 解方式方程 · 题型10 分式化简求值 【优选提升题】 · 题型01 分式的实际应用（价格问题） · 题型02 分式方程的实际应用（产量问题） · 题型03 分式方程的实际应用（路程问题） · 题型04 分式方程的实际应用（工程问题） · 题型05 由分式方程解求参 · 题型06 分式新定义 · 题型07 分式的规律问题 · 题型08 二元分式的化简求值 · 题型09 分式的开放性问题 分式有意义或等于0 1．（23-24八年级上·北京石景山·期末）若代数式的值为0，则实数x的值为（    ） A． B． C． D． 2．（17-18八年级上·北京·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 3．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为0，则 ． 5．（23-24八年级上·北京昌平·期末）若分式的值为0，则的值为 . 6．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）如果分式的值为0，那么的值为是 ． 7．（23-24八年级上·北京房山·期末）如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·北京丰台·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是() A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·北京通州·期末）如果分式的值为，那么的值为 . 分式变形或约分 10．（23-24八年级上·北京石景山·期末）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·北京平谷·期末）分式，化简结果为（） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入数字 ，变形的依据是 ． 13．（23-24八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·北京顺义·期末）如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 15．（23-24八年级上·北京海淀·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ． 同分母分式加减法 17．（23-24八年级上·北京延庆·期末）计算：． 异分母分式加减法 18．（23-24八年级上·北京昌平·期末）计算：. 19．（23-24八年级上·北京顺义·期末）计算：． 20．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）计算：． 分式加减混合运算 21．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论． 分式乘除混合运算 22．（23-24八年级上·北京大兴·期末）计算： ． 23．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）计算：． 分式乘方运算 24．（23-24八年级上·北京延庆·期末）计算： ． 25．（23-24八年级上·北京大兴·期末）计算： ． 26．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 分式四则混合运算 27．（23-24八年级上·北京平谷·期末）计算： ． 28．（23-24八年级上·北京·期末）化简： 29．（23-24八年级上·北京丰台·期末）计算：． 30．（23-24八年级上·北京海淀·期末）（1）已知，求代数式的值． （2）计算：． 解方式方程 31．（23-24八年级上·北京·期末）解方程：． 32．（23-24八年级上·北京延庆·期末）解方程：． 33．（23-24八年级上·北京·期末）解分式方程： 34．（23-24八年级上·北京平谷·期末）解分式方程： ． 35．（23-24八年级上·北京通州·期末）分式方程的两边同时乘以，约去分母，得到的整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24八年级上·北京通州·期末）计算：． 37．（23-24八年级上·北京丰台·期末）解分式方程：． 38．（23-24八年级上·北京西城·期末）解方程：． 39．（23-24八年级上·北京东城·期末）解分式方程． 40．（23-24八年级上·北京顺义·期末）解方程：． 41．（23-24八年级上·北京大兴·期末）解方程： 分式化简求值 42．（23-24八年级上·北京延庆·期末）已知，求代数式的值． 43．（23-24八年级上·北京东城·期末）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 44．（23-24八年级上·北京东城·期末）先化简，再求值：，其中． 45．（23-24八年级上·北京昌平·期末）先化简，再从0，1，2三个数中，选择一个合适的数作为的值代入求值. 46．（23-24八年级上·北京房山·期末）先化简，再代入求值：，其中． 47．（23-24八年级上·北京石景山·期末）已知，求代数式的值． 48．（23-24八年级上·北京西城·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 49．（23-24八年级上·北京顺义·期末）先化简，再求值：，其中． 分式的实际应用（价格问题） 50．（23-24八年级上·北京东城·期末）列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． (1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 (2)请你完整解答本题． 分式方程的实际应用（产量问题） 51．（23-24八年级上·北京昌平·期末）甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）已知，求代数式的值． 53．（23-24八年级上·北京·期末）某生态示范村种植基地计划种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了8万斤，种植亩数减少了20亩，则原计划平均每亩产量是多少万斤？ 54．（23-24八年级上·北京平谷·期末）过年包饺子是中国新年传统习俗之一，在中国，饺子不仅仅是一种食物，它还象征着团圆、和谐和幸福．大年三十当天，小美的爸爸、妈妈一起为全家制作美味的饺子，小美的爸爸擀皮，妈妈包饺子，一共制作了80个饺子，小美发现爸爸每分钟擀皮的个数是妈妈包饺子的4倍，爸爸擀面皮的时间比妈妈包饺子的时间少用了20分钟，请你根据以上信息，求出爸爸每分钟擀皮的个数和妈妈每分钟包饺子的个数． 55．（23-24八年级上·北京丰台·期末）北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息 信息一：基地有、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，试验田比试验田少20亩； 信息二：试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨； 信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍． 根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量． 56．（23-24八年级上·北京顺义·期末）列方程解应用题： 某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个． 分式方程的实际应用（路程问题） 57．（23-24八年级上·北京·期末）远大中学组织同学到离学校15km的郊区进行社会调查．一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40min后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度． 58．（23-24八年级上·北京昌平·期末）第31届世界大学生夏季运动会，于2023年7月28日至8月8日在成都举办.上海的学生小李一家想在此次运动会期间前往成都观赛，可供选择的交通工具有我国自主知识产权的高铁和C919大型民航客机．已知民航客机的平均速度是高铁的3倍，当路程均为1620千米时，搭乘民航客机会比高铁节省4小时，求民航客机和高铁的平均速度． 59．（23-24八年级上·北京石景山·期末）2023年8月29日华为系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在和网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比网络环境下载的时间少105秒，测得网络环境下载的速度是网络环境下载速度的倍，问该用户在网络环境下载文件的速度是每秒多少兆? 60．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词． 61．（23-24八年级上·北京延庆·期末）列方程解应用题： 为响应绿色出行，低碳减排号召，助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从地到地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 62．（23-24八年级上·北京·期末）甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度． 63．（23-24八年级上·北京通州·期末）列方程解应用题： 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间. 分式方程的实际应用（工程问题） 64．（23-24八年级上·北京大兴·期末）小月是学校图书馆A书库的志愿者，小杰是学校图书馆B书库的志愿者；他们各自负责本书库的整理工作．6月5日，图书馆A书库有120册图书需整理，而B书库有80册图书需整理，小月每小时整理图书的数量是小杰每小时整理图书数量的1.2倍，他们同时开始工作，结果小杰比小月提前15分钟完成工作，求小月和小杰每小时分别可以整理多少册图书． 65．（23-24八年级上·北京丰台·期末）甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程，若两队共同工作6天可完成这项工程，则下面列式正确的是(   ) A． B． C． D． 66．（23-24八年级上·北京西城·期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ． 67．（23-24八年级上·北京·期末）某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ (2)已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？ 68．（23-24八年级上·北京海淀·期末）列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 69．（23-24八年级上·北京海淀·期末）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______； (2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ (3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）． 由分式方程解求参 70．（23-24八年级上·北京·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 71．（23-24八年级上·北京石景山·期末）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 分式新定义 72．（23-24八年级上·北京东城·期末）已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 73．（23-24八年级上·北京顺义·期末）对于任意实数a，b，规定：．若，则x的值为 ． 74．（23-24八年级上·北京海淀·期末）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题： 乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”． a．分子和分母均为正整数； b．分子小于分母； c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同； d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等． 例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”． （1）判断： （填“是”或“不是”）“乐数”； （2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ． 分式的规律问题 75．（23-24八年级上·北京石景山·期末）小明根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； 第5个：______． …… (2)观察、归纳，发现规律，得出猜想： 第n个等式可以表示为：______（n为正整数）． (3)证明（2）中的猜想． 76．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为_______； (2)关于x的方程的解为_______； (3)关于x的方程的解为_______． 二元分式的化简求值 77．（23-24八年级上·北京丰台·期末）已知，求代数式的值． 分式的开放性问题 78．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）化简：，并选择一个适当的的值代入求值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$