【深圳，成都专版】七年级期末18类重难点题型训练- 【期末重难点突破】2024-2025学年北师大版七年级上册数学

【期末重难点突破】2024-2025学年北师大版七年级上 七年级上期末重难点突破（深圳，成都专版） 总览 题型解读 【题型1】列一元一次方程 2 【题型2】数轴化简 3 【题型3】九宫格填数问题 5 【题型4】立体图形：方块个数最多最少问题 7 【题型8】一元一次方程的应用 10 【题型5】一元一次方程的解 15 【题型6】一元一次方程与几何图形结合 17 【题型7】整式的应用 20 【题型9】根据数字找规律 26 【题型10】根据图形找规律 31 【题型11】线段中点相关计算 37 【题型12】折叠相关的角度计算 42 【题型13】角平分线、补角、余角相关计算 47 【题型14】数轴上的动点问题（选填） 56 【题型15】一元一次方程大题专练 58 【题型16】新定义问题 66 【题型17】数轴上的动点问题（解答题压轴） 77 【题型18】动角问题（解答题压轴） 92 【题型1】列一元一次方程 【例题1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出七钱，那么多了十一钱；如果每人出五钱，那么少了十三钱．问：共有几个人?”设有个人共同买兔，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据买兔所需的钱建立等量关系列出方程即可． 【详解】解：根据每人出七钱，那么多了十一钱， 可得买兔所需的钱为， 根据每人出五钱，那么少了十三钱， 可得买兔所需的钱为， ∴， 故选：D． 【巩固练习1】某车间有33名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或1800个螺母，1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，则下列方程错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得生产螺钉的工人为人，则生产螺母的工人为人，根据一个螺钉需两个螺母的数量关系找出螺钉与螺母的等量关系：螺母的总数为螺钉总数的两倍，即可求解． 【详解】生产螺钉的工人为人，工人总数为：33人， 生产螺母的工人为人， 一个螺钉需两个螺母配套，每人每天可生产螺钉1200个或螺母1800个， 为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则生产螺母的总数为螺钉总数的两倍， 可列等量关系式为：， ∴B选项不符合题意； ∵，可变形为：A选项，C选项， ∴A选项，C选项不符合题意； 故选：D． 【巩固练习2】整理一批图书，由一个人做要完成．现由某小组同学一起先整理后，有2名同学因故离开，剩下同学再整理，正好完成这项工作．假设每名同学的工作效率相同，设该小组共有x名同学，则x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该小组共有x名同学，根据题意可得，全体同学整理8小时完成的任务名同学整理4小时完成的任务，据此列方程即可得解． 【详解】解∶设该小组共有x名同学，由题意得， 【题型2】数轴化简 【例题1】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且，化简 ．    【答案】 【分析】先由数轴得出a，b，c的大小，再按照绝对值的化简法则化简即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∵， ∴， ∴ ． 【巩固练习1】（23-24七年级上·四川成都·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，再化简绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ， ， 故答案为：． 【巩固练习2】已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断： ①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＜0中，错误的是 （写序号） 【答案】②③④． 【分析】由数轴分别得出a、b、c三个数的范围，再根据有理数的运算法则对四个结论一一判断即可． 【详解】由数轴可得：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，﹣1＜c＜0， ①数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以a＜c＜b，此结论正确；②由数轴图不难得出2＜﹣a＜3，所以﹣a＞b，此结论错误；③异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，很明显，|a|＞|b|，所以a+b＜0，此结论错误；④正数减去负数所得差必为正数，所以c﹣a＞0，此结论错误． 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）点A、B、C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，点C表示的数是，则化简代数式： ． 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减运算，根据点在数轴上的位置，判断出数和式子的符号，再化简绝对值即可． 【详解】解：由图可知， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型3】九宫格填数问题 【例题1】我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（　　） A．2020 B． C．2019 D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出左上角的数是，不妨设正中间的数字为，即可列出关于x的方程，从而可以得到x的值，本题得以解决． 【详解】解：左上角的数值为：， 设正中间的数字为a， 由题意可得， 解得． 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的应用，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即 【巩固练习2】如图是某同学新创的“幻方”游戏图，图中有2个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“”．将，这8个数填入恰当的位置，使得横竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，该同学已填写部分“”中的数字，则图中的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为，再由已经填写的数，确定或，从而求出d的值，即可求解． 【详解】解：， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为， ， ， 如图，设内圈第四个数字为c，外圈第四个数字为d， ， ， ∴或， 当时，，此时； 当时，，此时； 【题型4】立体图形：方块个数最多最少问题 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和从上面看到的这个几何体的形图如图所示，则搭成该几何体的小立方块的个数最少 个．    【答案】6 【分析】本题考查对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．利用俯视图，在上面写出最少时小正方体的个数，可得结论． 【详解】解：如图所示：    故搭成该几何体的小立方块的个数最少（个）． 【例题2】（23-24七年级上·四川成都·期末）由大小相同的小正方体搭成一个几何体，若搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则所需小正方体的最少个数为 ．    【答案】9 【分析】本题考查了由三视图判断小正方体的个数，根据左视图可猜想俯视图每一排的个数情况，即可求解． 【详解】由左视图和俯视图可知，    ∴小正方体的最少个数为（个） 【巩固练习1】用小立方块搭一个几何体，如图是从正面和上面看到的几何体的形状图，最少需要 个小立方块，最多需要 个小立方块． 【答案】 9 13 【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加即可； 【详解】解：搭这样的几何体最少需要个小正方体， 最多需要个小正方体 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．    【答案】9 【分析】本题考查了从不同的方向看几何体，解题的关键是根据从正面和上面看到的图形得出第一列最多2层，第二列最多1层，第三列最多有2层，即可求解． 【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2层，第二列最多1层，第三列最多有2层，如图所示，    ∴搭成这个几何体的小立方块最多有 【巩固练习3】由若干大小相同的小立方块搭成的几何体从上面和正面看到的形状如图所示，则这个几何体的小立方块最少是 个． 【答案】9 【分析】利用俯视图写出最少的一种情形的个数，可得结论． 【详解】解：如图，这个几何体的小立方体的个数最少（个， 【题型8】一元一次方程的应用 【例题1】定义运算“*”对于任意有理数与，满足，例如：．若有理数满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意分为两种情况，①当时，，②当时，，再解一元一次方程，符合题意的值即为所求． 【详解】解： 若， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：． 【例题2】一商店在某一时间以每件a元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，若卖出这两件衣服商店共亏损10元，则a的值为 ． 【答案】75 【分析】先把第一件衣服的成本价看成单位“1”，售价是成本价的（1＋25%），它对应的数量是a元，由此用除法求出成本价，进而求出赚了多少钱；再把第二件衣服的成本价看成单位“1”，售价是成本价的（1−25%），它对应的数量是x元，由此用除法求出成本价，进而求出赔了多少钱；再把赚的钱数和赔的钱数作差，列方程解答即可． 【详解】解：第一件衣服赚了：a−a÷（1＋25%）＝0.2a（元） 第二件衣服赔了：a÷（1−25%）−a＝a（元） 根据题意，可得：a−0.2a＝10， 解得：a＝75， 答：a的值为75． 【例题3】如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，则被污染的两个数字中右边的数字是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设被污染的两个数字左边的数字为，则右边的数字是，然后根据题中的算法表示出，即可得出，再由校验码为9列出一元一次方程，解方程即可得出答案，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设被污染的两个数字左边的数字为，则右边的数字是， 由题意得：， ， ， 为的整数倍，且， 或， 由图可得校验码为9， 当时，，解得：，则右边的数为， 当时，，解得：，不符合题意，舍去， 最右边的数为 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）某商品原先的利润率为，为了促销，现降价20元销售，此时利润率下降为．那么这种商品的进价是（    ）元 A．20 B．100 C．150 D．200 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握利润率、进价、利润之间的关系：利润进价利润率，设商品的进价为x元，根据题意列出方程即可得出答案． 【详解】解：设商品的进价为x元， 则， 解得， 即这种商品的进价是200元． 【巩固练习2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）在做整式加减法运算时，李老师在黑板上写出一个正确的运算过程，用手遮住一个代数式后形为：，当时，手遮住的代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是整式的加减，代数式求值，解题的关键是根据题意求出手遮住的代数式，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 【详解】解：所捂住的代数式是： ， 把代入得： 原式． 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图是一个“数值转换机”示意图，输入数值x后按流程依次运算出，再判断是否大于100，若大于100，则输出x作为运算结果，若不大于100，则将x作为输入数值按程序继续进行运算，如：输入数值50，该运算流程只需执行1次则输出101．小明输入数值a，该运算流程执行6次后输出结果，小华输入数值a＋5，该运算流程执行4次后输出结果，若小明输出结果比小华输出结果大40，则a的值为 ．    【答案】1.5 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，由程序计算结果，循环计算得出结果，二者进行比较，求得a的值． 【详解】解：由题意． 小明计算第一次：． 计算第二次：． 计算第三次：． 计算第四次：． 计算第五次：． 计算第六次：． ∴小明输出结果为． 小华计算第一次：． 计算第二次：． 计算第三次：． 计算第四次：． ∴小华输出结果为． ． 解得：． 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）新年联欢，某公司为员工准备了A，B两种礼物，A礼物单价a元，重m千克，B礼物单价元，重千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，通过称重其他盲盒，大家发现： 称重情况 重量大于小林的盲盒的 与小林的盲盒一样重 重量介于小林和小李之间的 与小李的盲盒一样重 重量小于小李的盲盒的 盲盒个数 0 5 0 9 4 若这些礼物共花费元，则 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意得小林的盲盒有一件A礼物一件B礼物，小李的盲盒有2件A礼物或小林的盲盒有2件B礼物，小李的盲盒有一件A礼物一件B礼物，根据重量小于小李的盲盒的有4盒得小李的盲盒中不可能有2件A礼物，则小林的盲盒有2件B礼物，小李的盲盒有一件A礼物一件B礼物，即可得重量小于小李的盲盒为2件A礼物，则2件A礼物有4盒，1件A礼物盒1件B礼物各有盒，2件B礼物有6盒，进行计算即可得，根据题意得出小林的盲盒有2件B礼物，小李的盲盒有一件A礼物一件B礼物是解题的关键． 【详解】解：∵A礼物重m千克，B礼物重千克， ∴B礼物比A礼物重2千克， ∵每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克， ∴小林的盲盒有一件A礼物一件B礼物，小李的盲盒有2件A礼物或小林的盲盒有2件B礼物，小李的盲盒有一件A礼物一件B礼物， ∵重量小于小李的盲盒的有4盒， ∴小李的盲盒中不可能有2件A礼物， ∴小林的盲盒有2件B礼物，小李的盲盒有一件A礼物一件B礼物， ∴重量小于小李的盲盒为2件A礼物， ∴2件A礼物有4盒，1件A礼物盒1件B礼物各有盒，2件B礼物有6盒， 即， ， ， ， 故答案为：． 【题型5】一元一次方程的解 【例题1】已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）若是关于x的一元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再由，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴ 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）若关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为（    ） A．1 B．2 C．3或4 D．0或1 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解含字母系数的一元一次方程，掌握方程的解即是正整数和是整数的两个条件是解题的关键． 首先求出关于的方程的解，解得，再根据方程的解为正整数，为整数，分类讨论即可求出的值． 【详解】解：由题可知，， 解得：， 方程的解为正整数，为整数， 或， 或 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程与的解互为倒数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数、一元二次方程的解以及解一元二次方程等知识，正确求得两方程的解是解题关键．首先分别求解两方程，然后根据两方程的解互为倒数，建立关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：解方程， 可得， 解方程， 可得， ∵两方程的解互为倒数， ∴， 解得 ． 故答案为：． 【题型6】一元一次方程与几何图形结合 【例题1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）乐乐用一张长为的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图1所示，最后折成的纸飞机如图2所示，为，则图2中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由折叠过程可得出，解方程即可得出答案，理解题意，得出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得： 【巩固练习1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如果一个长方形内部能用正方形按如图方式既不重叠又无缝隙铺满，就称这个长方形为优美长方形．如图所示的优美长方形的周长为52，则正方形的边长为 ．    【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形的边长为x，根据图可得各个正方形的边长，最后再根据优美长方形的周长列方程求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】设正方形的边长为x，即， ∴， ∵优美长方形的周长为52， ∴， 解得 【巩固练习2】如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（    ）．    A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论. 【详解】解：设为， ∵，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 解得. 【巩固练习3】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，在长方形中，，，E为的中点，动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E.若点P运动的时间为x秒，则当的面积为时，x的值为（    ） A． B．5 C．或5 D． 【答案】C 【分析】本题考查长方形的性质和三角形的面积公式的应用以及一元一次方程的应用，分析题意可知有三种情况，即点P在上，上及上；再根据分上述三种情况分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可． 【详解】解：①如图1， 当P在上时， ∵的面积等于， ∴， 解得． ②当P在上时，如图2， ∵的面积等于， ∴， ∴， 解得． ③当P在上时，如图3， ∴， 解得，不合题意，舍去． 综上可知，当或5时，的面积等于 【题型7】整式的应用 【例题1】某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的60包茶叶．如果以每包元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店（ ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，解题的关键是理解利润（售价进价）数量． 由题意得，进货成本，销售额，根据题意列式求解即可． 【详解】解：由题意得，进货成本，销售额， 故 ∵， ∴， ∴这家商店盈利． 【例题2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图是某展馆的平面图，3个展区均为正方形，分别记为①、②、③．④是展区②和③的公共区域．已知展区①、②、③的边长分别为10米，20米和30米，入口区域和出口区域的面积分别记为和，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减．设④展区的宽，求得米，再求得、和的长，利用矩形的面积公式列式，比较即可得解． 【详解】解：由①、③的边长得米，设④展区的宽， ∴米，米， ∴， ∴， ∴，， ∴ 【例题3】（23-24七年级上·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握．由得到，再将变形为：，然后将代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【巩固练习1】法国的“小九九”从“一 一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算和的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数．若用法国的“小九九”计算，左、右手依次伸出手指的个数是（　　） ？ 因为两手伸出的手指数的和为，未伸出的手指数的积为，所以 ？ 因为两手伸出的手指数的和为，未伸出的手指数的积为，所以 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据和的计算过程得出计算左手应伸出个手指，右手伸出个手指是解此题的关键． 【详解】解：计算的过程为：左手应伸出个手指，右手伸出个手指，计算的过程为：左手应伸出个手指，右手伸出个手指， 计算的过程为：左手应伸出个手指，右手伸出个手指 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，把五个四边形拼成一个大长方形，其中⑤是正方形，①，②，③，④都是长方形，若长方形②，④的周长和为23，则大长方形的周长是（    ） A．20 B．23 C．40 D．46 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减的应用，解题的关键是根据图形各边的数量关系来解答． 根据原图得到：大长方形的长是长方形②和④的长﹣正方形⑤的边长；大长方形的宽是长方形②和④的宽+正方形⑤的边长．再表示出大长方形的周长，即可求出答案． 【详解】解：设长方形②的长为a，宽为b；长方形④的长为c，宽为d；正方形⑤的边长为e． 则，， ∴长方形的周长， ∵长方形②和长方形④周长和为：， ∴长方形的周长是23 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在正方形的边上取一点，以为边在正方形的上方作正方形，连接，若正方形与正方形边长分别为和． (1)若，求； (2)若（为常数），当为何值时，五边形的周长与的取值无关． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减， （1）结合图形可得，继而得到关于、，整理后即可得出答案； （2）先表示出五边形的周长，再根据题意可得关于的方程，求解即可； 正确理解题意并列式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形与正方形边长分别为和， ∴， ∵， ∴； （2）五边形的周长为： ， ∵五边形的周长与的取值无关， ∴， 解得：， ∴当为时，五边形的周长与的取值无关． 【巩固练习4】（23-24七年级上·广东深圳·期末）综合与实践：某数学学习小组在探索网格中多边形的面积．如图1用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，以格点为顶点的四边形称为格点四边形，同理，以格点为顶点的多边形称为格点多边形． 图形序号 格点多边形的内部格点数x 格点多边形的边上的格点个数y 格点多边形的面积S 图2 4 6 （1）已求 图3 7 4 （2）已求 图6 22 20 （3）已求 (1)如图2，格点三角形的面积为______； (2)如图3，求格点的面积小组发现，面积无法直接求得，尝试转化为已知可直接求的图形面积．小组发现两种方法：方法一：如图4，将三角形补成如图长方形，用长方形面积减去三个阴影部分的直角三角形面积可得的面积；方法二：将分成如图5三个三角形，，，，三个三角形的面积可以求出，则的面积可以求出．选用上述方法，可求得的面积为______； (3)如图6，阴影部分图形的面积为______； (4)小组发现，用（2）方法，可以求得网格中所有格点多边形的面积．小组通过一些面积的计算，发现：格点多边形的面积与格点多边形的边上的格点个数、多边形内部格点的个数之间有一定数量关系，为了探求这种关系，小组列出表格：你也可以尝试多个不同的格点多边形，直接用含有x，y的代数式表示S．______． 【答案】(1)6 (2)8 (3)31 (4) 【分析】本题考查利用网格求图形面积以及图形的规律探索； （1）根据三角形面积等于底乘高即可求解； （2）利用题目提供的方法即可求解； （3）利用大正方形的面积减去周围空白部分的面积即可求解； （4）根据表格发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：由图可得：面积为， 故答案为：6； （2）解：方法一：的面积为：； 方法二：的面积为：， 故答案为：8； （3）解：阴影部分图形的面积为：， 故答案为：31； （4）解：根据以上可完成表格 图形序号 格点多边形的内部格点数x 格点多边形的边上的格点个数y 格点多边形的面积S 图2 4 6 6 图3 7 4 8 图6 22 20 31 由表格可得：， 故答案为：． 【题型9】根据数字找规律 【例题1】已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出数列的前个数，从而得出这个数列以，，依次循环，用除以，再根据余数可求的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …， ∴这个数列以，，依次循环， ∵， ∴的值是． 【例题2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以为例进行讨论：设，由，得：，，于是，即：，解方程得：，于是得，则无限循环小数化成分数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找出其中的规律，借助方程把无限小数化成整数形式是解题的关键． 按照题目给出的解题思路，设，则，可得，然后解一元一次方程即可解答． 【详解】解：设，则， ∴，即， ∴． 【例题3】（23-24七年级上·四川成都·期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中，；第2次操作后得到整式中，，；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第次操作后得到的整式串各项之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．先逐步分析前面7次操作，可得整式串的循环规律，即可求解． 【详解】解 ∶ 第1次操作后得到整式串 ； 第 2 次操作后得到整式串 ； 第3次操作后得到整式串 ； 第4次操作后得到整式串 ； 第5次操作后得到整式串 ； 第6次操作后得到的整式串 ； 第7次操作后得到的整式串 ； 归纳可得∶ 该“回头差”游戏每六次一循环， 第次操作后得到的整式中各项之和与第2次操作后得到整式串之和相等， 第2次操作后得到整式串之和为 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查对题干中差倒数概念的理解，根据a的差倒数是，算出、、，由特殊到一般，找到其变换规律，即可解题． 【详解】解：， ， ，， 数据以3个一组为循环． 由， 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ． 【答案】2701 【分析】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵， ∴第2024个智慧数在（组），并且是第1个数，即． 【巩固练习3】观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】分别求出的末位数字，再相加即可． 【详解】解：由题知， ，，，，，，，，， 所以的末位数字按循环出现， 又余2， 所以的末位数字是4． ，，，，，，，，…， 所以的末位数字按循环出现， 又余3， 所以的末位数字是7． 的末位数字是3 【巩固练习4】（22-23七年级上·广东深圳·期末）已知整数满足下列条件：，依此类推，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出的值，观察其数值的变化规律，进而求出的值． 【详解】解：根据题意可得， ， ， ， ， ， ， ， 观察其规律可得， ， ， 【巩固练习5】（24-25七年级上·广东深圳·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数为；的差倒数为现知道，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推．则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是写出前几个数，得到存在的规律． 先把前 4 个数求出来， 再分析各数之间存在的规律， 即可求解． 【详解】解：， ，，， 则该数列以这三个数循环出现， ， ， 【题型10】根据图形找规律 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期末）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……，若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为 ． 【答案】 【分析】总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚，当时，求出所用正方形卡片及等边三角形卡片的数量，再求和即可得到答案．本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚． 【详解】解：第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 当时，所用正方形卡片为：（枚），所用等边三角形卡片为：， 所用两种卡片的总数为：（枚） 【例题2】（23-24七年级上·四川成都·期末）将字母“O”，“S”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第6个图形中字母“O”的个数是 ． 【答案】19 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现字母“O”的个数依次增加3是解题的关键．依次求出每个图形中字母“O”的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵第1个图形中字母“O”的个数是：； 第2个图形中字母“O”的个数是：； 第3个图形中字母“O”的个数是：； …， ∴第n个图形中字母“O”的个数是个， ∴当时，（个）， 即第6个图形中字母“O”的个数是19个． 【例题3】如图，将图中的菱形剪开得到图，图中共有个菱形；将图中的一个菱形剪开得到图，图中共有个菱形；如此剪下去，第图中共有 个菱形……，第个图中共有 个菱形． 【答案】 13， 【分析】观察图形可知，每剪开一次多出个菱形，然后写出前个图形中菱形的个数，根据这一规律写出第个图形中的菱形的个数的表达式. 【详解】解：（1）第个图形有菱形个， 第个图形有菱形个， 第个图形有菱形个， 第个图形有菱形个， …， 第个图形有菱形 个， 当时，  ， 故答案为 ． 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，每个图形都由若干个大小相同的白色和黑色的小正方形组成，按图中的规律推断，第个图形中黑色和白色的小正方形共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是图形类规律探索，解题关键是从题干中发现图形变化规律并归纳． 根据题目中图形的变化发现黑色小正方形的数量不发生改变，白色小正方形的数量是图形数的平方，根据此规律即可得出答案． 【详解】解：第个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有（个）； 第个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有（个）； 第个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有（个）； …… 则第个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有（个）． 故第个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有（个）， 第个图形中黑色和白色的小正方形共有（个）． 【巩固练习2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，将一个平行四边形（如图①）作如下操作：第一次，连接对边的中点（如图②），此时共有9个平行四边形；第二次，将图②中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图③），此时共有17个平行四边形；第三次，将图③中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图④），此时共有25个平行四边形……此后每一次都将左上角的平行四边形进行如上操作，第n次操作后，共有5641个平行四边形．那么，n的值是 ． 【答案】705 【分析】本题考查图形类规律探究，理解题意，找到变化规律是解答的关键． 【详解】解：第一次操作后，共有个平行四边形， 第二次操作后，共有个平行四边形， 第三次操作后，共有个平行四边形， …… 则第n次操作后，共有个平行四边形， 令， 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，以此类推，则的值为 ；的值为 ． 【答案】 63 【分析】本题主要考查图形的变化类，由点的分布情况得出，据此求解可得． 【详解】解：由图知，，，，…， ∴， ． 故答案为：63，． 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，用菱形纸片按照如下规律拼成下列图案，若第n个图案中有2025张纸片，则n的值为（    ） A．503 B．504 C．505 D．506 【答案】D 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中纸片的变化规律，利用数形结合的思想解答．根据题目中的图形，可以发现纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中有2025张纸片，即可求得n的值． 【详解】解：由图可得， 第1个图案中纸片的个数为：， 第2个图案中纸片的个数为：， 第3个图案中纸片的个数为：， …， 第n个图案中纸片的个数为：， 令， 解得， 【巩固练习5】如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得图形①面积是，图形②面积是，图形③面积是，图形④面积是图形⑤面积是，图形⑥面积是，图形⑦面积是．从而得到的面积等于①②③④⑤⑥的面积之和，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 图形①面积是， 图形②面积是， 图形③面积是， 图形④面积是 图形⑤面积是， 图形⑥面积是， 图形⑦面积是． ∴的面积等于①②③④⑤⑥的面积之和， ∴． 【巩固练习6】（23-24七年级上·四川成都·期末）将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为4，宽为2，依此类推，摆放2023个时，实线部分长为 ． 【答案】6070 【分析】本题考查图形规律类．根据题意先计算几个矩形一循环，再用2023个去除以循环数，继而得到本题答案． 【详解】解：根据题意可知，竖着一个矩形和横着一个矩形一循环， ∴， ∵每个矩形卡片长为4，宽为2， ∴实线部分长度根据题意得：， ∴摆放2023个时，实线部分长： 【巩固练习7】（23-24七年级上·四川成都·期末）我国著名数学家华罗庚说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的长方形或正方形纸片，请你用“数形结合”的数学思想计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类变化规律，通过观察图形可得，代入计算即可，能够利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】由题意可得， ， ∴ 【题型11】线段中点相关计算 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为的中点，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了两点间的距离的求法，线段的和差，线段的中点的特征和应用，一元一次方程的实际应用，首先设，然后根据E、F分别是线段的中点，分别用x表示出，根据，求出x的值，即可求出线段的长． 【详解】解：设， ∵E、F分别是线段的中点， ∴， ∵， ， ∴ 【巩固练习1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，线段，点是线段上一点，且，点为线段的中点，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差，线段中点的定义，根据，代入数据进行计算即可得解求出的长；再求出的长，然后根据线段中点的定义求解即可．准确识图并掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴． 【巩固练习2】如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，4，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距1，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点距离，数形结合是解题的关键．根据与表示的数求出的长，再由折叠后的长，求出的长，即可确定出表示的数． 【详解】解：∵表示的数为， ∴， ∵折叠后， ∴， ∵点在的左侧， ∴C点表示的数为． 【巩固练习3】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了两点间的距离、线段的和差，线段中点的性质等知识点，解题的关键是明确线段间的关系是解题的关键． 先根据线段的和差可得的长，再根据线段中点的性质求得的长，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D，E分别为和的中点， ∴，， ∴． 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． ①当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． ②当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上点的移动． （1）根据题意列出算式即可； （2）①根据题意分情况讨论列式即可证明出；②根据题意分9种情况讨论并列式分别计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即， ∵点B在数轴上位于原点右侧， ∴点B表示的数为：， ∴， ∵点A在数轴上位于原点左侧， ∴点A表示的数为∶， 故答案为：； （2）解：①∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， 如图，当点C在线段上时： ， 即：； 如图，当点C在线段的延长线上时： ，； 如图，当点C在线段的延长线上时： ，； 综上所述，； ②∵点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴分情况讨论： 当在上时，点D在上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设：，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 综上所述：或． 【题型12】折叠相关的角度计算 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知四边形是长方形，点E、F分别在线段、上，将四边形沿翻折得到四边形，若，则 ． 【答案】108°/ 【分析】本题考查了折叠的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．由折叠的性质可知，，根据得出，计算求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴． 【例题2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，三角形纸片中，点D、E、F分别在边，，上，连接，，将、分别沿、对折，使点B、C落在点、处，若恰好平分，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，由折叠的性质可得，，结合平分，可得，设，则，再根据，列关于的一元一次方程，解方程求出即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，， 恰好平分， ， ， 设，则， ， ， 解得， 【巩固练习1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在三角形中，，、为边上两动点，连接、，将三角形的边和边分别沿着射线、翻折，、两点翻折后的对应点为、，作射线、（和均落在内部），若，则 ． 【答案】75或45 【分析】本题主要考查了平面几何图形中角的计算，理解题意，弄清角度关系是解题关键．根据题意可得，，结合，，分两种情况讨论，分别求解，即可获得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如下图， 根据题意，可得 ，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②如下图， 根据题意，可得 ，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或 【巩固练习2】将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】可求，由即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠得 ，， ， ， ， 【巩固练习3】（22-23七年级上·广东深圳·期末）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处，且恰好在线段上．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质得，，再证，然后证，即可得出结论． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ，， ， ， ， ， 【巩固练习4】如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在F处，折痕为BC．作∠FBD的平分线BE，则∠CBE的度数为 ；现将∠FBD沿BF折叠使BE、BD落在∠FBC的内部，且折叠后的BE交CF于点M，BD交CF于点N，若BN平分∠CBM，则∠ABC的度数为 ． 【答案】 【分析】由折叠知∠ABC＝∠FBC＝∠ABF，由BE平分∠FBD知∠FBE＝∠FBD，由∠ABF+∠FBD＝180°可得答案；设∠DBE＝∠EBF＝x．根据折叠的性质构建方程求出x，即可解决问题． 【详解】解：由折叠知∠ABC＝∠FBC＝∠ABF， ∵BE平分∠FBD， ∴∠FBE＝∠FBD， ∵∠ABF+∠FBD＝180°， ∴∠ABF+∠FBD＝90°，即∠FBC+∠FBE＝90°， ∴∠CBE＝90°， 如图，设∠DBE＝∠EBF＝x． ∵∠FBD′是由∠FBD沿BF翻折得到， ∴∠MBF＝∠MBN＝x， ∵BN平分∠CBM， ∴∠CBN＝∠MBN＝x， ∴∠CBF＝3x， ∵△CBF是由△CBA翻折得到， ∴∠ABC＝∠CBF＝3x， ∵∠ABF+∠FBD＝180°， ∴8x＝180°， ∴x＝22.5°， ∴∠ABC＝3x＝67.5°， 故答案为：90°，67.5°． 【题型13】角平分线、补角、余角相关计算 【例题1】如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可． 【详解】解：平分，平分， 故①正确； 故②错误； 故③正确； 故④错误 【例题2】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知，平分，射线在内部，作，若，则的度数为 °． 【答案】35或5 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算．根据在内部，，，可分为以下两种情况：①当在内部时，先根据角平分线的定义得，进而得，然后根据可得的度数；②当在外部时，同理，则，再根据可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在内部，，， 有以下两种情况： ①当在内部时，如图1所示： ，平分， ， ， ， ， ； ②当在外部时，如图2所示： 同理：， ，， ， ． 综上所述：的度数为或． 【例题3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，射线在内部，且，射线分别在内部． (1)若，说明：平分； (2)若，平分，求的度数； (3)将沿射线折叠，得到，若，设的度数为x°，用含x的代数式表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)的度数为度或度． 【分析】本题考查角平分线，几何图形中角的计算． （1）计算求得，，即可证明平分； （2）设，计算求得，，根据平分，列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：设，则，， ∴，， ∵平分， ∴， 解得，即； （3）解：当在内部时，如图， 由折叠的性质知， ∴， ∵， ∴， ∴度； 当在内部时，如图， 由折叠的性质知， ∴， ∵， ∴， ∴度； 综上，的度数为度或度． 【巩固练习1】如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键． 根据，即可求得，，代入，从而求解． 【详解】解：如图： ∵三个大小相同的正方形， ∴， ∴，， ∴， 即， 【巩固练习2】如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，当时，射线经过刻度 ．    【答案】45 【分析】根据量角器可知，，再根据旋转的性质可知，，然后结合已知条件求出，即可得到射线经过刻度． 【详解】解：射线、分别经过刻度117和153， ， 由绕点逆时针方向旋转得到， ， ，且， ， ， 射线经过刻度 【巩固练习3】如图，已知，是内任意一条射线，分别平分，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ）    A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据角平分线的定和各角的关系逐一判断即可． 【详解】解：∵分别平分，， ∴∠COD=2∠COB=2∠BOD，∠BOE=2∠BOD=2∠DOE ∴，故①正确； ∴∠COE=∠COD＋∠DOE=2∠BOD＋∠BOD==3∠BOD，故②正确； ∵，而∠COD不一定等于∠AOC ∴∠BOE不一定等于∠AOC，故③不一定正确； ∵ ∴∠AOC＋∠COB=90° ∴，故④正确． 综上：正确的有①②④． 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，（，）中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值与最小值之差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的和差计算；根据题意分别画出的最小情况与最大情况，然后求出差即可求解． 【详解】解：如图所示，当在的内部时，最小， 此时， ∴， 如图所示，当在的外部时， 当时，， ∴的最大值与最小值之差为 【巩固练习5】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，已知，三角形是含有角的三角板，，平分． (1)如图1，当时，______； (2)如图2，当时，______； (3)如图3，当时，求的度数，请借助图3填空． 解：因为，， 所以， 因为平分， 所以______（用表示）， 因为， 所以______（用表示）． (4)由（1）（2）（3）问可知，当时，直接写出的度数．（用来表示，无需说明理由） 【答案】(1) (2) (3)，； (4) 【分析】本题考查角的和差计算和角平分线的计算； （1）先求出的度数，再求出的度数，最后根据计算即可； （2）先求出的度数，再求出的度数，最后根据计算即可； （3）结合图形解答即可； （4）根据前三问的结论即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：因为，， 所以， 因为平分， 所以（用表示）， 因为， 所以______（用表示）． 故答案为：，； （4）解：由（1）可知； 由（2）可知； 由（3）可知； 综上，当时，． 【题型14】数轴上的动点问题（选填） 【例题1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且．如图，若点P是点B右侧一点，点M为的中点，点N为上靠近B点的三等分点，当点P在点B的右侧运动时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差计算和非负数的性质，先根据绝对值和偶次方的非负性得到，，再表示出和，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵点N为上靠近B点的三等分点， ∴， 【巩固练习1】已知：如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了数轴及有理数在数轴上的表示，一元一次方程的应用，设点Q速度为个单位每秒，则M点速度为个单位每秒，根据题干：当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，列方程解出a，进而得到的长度，再求出点P到点A所需的时间，即可求解． 【详解】解：设点Q速度为个单位每秒，则M点速度为个单位每秒， ∵当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度， ∴, 解得： ∴ ∴点P运动到点A所需时间为： ∴点Q表示的数为： 【巩固练习2】（22-23七年级上·广东深圳·期末）如图，点C是线段上一点，，动点M从A出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点N从C出发以速度沿直线向终点B运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动，在运动过程中，总有，则 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题主要考查线段的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．设运动时间为秒，，将图中线段用和的代数式表示出来，再根据求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，，则， 依题意得，，，， 根据在运动过程中，总有得：， 解得： 【题型15】一元一次方程大题专练 【例题1】某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 40 60 售价（元/件） 50 80 （1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，该超市第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少400元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】（1）第一次购进甲种商品100件，乙种商品50件；（2）8折 【分析】（1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品2x件，根据题意列出方程即可求出答案； （2）算出第一次的总利润，设第二次乙种商品是按原价打y折销售，结合第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少400元列出方程，解之即可． 【详解】解：（1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品2x件， 根据题意得：40×2x+60x=7000， 解得：x=50， ∴2x=100件， 答：该超市第一次购进甲种商品100件，乙种商品50件． （2）（50-40）×100+（80-60）×50=2000（元）， 则该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润2000元， 设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 根据题意得：（50-40）×100+（80×-60）×50×3=2000-400， 解得：y=8， 答：第二次乙商品是按原价打8折销售． 【例题2】松雷中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用20天在加工过程中，学校每天需付甲工厂费用80元，乙工厂费用120元． （1）这批校服共有多少件？ （2）在实际加工过程中，甲、乙两个工厂按原生产效率合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂每天的生产效率提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4天，则乙工厂共加工多少天？ （3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按第（2）问方式完成并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案． 【答案】（1）960件 （2）28天 （3）方案三 【分析】（1）由题意设这批校服共有x件，并根据题意建立一元一次方程进行求解即可； （2）根据题意设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工天，并根据题意建立一元一次方程进行求解即可； （3）根据题意分别计算三种方案所需的时间与费用，并进行比较即可得出答案． 【详解】解：（1）设这批校服共有x件． 由题意，得．解得． 答：这批校服共有960件． （2）设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工天．依题意得 ． 解得． ． 答：乙工厂共加工28天． （3）①方案一：需要耗时（天），费用为（元）； ②方案二：需要耗时（天），费用为（元）； ③方案三：甲工厂耗时12天，乙工厂耗时28天，故需要耗时28天， 费用为（元）． 综上，方案三既省时又省钱． 【巩固练习1】某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为3100元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 40 45 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润383元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 【答案】(1)该商店购进甲种型号的节能灯60只，可以购进乙种型号的节能灯40只 (2)乙型号节能灯按预售价售出了14只 【分析】（1）设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进100只节能灯的进货款恰好等于3100元”列方程，解方程即可求解；（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，由两种节能灯共获利383元列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得：， （只） 答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，可以购进乙种型号的节能灯40只； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只， 由题意可得：， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是14只． 【巩固练习2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）为迎接2024年的到来，滨海学校七（2）班积极筹办元旦联欢活动．班主任李老师在“飞送外卖”上发现了一款由心悦蛋糕店制作的手工泡芙蛋糕．为增添节日氛围，李老师准备订购40个蛋糕送给同学们．根据以下材料，解决问题． 阅读材料 素材1    订购方式 打包费 配送费 “飞送外卖” 每个蛋糕收1元 3元/单 注：订单总价（不含打包费和配送费）满50元起送 素材2   蛋糕店专属“心悦红包”：面值10元，订单总价（不含打包费和配送费）满99元可使用． 注：该专属红包仅有1个． 素材3 红包 购买金额 ×4个 10元 “飞送外卖”福利：10元购买一组（4个）“神券红包”，面值随机确定． 注：每个“神券红包”面值相等且可以和“心悦红包”同时使用，但每一个订单只允许使用一个“神券红包”． 问题解决 问题1 若李老师一次性下单购买40个蛋糕，并使用“心悦红包”，且由外卖配送，总花费多少元？ 问题2 （列方程解决问题）为了降低费用，李老师购买了一组“神券红包”，先后4次下单共订购40个蛋糕，并将两种红包全部使用，且由外卖配送，所有费用刚好为504元，请计算出每个“神券红包”的面值． 【答案】问题1：513元；问题2：7元 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用： 问题1：总花费数量（单价包装费）配送费心悦红包； 问题2：设每个“神券红包”的面值x元，根据总花费数量（单价包装费）配送费购买“神券红包”费用4个“神券红包”面值心悦红包，列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：问题1： （元）， 答：总花费513元． 问题2： 设每个“神券红包”的面值x元， 由题意得：， 化简得， 解得， 答：每个“神券红包”面值7元． 【巩固练习3】（23-24七年级上·广东深圳·期末）综合与实践： 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．条形码是由13位数字（每个数字都是由大于等于0且小于等于9的整数）组成，前12位数字分别表示“国家代码、出口商识别码和商品代码”相关信息，如图①693是代表中国，49170代表出口商识别码，0940代表商品代码，第13位数字2为“校验码”．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图①为例）： 步骤 举例说明 步骤1：自左向右编号： 某商品的条形码：693489170940X（X为校验码） 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s； ； 步骤3：求前12为数字中奇数位上的数字之和t； ； 步骤4：计算与t的和m； ； 步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数n； ； 步骤6：计算n与m的差就是校验码X． ，校验码． 【知识运用】请回答下列问题： (1)若某商品的条形码为692015246132X，根据材料计算验证码过程如下： 步骤1：自左向右编号，共13位； 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和； 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和； 步骤4：计算与t的和_________； 步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数______； 步骤6：计算n与m的差就是校验码______． (2)如图②，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，用只含有a的代数式表示_______；当时，_______，_______；当校验码时，_______． 【答案】(1)80；80；0 (2)；59；60；9 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，一元一次方程的应用： （1）把，代入中即可求出m的值，进而求出n的值，再求出的值即可求出的值； （2）根据题意求出，，则；当时，，，则此时；当时，，，则此时；则当校验码时，且，由，得到，则，解得，． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80；80；0； （2）解：由题意得，，， ∴， ∴当时，，，则此时； 当时，，，则此时； ∴当校验码时，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是网约车的收费标准（打车费起步费里程费远途费时长费）． 网约车 起步费 元 里程费 元/公里 远途费 超过公里后，超出部分加收元/公里 时长费 元/分钟 若本题中网约车的平均车速均为公里/时，请回答以下问题： (1)若乘车里程数为公里，则时长费是______元，打车费是______元； (2)若打车费为元，可乘坐的里程数是多少公里？ (3)小龙同学周末去郊外写生，发现网约车有买券优惠活动，就用元购买了张打车折扣券．到达目的地后，软件显示里程数为公里，用了一张打车折扣券，包括买券费元在内一共花费了元，请问本次用的折扣券是几折券？ 【答案】(1)； (2) (3)折券 【分析】考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的实际应用， （1）根据时长费及打车费的计费方式进行计算即可； （2）设乘坐的里程数为公里，然后用的式子表示出打车费，再根据“打车费为元”列出方程求解即可； （3）设本次用的折扣券是折券，先表示出里程数为公里的打车费，再根据“用了一张打车折扣券，包括买券费元在内一共花费了元”列出方程求解即可； 读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵乘车里程数为公里， ∴时长费是：（元）， 打车费是：（元）， 故答案为：；； （2）设乘坐的里程数为公里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴可乘坐的里程数是公里； （3）设本次用的折扣券是折券， 依题意，得：， 解得： 【题型16】新定义问题 【例题1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②；③若，且，则或；④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②；当时，，则；当时，，则，据此可判断③；根据可得原方程为，解得，但不能得到，据此可判断④． 【详解】解：①，原说法正确； ②，原说法错误； ③若，且，则当时，，则；当时，，则， ∴或，原说法正确； ④∵， ∴， ∴，而并不一定成立，原说法错误； ∴说法正确的有两个 【例题2】任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s，t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：、例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有．给出下列关于F(n)的说法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一个整数的平方，则F(n)＝1．其中正确说法的有 ． 【答案】2 【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同． 【详解】∵2=1×2，∴F（2）=，故（1）是正确的； ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，∴F（24）==，故（2）是错误的； ∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，∴F（27）=，故（3）是错误的； ∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的，∴正确的有（1），（4）． 【例题3】（23-24七年级上·四川成都·期末）定义：若对于某个大于2的正整数n，存在不小于4的整数a，使得，则称该正整数n是一个“和谐数”．例如：13、14、15都是“和谐数”，因为，，．若将和谐数从小到大排列，则第118个和谐数是 ． 【答案】402 【分析】本题主要考查了数字规律探索，绝对值的意义，解题的关键是理解题意，根据题目中给出的信息，得出每个整数a都有7个“和谐数”，根据，得出第118个和谐数在当时的一组数中的第6个数，然后求出结果即可． 【详解】解：∵，，，， ∴当时，“和谐数”为，14，15，16，17，18，19共7个， ∵，，，，，，， ∴当时，“和谐数”为22，23，24，25，26，27，28共7个， 根据以上可知，对于每个整数a都有7个“和谐数” ， ∵， 又∵， ∴第118个和谐数在当时的一组数中的第6个数， ∴第118个“和谐数”为， 【例题4】对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） 【答案】(1)8 (2)或 (3)①1；②820 【分析】（1）根据“美好关联数”定义进行求解即可； （2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得或； （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴只有当时，有最小值1； ②由题意可知：， ∵ ∴的最小值； ， ∵ 的最小值； 同理，， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值：     ． 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是，所以方程是方程的后移方程． (1)判断方程是否为方程的后移方程__________（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的后移方程，求n的值． (3)如果方程是方程的后移方程，用等式表达a，b满足的数量关系__________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义及解一元一次方程，理解“后移方程”的定义是解答本题的关键． （1）分别求出两个方程的解，根据“后移方程”的定义判断即可得答案； （2）分别用、表示两个方程的解，根据“后移方程”的定义列方程求解即可得答案； （3）分别用、表示两个方程的解，根据“后移方程”的定义列式后整理即可得答案． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 方程， 解得：， ∵， ∴方程是方程的后移方程． 故答案为：是 （2）解：方程， 解得：， 方程， 解得：， ∵关于x的方程是关于x的方程的后移方程， ∴， 解得：． （3）方程， 解得：， 方程， 解得：， ∵方程是方程的后移方程， ∴， 整理得：． 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）对于数轴上两条线段，，给出如下定义：，分别为，上任意一点，，两点间距离的最小值记作；，两点间距离的最大值记作．为原点，线段，的长度分别为和，表示的点在线段上． (1)若表示的点也在线段上，表示和的点在线段上，则 ． (2)若原点在线段上，点也在线段上，点表示的数为．点在线段上，点表示的数为（，均为整数）．当，时，对应的 ． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离及新定义， （1）根据新定义及数轴上两点之间的距离即可求解； （2）如图，先确定线段，其中点、表示的数分别为、，然后分两种情况讨论即可； 正确理解题意并灵活运用数轴上两点间的距离是解题的关键。 【详解】（1）解：（1）∵表示的点在线段上，表示的点也在线段上，表示和的点在线段上，线段，的长度分别为和， 又∵，， ∴线段两个端点表示的数分别为、，线段两个端点表示的数分别为、， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图， ∵线段的长度为，表示的点在线段上，原点在线段上， ∴线段，其中点、表示的数分别为、， ∵，，点在线段上，点表示的数为，点在线段上，点表示的数为（，均为整数）， 分两种情况： ①线段，其中点、表示的数分别为、， 当时，，则， 当时，，则， ②线段，其中点、表示的数分别为、， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，对应的或或或。 故答案为：或或或。    【巩固练习3】设表示不超过的最大整数，例如，并记．给出以下结论：①；②；③对任意的有理数，都有；④若为整数，为有理数，则．其中，正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查新定义运算，绝对值，根据的定义判断①，根据的定义判断②，当x为负小数时判断③，分x是整数、正小数、负小数三种情况，根据和表示的意义判断④．理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：①不超过的最大整数是，因此，故①正确； ②，故②错误； ③当x为负小数，如时，，，因此，故③错误； ④当n为整数，且x也是整数时，； 当n为整数且x为正小数时，表示n与x的整数部分的和，与表示的意义相同，此时； 当n为整数且x为负小数时，表示n与比x小且最接近x的负整数的和，与表示的意义相同，此时，故④正确， 综上可知，正确的有①④． 【巩固练习4】（23-24七年级上·广东深圳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，根据“美好方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得； （2）由题意得，另一个解为，则根据“美好方程”的定义得到或，解方程即可得到答案； （3）先解方程得：，根据“美好方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的一元一次方程的解为，令，则原方程等价为，据此可得答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴； （2）解：由题意得，另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得：， ∵关于的一元一次方程和是“美好方程”， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 令，则原方程等价为， ∴关于的一元一次方程的解为． 【巩固练习5】（23-24七年级上·广东深圳·期末）【定义】点M，N，Q是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点P满足，则称点P是点M，N，Q的“和谐点”． 【理解】 （1）在数轴上，点A，B，C，P表示的数分别为，0，5，1，点P是否为点A，B，C的“和谐点”？请通过计算作出判断； （2）点A，B，C是一条直线上从左到右的三个点，且，，若点P是点A、B、C的“和谐点”，则的长是 ； 【拓展】 （3）在数轴上，点A，B，C表示的数分别为a，，（a是整数），点P在点A的左侧，且点P是点A、B、C的“和谐点”，点A、B、C、P表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断． 【答案】（1）点P是点A、B、C的“和谐点”；（2）3或；（3）点A、B、C、P表示的数之和能被4整除． 【分析】本题考查了数轴的知识，整式加减的应用，解一元一次方程的应用． （1）分别求得、、的长，后比较与的大小，即可得解； （2）设的长是，分三种情况讨论，当点P在点A的左侧、点P在点A、B之间、点P在点B、C之间时，根据，求解即可； （3）设P表示的数，根据，求得的值，据此求解即可判断． 【详解】解：（1）∵点A，B，C，P表示的数分别为，0，5，1， ∴，，， ∴， ∴点P是点A、B、C的“和谐点”； （2）设的长是， 当点P在点A的左侧时，如图， ∴，，， 由题意得，即， 解得； 当点P在点A、B之间时，如图， ∴，，， 由题意得，即， 解得（不合题意，舍去）； 当点P在点B、C之间时，如图， ∴，，， 由题意得，即， 解得； 综上，的长是3或； 故答案为：3或； （3）点A、B、C、P表示的数之和能被4整除． 设P表示的数， ∴，，， 由题意得，即， 解得； ∴点A、B、C、P表示的数之和是， ∴点A、B、C、P表示的数之和能被4整除． 【巩固练习6】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则______． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：．（只需要补充含有y的代数式）． ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为______． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）首先求出两个方程的解，然后根据题意列方程求解即可； （2）根据题意得到或，进而求解即可； （3）①根据题意得到的解是，，进而求解即可； ②首先根据题意的得到方程的解为：，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解，得； 解，得； ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴ 解得； （2）∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）①∵关于x的一元一次方程的解是， ∴的解是， ∵，则， 则的解是， 即：的解是， 故答案为：，； ②方程的解为：， ∵关于x方程与互为“阳光方程”， ∴方程的解为：． ∵关于y的方程就是： ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【巩固练习7】 【题型17】数轴上的动点问题（解答题压轴） 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，点B位于点A左侧，且．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； (2)若P，Q两点同时出发，动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？ ②当点Q到达点A后立即原速返回，其中一点运动到点B时，两点停止运动．求在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值． 【答案】(1)， (2)①当t为5或时，点P、Q两点到点A的距离相等；②在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值为5或 【分析】本题考查非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用； （1）利用非负性的性质列等式，求，再利用速度乘以时间列代数式表示点P； （2）①根据距离相等分两种情况，点Q在点A左侧和右侧，利用，分别计算即可； ②分两种情况：当点Q出发到点A的过程中与点P相遇，当点Q到达点A返回时与点P相遇，分别计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴点A、B表示的数分别是， ∴点P表示的数为 故答案为：，； （2）①点P、Q到点A的距离相等，有两种情况， 当点P与点Q在点A两侧时，即， 解得：， 当点P与点Q重合时，即， ， 解得：， ∴当t为5或时，点P、Q两点到点A的距离相等； ②分两种情况： 当点Q出发到点A的过程中与点P相遇时， 则， 当点Q到达点A返回时与点P相遇时， 则， ∴在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值为5或． 【例题2】如图1，已知线段，点C为线段上的一点，点D、E分别是和的中点．    (1)若，则的长为______； (2)若，求的长； (3)动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度沿线段向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿线段向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少秒时P，Q之间的距离为6？ 【答案】(1)的长为12； (2)的长为12； (3)当或时，之间的距离为6； 【分析】（1）由，，则，由点D、E分别是和的中点，则，即可得到答案； （2）由，，则，由点D、E分别是和的中点，则，即可得到答案； （3）由，则或，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵点D、E分别是和的中点， ， ，即的长为12； （2）解：∵，， ， ∵点D、E分别是和的中点， ， ，即的长为12； （3）解：， 如图，   ， 如图，    ∴， 或， 解得：或， ∴当或时，之间的距离为6 【巩固练习1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点表示原点，点表示数，点表示数，且a，b满足． (1)__________，__________，__________． (2)若线段（在的右侧，），点与点重合，线段从点出发，以2个单位每秒的速度向点方向运动，点是线段的中点，点是线段的中点，在线段运动过程中，线段的长度始终为1，求的值； (3)在（2）的条件下，当线段开始运动时，动点从点处以1个单位每秒的速度向点方向运动，运动的过程中，当为何值时． 【答案】(1)，，； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用； （1）根据绝对值以及偶次幂的非负性求得，进而得出的长，即可求解； （2）设运动的时间为秒，则点对应的数字为，点对应的数字为，得出点，对应的数字，根据，列出绝对值方程，解方程，即可求解； （3）根据（2）可得点对应的数字为，又点对应的数字为，得出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 故答案为：，，；． （2）解：设运动的时间为秒，则点对应的数字为，点对应的数字为， 点是的中点，是的中点， 点对应的数字为，点对应的数字为， ，． 解得：或， ， ； （3）∵． 点对应的数字为， 又点对应的数字为， ，． ， ， ， 当时，， ． 当时，，不满足题意，舍； 当时，， ． 综上：的值为4或． 【巩固练习2】已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在之间，则，， ∴， 解得，， ∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即，或， 解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图1，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数是b，并且a、b满足．    (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为______； (2)若点C是线段上一点，点H为线段的中点，图中所有的线段长度和是64，求点H表示的数； (3)若点P开始从点A以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从点B开始以每秒1个单位的速度也向右移动，设运动时间为t秒，M是线段的中点，N是线段的中点．若线段，求t． 【答案】(1)；4 (2)点H表示的数为 (3)或 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，解之可得出，的值，进而可得出点A，表示的数； （2）设点C表示的数为x，则点H表示的数为：，根据图中所有的线段长度和是64，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，得出点表示的数为，点表示的数为，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ，， 点A表示的数为，点表示的数为4． 故答案为：；4． （2）解：设点C表示的数为x，则点H表示的数为：， ∵点A表示的数为，点表示的数为4， ∴，，， ，， ， ∴， 解得：， ∴， ∴点H表示的数为； （3）解：当运动时间为秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为：， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴， 解得：或． 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是；点在点与点之间，且到点的距离是到点距离的2倍．    (1)点表示的数是______；点表示的数是______； (2)若点从点出发，沿数轴以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为9？ (3)在（2）的条件下，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2)1或3 (3)存在，点表示的数为0或 【分析】（1）由题意知，点表示的数是，由题意知，，则点表示的数是，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，点表示的数是，点表示的数是，则，依题意得，，计算求解即可； （3）由题意知，点表示的数是，点表示的数是，则，点运动到点的时间为（秒），分当点在点左侧，即时，，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后求此时点表示的数即可；当点在点右侧，即时，，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后求此时点表示的数即可． 【详解】（1）解：由题意知，点表示的数是， ∵点在点与点之间，且到点的距离是到点距离的2倍， ∴， 点表示的数是， 故答案为：，2； （2）解：由题意知，点表示的数是，点表示的数是， ∴， 依题意得，， ∴， 解得，或， ∴当为1或3时，点与点之间的距离为9； （3）解：由题意知，点表示的数是，点表示的数是，则， 点运动到点的时间为（秒）， 当点在点左侧，即时，， 依题意得，， 解得，， ∴此时点表示的数是； 当点在点右侧，即时，， 依题意得，， 解得，； 此时点表示的数是； 综上所述，存在，点表示的数为0或． 【巩固练习5】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，数轴上，两点对应的数分别是，，且．    (1)则______， ______； (2)点从点出发沿数轴正方向匀速运动，同时点从点出发沿数轴负方向匀速运动，设运动时间为．，分别为，中点，规定若“”（为常数），则称点，为点，的“型伴点”． ①若点的运动速度为每秒个单位，点的运动速度为每秒个单位，当，为，的“型伴点”时，求的值； ②若点保持①中的速度不变，改变点的速度，当点，为，的“型伴点”时，点刚好运动到线段中点处，则的速度应变为多少？ 【答案】(1)； (2)①秒；②的速度应变为每秒个单位或每秒个单位 【分析】（1）根据平方及绝对值的非负性即可求解； （2）①根据题意可得：点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，再根据“型伴点”的定义列出方程并求解即可； ②设的速度应变为，则点对应的数是，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，再根据“型伴点”的定义列出方程并求解即可； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①∵点从点出发沿数轴正方向匀速运动，同时点从点出发沿数轴负方向匀速运动，点的运动速度为每秒个单位，点的运动速度为每秒个单位，设运动时间为， ∴数轴上点对应的数为，点对应的数为， ∵，分别为，中点， ∴数轴上点对应的数为，点对应的数为， ∵，为，的“型伴点”， ∴， 解得：， ∴的值为秒； ②设的速度应变为， 当点刚好运动到线段中点处时，点此时与点重合， ∴点对应的数是，点对应的数为， ∵点，为，的“型伴点”， ∴， 解得：或， 当时，则，解得：， 当时，则，解得：， 综上所述，的速度应变为每秒个单位或每秒个单位． 【巩固练习6】【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律； 例如：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为AB，则； 若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，数轴上一点C到点A，B的距离相等，则点C表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为．点B表示的数为8，点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t（t＞1）秒． 【综合运用】 （1）①t秒后，点P表示的数为 　　，点Q表示的数为 　　．（用含i的式子表示） ②求P，Q两点之间的距离． ③当P，Q两点重合时，t的值为 　　． （2）若数轴上点M到点A，P的距离相等，点N到点B，P的距离相等，则在点P的运动过程中，M，N两点之间的距离是否发生变化？若变化．请说明理由；若不变，请求出M，N两点之间的距离． 【答案】（1）①，；②；③2 （2）不变，5 【分析】（1）①由题意可知点P、点Q表示的数分别为、，于是得到问题的答案； ②由，求得P、Q两点之间的距离为； ③当P，Q两点重合时，则，求得，于是得到问题的答案； （2）可求得点M表示的数为，点N表示的数为，则，可知M，N两点之间的距离不发生变化，M，N两点之间的距离是5． 【详解】（1）解：①点P向右运动，点Q向左运动，且，， 点P、点Q表示的数分别为、， 故答案为：，． ②点P、点Q表示的数分别为、， ， P、Q两点之间的距离为． ③当P，Q两点重合时，则点P与点Q表示的数相等， ， 解得， 故答案为：2． （2）解：M，N两点之间的距离不发生变化， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， M，N两点之间的距离不发生变化，M，N两点之间的距离是5． 【巩固练习7】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，点A，B在数轴上，O为原点．动点P，Q分别从点B沿数轴向点A运动，两点到达点A均停止运动．点P运动速度是1.5单位长度/秒，点Q运动速度是2单位长度/秒．    (1)点P运动3秒时所对应的数是 ，运动t秒时所对应的数是 ． (2)若点P和点Q同时出发，请问什么时候两点相距1单位长度？此时P，Q表示的数分别是多少？ (3)若点P先出发a秒，点Q再出发，a在什么范围时，两点相距0.5个单位长度的次数最多？请直接写出a的范围． 【答案】(1)， (2)当运动2秒时，两点相距1单位长度，此时点表示的数是，点表示的数是0；当运动秒时，两点相距1单位长度，此时点表示的数是1，点表示的数是2 (3) 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质即可得； （2）设运动秒，两点相距1单位长度，先求出，再分两种情况：①和②，利用数轴的性质建立方程，解方程即可得； （3）先得出点相距个单位长度的次数最多是3次，即第一次是点追上点前、第二次是点追上点，且点未停止运动、第三次是点在运动，点到达点停止运动，再求出两个临界位置：当点出发时，两点恰好相距个单位长度，此时取得最小值（含）；当点刚刚到达点停止运动时，两点恰好相距个单位长度，此时取最大值（不含），建立方程，解方程求出的值即可得． 【详解】（1）解：点运动3秒时所对应的数是，运动秒时所对应的数是， 故答案为：，． （2）解：点到达点所需时间为秒，点到达点所需时间为秒， 设运动秒，两点相距1单位长度，则， 由①当时，此时点表示的数是，点表示的数是， 则， 解得，符合题设， 此时点表示的数是，点表示的数是； ②当时，此时点表示的数是，点表示的数是2， 则， 解得，符合题设， 此时点表示的数是，点表示的数是2， 综上，当运动2秒时，两点相距1单位长度，此时点表示的数是，点表示的数是0；当运动秒时，两点相距1单位长度，此时点表示的数是1，点表示的数是2． （3）解：点先出发秒后，对应的数是， 由题意可知，点相距个单位长度的次数最多是3次，即第一次是点追上点前、第二次是点追上点，且点未停止运动、第三次是点在运动，点到达点停止运动， 所以有两个临界位置：当点出发时，两点恰好相距个单位长度，此时取得最小值（含），则，解得， 当点刚刚到达点停止运动时，两点恰好相距个单位长度，此时取最大值（不含），则，解得， 所以． 【巩固练习8】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且最高次项的次数为．点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，到达点后再返回到点并停止． (1)__________，__________，__________． (2)点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值． (3)点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)，， (2)或 (3)，，，或12 【分析】是最大的负整数，由最高次项的次数为可得，； 分类讨论：点未到点之前，时；点到点折返后到达，时，分别用表示出, ,，再根据列一元一次方程求解即可； 点P未到点C之前，时和点P到点C并折返至点A，时，分别以为、点的中点，为、点的中点，为、点的中点进行分类讨论． 【详解】（1）解： 最高次项数为 ，， 解得，， 是最大的负整数， ． 故答案为：，，． （2）解：①点未到点之前，，点表示的数为：， ，，， 由题意得，解得； ②点到点折返后到达，，点表示的数为：， ，，， 由题意得，解得． 故为：或． （3）解：由题意得M点表示的数为：，N点表示的数为：， ①点P未到点C之前，，P点表示的数为：， P是M、N的中点：，解得； N是P、M的中点：，解得； M是P、N的中点：，解得。 ②点P到点C并折返至点A，，P点表示的数为：， P是M、N的中点：，解得； N是P、M的中点：，解得（舍） M是P、N的中点：，解得（舍） 当点P在A停止后，P是M、N中点：，解得， ∴，，，或12． 【巩固练习9】 【题型18】动角问题（解答题压轴） 【例题1】将直角三角板的直角顶点O放在直线上，过点O作射线，使．    (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，直接写出的度数； (2)将三角板绕点O逆时针转动， ①如图2，当平分时，求的度数； ②如图3，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据和的度数可以得到的度数； （2）①根据是的角平分线，可以求得的度数，由，可得的度数；②根据平角的定义求出，再根据角的倍数关系即可得解． 【详解】（1）解：，， ； （2）①，是的角平分线， ， ； ②，，， ， ， ． 【例题2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）综合探究： 【问题背景】：已知O是直线上的一点，射线在直线的上方，，将直角三角板的直角顶点放在O处，且直角三角板在直线的上方．                 【问题解决】： （1）如图1，若，则______； （2）若恰好平分，求和的度数； 【拓展延伸】： （3）将图2中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，是否存在t值，使？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值． 【答案】（1）30；（2）（3），秒或秒，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的和差倍分运算，掌握角的和差和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据角的和差求解； （2）根据角的平分线的意义及角度和差求解； （3）分类讨论，根据角的和差列方程求解． 【详解】解：（1），， ， ． 故答案为30． （2）， ， OE恰好平分， ， ． （3）情况一：   ， ， ， ； 情况二：， ， ，   ， ． 综上所述，秒或秒时，． 【例题3】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知，平分． (1)如图1，若，则 ， ； (2)如图2，若，求的度数； (3)若，平分，求出的度数．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)110，125 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论的思想． （1）先根据角之间的关系，即可求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据角之间的关系求出即可； （2）分在内部，和在外部两种情况讨论； （3）分在内部，和在外部两种情况讨论． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， 故答案为：110，125； （2）解：如图1，当在内部时， ，， ， 平分， ， ； 如图2，当在外部时， ，， ， 平分， ， ； 综上，的度数为或； （3）解：如图3，当在内部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 如图4，当在外部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数为或． 【巩固练习1】探究题：已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则______，______； (2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点旋转至图3的位置，射线仍然平分，求的度数． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用角的加减，角平分线定义计算； （2）由图②，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到和之间的数量系； （3）由图③和已知条件可以建立各个角之间的关系，从而可以得到的度数． 【详解】（1）解： 故答案为：, （2）解：，理由如下： （3）解： 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知，（本题所涉及的角均小于平角）．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点O作直线，且平分，求的度数； (3)如图3，点G是射线上一点，将线段绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转t秒（），当时，求此时t的值． 【答案】(1)的度数为30° (2)的度数为65° (3)t的值为或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算．找准角度之间的和差关系，是解题的关键． （1）设，根据平角的定义，列出方程进行求解即可； （2）先求出的度数，进而求出的度数，再利用平角的定义，进行求解即可； （3）分在的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）由题意，得：， ①当在的上方时，， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当在的下方时，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上：t的值为或．    【巩固练习3】如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．    (1)如图2，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①旋转到图3的位置，的度数是多少？（用含的代数式表示） ②在旋转过程中，若，则此时的值． 【答案】(1)； (2)；或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键． （1）根据，以及角的和差计算即可； （2）①先求，再利用得出结论； ②分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； ②当旋转到左侧时，如图所示：    ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示：    设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为：或． 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三点在同一直线上．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线，分别从，位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，平分，平分，设旋转的时间为秒． ①当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)①是，；②6秒或30秒． 【分析】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用； （1）根据三角形是等腰直角三角形，，得出，进而即可求解； （2）①当时，，．根据角平分线的定义可得，，进而求得，根据即可求解； ②当时，由①可得，，．分别求得，根据建立方程，当时，同理可得，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，， ．． （2）①的度数是等于一个定值为，理由如下． ，旋转速度相同， 设， 当时，则，． 平分，． 平分，． ． ． ②当时，由①可得， ，． ． 当时，则， 解得． 秒．    当时， ，旋转速度相同， 设， ，，． 平分， ． 平分， ． ． ． 当时，则， 解得． ． 综上，秒或30秒时，．    【巩固练习5】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图1，如图点为线段上一点，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边在线段上，． (1)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______；猜想与的数量关系为______； (2)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向按每秒的速度旋转一周，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ (3)将图1中的三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转（随三角板停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 【答案】(1)， (2)秒或秒后，所在的直线平分 (3)秒或秒或秒后，所在直线平分 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，理解题意，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据互余关系先求出，再由角的和差求出结果； （2）当旋转或时，所在的直线平分，由此求解即可； （3）设运动时间为秒，分三种情况：当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时；当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时；当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时；分别列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：当旋转或时，所在的直线平分， 三角板绕点沿顺时针方向按每秒的速度旋转， 旋转时间为：（秒），（秒）， 秒或秒后，所在的直线平分； （3）解：三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转两周， 三角板在秒后停止运动， 三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转， 三角板最多旋转， 设运动时间为秒， 当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时， 有， 解得：； 当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时， 有， 解得：； 当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时， 有， 解得：， 综上所述，秒或秒或秒后，所在直线平分． 【巩固练习6】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． (1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON与∠AOM的度数． (2)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部．请探究：∠CON与∠AOM之间的数量关系，并说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时．直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 　 　秒（直接写出结果）． 【答案】(1)∠CON的度数为，∠AOM的度数为 (2)，理由见解析 (3)12或30 【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）因为∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°−∠AON、∠NOC＝60°−∠AON，然后作差即可； （3）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，则∠AON＝30°或∠NOR＝30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解． 【详解】（1）解：∵∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝120°， 又OM平分∠BOC， ∠COM∠BOC＝60°， ∴∠CON＝∠COM+90°＝150°， ∠AOM＝∠AOC+∠COM＝60°+60°＝120°； ∴∠CON的度数为150°，∠AOM的度数为120°． （2）解：∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由如下： ∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON， ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°， ∴∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°． （3）解：延长NO到点D，如图2， ∵∠BOC＝120° ∴∠AOC＝60°， 当射线OD恰好平分锐角∠AOC，如图2， ∴∠AOD＝∠COD＝30°， 即顺时针旋转300°时NO延长线平分锐角∠AOC， 由题意得10t＝300， ∴t＝30， 当NO平分∠AOC，如图3， ∴∠NOR＝30°， 即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC， ∴10t＝120， ∴t＝12， ∴t＝12或30． 故答案为：12或30． 【巩固练习7】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)30 (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案； （2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案； （3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定． 【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角， ∴， 又∵平分， ∴． 故答案为：30； （2）当时，如图2， ∵是平角，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）当时（如图3），为定值． 理由如下： ∵是平角，，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为． 【巩固练习8】（23-24七年级上·广东深圳·期末）将两个直角三角形如图1摆放，已知，，，射线平分． (1)如图1，当三点共线时，的度数为______． (2)如图2，将绕点C从图1的位置开始顺时针旋转，旋转速度为每秒，设时间为，作射线平分． ①若，的度数是否改变？若改变，请用含t的代数式表示；若不变，请说明理由并求出值． ②若，当t为何值时，？请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)① 的度数为，保持不变，理由见解析；② 15 【分析】（1）利用角平分线的定义及角的和差关系求解； （2）①时，由旋转速度可得在左侧，，，根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差关系即可求解；②时，在右侧，在左侧，用含t的式子表示出和，根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：①的度数为，保持不变，理由如下： 由（1）知， 旋转速度为每秒， ， 当时，在左侧，如下图所示： 由题意知， ， 平分，平分， ，， ， ②当时，在右侧，在左侧，如下图所示： 由题意知， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 解得． 【巩固练习9】已知，，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧；    (1)保持不动，将绕点O旋转至如图2所示的位置，则①= ；②= ； (2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算(用t的代数式表示)。 (3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线OE平分，射线OF平分，求的大小； 【答案】(1)①150°；②30°；(2) 8t－60或2t+60；(3) ∠EOF的大小为15°或165°. 【分析】（1）①根据∠AOB及∠COD的度数求出∠AOB+∠COD的度数，然后利用角与角之间的关系进行代换化简即可； ②根据∠AOB及∠COD的度数求出∠AOB－∠COD的度数，然后利用角与角之间的关系进行代换化简即可； （2）分情况讨论：OD与OA相遇前及OD与OA相遇后，画出图形，再根据角与角之间的关系进行计算即可； （3）分情况讨论，根据角与角之间的关系进行计算即可. 【详解】解：(1)①∵∠AOB=90°，∠COD=60°， ∴∠AOB+∠COD=90°+60°=150°， ∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠AOC+∠AOD， ∴∠AOC+∠BOC+∠AOC+∠AOD=150°， ∴∠AOC+∠BOD=150°； ②∵∠AOB=90°，∠COD=60°， ∴∠AOB－∠COD=90°－60°=30°， ∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠AOC+∠AOD， ∴∠AOC+∠BOC－(∠AOC+∠AOD)=30°， ∴∠BOC－∠AOD=30°； (2)设运动时间为t秒，由题意可知：0<t≤36，∠MOC=5t，∠MOA=2t， 当OD与OA相遇时，5t－2t=60，解得：t=20， ∴经过20秒，OD与OA相遇， ①0<t≤20时，OD与OA相遇前，如图所示，    ∠AOD=∠COD+∠AOM－∠MOC=60+2t－5t=60－3t， ∴∠MOC－∠AOD=5t－(60－3t)=8t－60； ②20<t≤36时，OD与OA相遇后，如图所示，    ∠AOD=∠MOC－∠COD－∠AOM=5t－60－2t=3t－60， ∴∠MOC－∠AOD=5t－(3t－60)=2t+60； (3)设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°， ①0<n°≤150°时，射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，    ∵∠BOD=150°－n°，∠AOC=n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠BOF=(150°－n°)，∠BOE=90°－n°， ∴∠EOF=∠BOE－∠BOF=15°； ②150°<n°≤180°时，射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，    ∵∠BOD= n°－150°，∠AOC=n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠BOF=(n°－150°)，∠BOE=90°－n°， ∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=15°； ③180°<n°≤330°时，射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，    ∵∠BOD= n°－150°，∠AOC=360°－n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠DOF=(n°－150°)，∠COE=(360°－n°)， ∴∠EOF=∠DOF+∠COD+∠COE=165°； ④330°<n°≤360°时，射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧，    ∵∠BOD=360°－(n°－150°)，∠AOC=360°－n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠DOF=[360°－(n°－150°)]，∠COE=(360°－n°)， ∴∠EOF=∠DOF－∠COD－∠COE=15°； 综上，∠EOF的大小为15°或165°. 【巩固练习10】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点为直线上一定点，作射线． (1)如图1，当射线在直线的下方时，在直线的同侧作射线，使．将射线绕着点逆时针旋转得到射线． ①若时，求的度数． ②当时，若，求的值． (2)如图2，若，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为．在旋转过程中，同时将射线绕着点逆时针旋转得到射线，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值．（本题中研究的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)①；②或 (2)当时，对应的定值为；当时，对应的定值为 【分析】（1）①根据题意并结合图形可得，代入数据计算即可； ②当时，互相重合，当时或当时，得到关于的一元一次方程，求解即可； （2）先找出临界值：当秒时，；当秒时，；当秒时，；当秒时，；当秒时，射线与射线重合，然后分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴ ， ∴的度数为； ②当时，互相重合， 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴的值为或； （2）解：∵，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为， 则（秒）， 当秒时，； 当时，（秒）， 此时， 即当秒时，； 当时，（秒）， 此时， 即当秒时，； 当时，（秒）， 即当秒时，； 当秒时，射线与射线重合， 可分以下几种情况： ①当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴（定值）； ②当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ∴（非定值）； ③当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴（定值）； ④当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ， ∴（非定值）； 综上所述，当时，对应的定值为；当时，对应的定值为． 1 / 119 学科网（北京）股份有限公司 $$【期末重难点突破】2024-2025学年北师大版七年级上 七年级上期末重难点突破（深圳，成都专版） 这份专为深圳和成都地区七年级学生设计的期末重难点突破资料，确实是一个非常有针对性的学习资源。不同地区的教育体系和教学内容可能存在差异，因此，针对特定地区的学生制定学习计划，能够更有效地帮助他们应对期末考试中的关键难点。 在数学学习中，掌握基础知识和理解解题思路至关重要。这份资料可能包含了七年级上册数学课程中的重点难点，如代数、几何、概率统计等部分的核心概念和解题方法。通过系统梳理和深入解析，学生们可以更加清晰地理解这些知识点，从而在考试中更加游刃有余。 当然，除了这份资料外，学生们还需要注重平时的学习和积累。多做练习题，加强记忆和理解，培养解题的逻辑思维和灵活性，都是提高数学成绩的关键。同时，家长和老师的指导和支持也是不可或缺的。 期末考试只是检验学生学习成果的一种方式，它并不是终点，而是新的起点。通过考试，学生们可以更加清晰地认识到自己的不足和需要努力的方向，为未来的学习打下坚实的基础。 最后，祝愿所有七年级的学生们都能顺利度过期末考试，取得优异的成绩，过一个愉快、充实的寒假和春节！ 总览 题型解读 【题型1】列一元一次方程 1 【题型2】数轴化简 3 【题型3】九宫格填数问题 3 【题型4】立体图形：方块个数最多最少问题 5 【题型8】一元一次方程的应用 6 【题型5】一元一次方程的解 8 【题型6】一元一次方程与几何图形结合 9 【题型7】整式的应用 10 【题型9】根据数字找规律 14 【题型10】根据图形找规律 15 【题型11】线段中点相关计算 19 【题型12】折叠相关的角度计算 20 【题型13】角平分线、补角、余角相关计算 22 【题型14】数轴上的动点问题（选填） 25 【题型15】一元一次方程大题专练 26 【题型16】新定义问题 32 【题型17】数轴上的动点问题（解答题压轴） 35 【题型18】动角问题（解答题压轴） 41 【题型1】列一元一次方程 【例题1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出七钱，那么多了十一钱；如果每人出五钱，那么少了十三钱．问：共有几个人?”设有个人共同买兔，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】某车间有33名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或1800个螺母，1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，则下列方程错误的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】整理一批图书，由一个人做要完成．现由某小组同学一起先整理后，有2名同学因故离开，剩下同学再整理，正好完成这项工作．假设每名同学的工作效率相同，设该小组共有x名同学，则x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【题型2】数轴化简 【例题1】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且，化简 ．    【巩固练习1】（23-24七年级上·四川成都·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【巩固练习2】已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断： ①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＜0中，错误的是 （写序号） 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）点A、B、C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，点C表示的数是，则化简代数式： ． 【题型3】九宫格填数问题 【例题1】我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（　　） A．2020 B． C．2019 D． 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【巩固练习2】如图是某同学新创的“幻方”游戏图，图中有2个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“”．将，这8个数填入恰当的位置，使得横竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，该同学已填写部分“”中的数字，则图中的值为 ． 【题型4】立体图形：方块个数最多最少问题 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和从上面看到的这个几何体的形图如图所示，则搭成该几何体的小立方块的个数最少 个．    【例题2】（23-24七年级上·四川成都·期末）由大小相同的小正方体搭成一个几何体，若搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则所需小正方体的最少个数为 ．    【巩固练习1】用小立方块搭一个几何体，如图是从正面和上面看到的几何体的形状图，最少需要 个小立方块，最多需要 个小立方块． 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．    【巩固练习3】由若干大小相同的小立方块搭成的几何体从上面和正面看到的形状如图所示，则这个几何体的小立方块最少是 个． 【题型8】一元一次方程的应用 【例题1】定义运算“*”对于任意有理数与，满足，例如：．若有理数满足，则的值为 ． 【例题2】一商店在某一时间以每件a元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，若卖出这两件衣服商店共亏损10元，则a的值为 ． 【例题3】如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，则被污染的两个数字中右边的数字是 ． 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）某商品原先的利润率为，为了促销，现降价20元销售，此时利润率下降为．那么这种商品的进价是（    ）元 A．20 B．100 C．150 D．200 【巩固练习2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）在做整式加减法运算时，李老师在黑板上写出一个正确的运算过程，用手遮住一个代数式后形为：，当时，手遮住的代数式的值为 ． 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图是一个“数值转换机”示意图，输入数值x后按流程依次运算出，再判断是否大于100，若大于100，则输出x作为运算结果，若不大于100，则将x作为输入数值按程序继续进行运算，如：输入数值50，该运算流程只需执行1次则输出101．小明输入数值a，该运算流程执行6次后输出结果，小华输入数值a＋5，该运算流程执行4次后输出结果，若小明输出结果比小华输出结果大40，则a的值为 ．    【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）新年联欢，某公司为员工准备了A，B两种礼物，A礼物单价a元，重m千克，B礼物单价元，重千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，通过称重其他盲盒，大家发现： 称重情况 重量大于小林的盲盒的 与小林的盲盒一样重 重量介于小林和小李之间的 与小李的盲盒一样重 重量小于小李的盲盒的 盲盒个数 0 5 0 9 4 若这些礼物共花费元，则 元． 【题型5】一元一次方程的解 【例题1】已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）若是关于x的一元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）若关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为（    ） A．1 B．2 C．3或4 D．0或1 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程与的解互为倒数，则的值为 ． 【题型6】一元一次方程与几何图形结合 【例题1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）乐乐用一张长为的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图1所示，最后折成的纸飞机如图2所示，为，则图2中的值为 ． 【巩固练习1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如果一个长方形内部能用正方形按如图方式既不重叠又无缝隙铺满，就称这个长方形为优美长方形．如图所示的优美长方形的周长为52，则正方形的边长为 ．    【巩固练习2】如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（    ）．    A．8 B．10 C．12 D．16 【巩固练习3】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，在长方形中，，，E为的中点，动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E.若点P运动的时间为x秒，则当的面积为时，x的值为（    ） A． B．5 C．或5 D． 【题型7】整式的应用 【例题1】某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的60包茶叶．如果以每包元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店（ ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 【例题2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图是某展馆的平面图，3个展区均为正方形，分别记为①、②、③．④是展区②和③的公共区域．已知展区①、②、③的边长分别为10米，20米和30米，入口区域和出口区域的面积分别记为和，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24七年级上·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【巩固练习1】法国的“小九九”从“一 一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算和的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数．若用法国的“小九九”计算，左、右手依次伸出手指的个数是（　　） ？ 因为两手伸出的手指数的和为，未伸出的手指数的积为，所以 ？ 因为两手伸出的手指数的和为，未伸出的手指数的积为，所以 A．， B．， C．， D．， 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，把五个四边形拼成一个大长方形，其中⑤是正方形，①，②，③，④都是长方形，若长方形②，④的周长和为23，则大长方形的周长是（    ） A．20 B．23 C．40 D．46 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在正方形的边上取一点，以为边在正方形的上方作正方形，连接，若正方形与正方形边长分别为和． (1)若，求； (2)若（为常数），当为何值时，五边形的周长与的取值无关． 【巩固练习4】（23-24七年级上·广东深圳·期末）综合与实践：某数学学习小组在探索网格中多边形的面积．如图1用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，以格点为顶点的四边形称为格点四边形，同理，以格点为顶点的多边形称为格点多边形． 图形序号 格点多边形的内部格点数x 格点多边形的边上的格点个数y 格点多边形的面积S 图2 4 6 （1）已求 图3 7 4 （2）已求 图6 22 20 （3）已求 (1)如图2，格点三角形的面积为______； (2)如图3，求格点的面积小组发现，面积无法直接求得，尝试转化为已知可直接求的图形面积．小组发现两种方法：方法一：如图4，将三角形补成如图长方形，用长方形面积减去三个阴影部分的直角三角形面积可得的面积；方法二：将分成如图5三个三角形，，，，三个三角形的面积可以求出，则的面积可以求出．选用上述方法，可求得的面积为______； (3)如图6，阴影部分图形的面积为______； (4)小组发现，用（2）方法，可以求得网格中所有格点多边形的面积．小组通过一些面积的计算，发现：格点多边形的面积与格点多边形的边上的格点个数、多边形内部格点的个数之间有一定数量关系，为了探求这种关系，小组列出表格：你也可以尝试多个不同的格点多边形，直接用含有x，y的代数式表示S．______． 【题型9】根据数字找规律 【例题1】已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以为例进行讨论：设，由，得：，，于是，即：，解方程得：，于是得，则无限循环小数化成分数为 ． 【例题3】（23-24七年级上·四川成都·期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中，；第2次操作后得到整式中，，；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第次操作后得到的整式串各项之和是 ． 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（    ） A． B． C．4 D． 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ． 【巩固练习3】观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【巩固练习4】（22-23七年级上·广东深圳·期末）已知整数满足下列条件：，依此类推，则的值为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习5】（24-25七年级上·广东深圳·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数为；的差倒数为现知道，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推．则 ． 【题型10】根据图形找规律 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期末）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……，若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为 ． 【例题2】（23-24七年级上·四川成都·期末）将字母“O”，“S”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第6个图形中字母“O”的个数是 ． 【例题3】如图，将图中的菱形剪开得到图，图中共有个菱形；将图中的一个菱形剪开得到图，图中共有个菱形；如此剪下去，第图中共有 个菱形……，第个图中共有 个菱形． 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，每个图形都由若干个大小相同的白色和黑色的小正方形组成，按图中的规律推断，第个图形中黑色和白色的小正方形共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【巩固练习2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，将一个平行四边形（如图①）作如下操作：第一次，连接对边的中点（如图②），此时共有9个平行四边形；第二次，将图②中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图③），此时共有17个平行四边形；第三次，将图③中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图④），此时共有25个平行四边形……此后每一次都将左上角的平行四边形进行如上操作，第n次操作后，共有5641个平行四边形．那么，n的值是 ． 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，以此类推，则的值为 ；的值为 ． 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，用菱形纸片按照如下规律拼成下列图案，若第n个图案中有2025张纸片，则n的值为（    ） A．503 B．504 C．505 D．506 【巩固练习5】如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为 A． B． C． D． 【巩固练习6】（23-24七年级上·四川成都·期末）将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为4，宽为2，依此类推，摆放2023个时，实线部分长为 ． ∴摆放2023个时，实线部分长： 【巩固练习7】（23-24七年级上·四川成都·期末）我国著名数学家华罗庚说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的长方形或正方形纸片，请你用“数形结合”的数学思想计算： ． 【题型11】线段中点相关计算 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为的中点，，则 ． 【巩固练习1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，线段，点是线段上一点，且，点为线段的中点，则线段 ． 【巩固练习2】如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，4，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距1，则点表示的数是 ． 【巩固练习3】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． ①当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． ②当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【题型12】折叠相关的角度计算 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知四边形是长方形，点E、F分别在线段、上，将四边形沿翻折得到四边形，若，则 ． 【例题2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，三角形纸片中，点D、E、F分别在边，，上，连接，，将、分别沿、对折，使点B、C落在点、处，若恰好平分，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在三角形中，，、为边上两动点，连接、，将三角形的边和边分别沿着射线、翻折，、两点翻折后的对应点为、，作射线、（和均落在内部），若，则 ． 【巩固练习2】将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ．    【巩固练习3】（22-23七年级上·广东深圳·期末）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处，且恰好在线段上．若，则（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习4】如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在F处，折痕为BC．作∠FBD的平分线BE，则∠CBE的度数为 ；现将∠FBD沿BF折叠使BE、BD落在∠FBC的内部，且折叠后的BE交CF于点M，BD交CF于点N，若BN平分∠CBM，则∠ABC的度数为 ． 【题型13】角平分线、补角、余角相关计算 【例题1】如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【例题2】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知，平分，射线在内部，作，若，则的度数为 °． 【例题3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，射线在内部，且，射线分别在内部． (1)若，说明：平分； (2)若，平分，求的度数； (3)将沿射线折叠，得到，若，设的度数为x°，用含x的代数式表示的度数． 【巩固练习1】如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，当时，射线经过刻度 ．    【巩固练习3】如图，已知，是内任意一条射线，分别平分，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ）    A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，（，）中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值与最小值之差为 ． 【巩固练习5】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，已知，三角形是含有角的三角板，，平分． (1)如图1，当时，______； (2)如图2，当时，______； (3)如图3，当时，求的度数，请借助图3填空． 解：因为，， 所以， 因为平分， 所以______（用表示）， 因为， 所以______（用表示）． (4)由（1）（2）（3）问可知，当时，直接写出的度数．（用来表示，无需说明理由） 【题型14】数轴上的动点问题（选填） 【例题1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且．如图，若点P是点B右侧一点，点M为的中点，点N为上靠近B点的三等分点，当点P在点B的右侧运动时，的值为 ． 【巩固练习1】已知：如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ．    【巩固练习2】（22-23七年级上·广东深圳·期末）如图，点C是线段上一点，，动点M从A出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点N从C出发以速度沿直线向终点B运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动，在运动过程中，总有，则 ． 【题型15】一元一次方程大题专练 【例题1】某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 40 60 售价（元/件） 50 80 （1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，该超市第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少400元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【例题2】松雷中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用20天在加工过程中，学校每天需付甲工厂费用80元，乙工厂费用120元． （1）这批校服共有多少件？ （2）在实际加工过程中，甲、乙两个工厂按原生产效率合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂每天的生产效率提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4天，则乙工厂共加工多少天？ （3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按第（2）问方式完成并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案． 【巩固练习1】某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为3100元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 40 45 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润383元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 【巩固练习2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）为迎接2024年的到来，滨海学校七（2）班积极筹办元旦联欢活动．班主任李老师在“飞送外卖”上发现了一款由心悦蛋糕店制作的手工泡芙蛋糕．为增添节日氛围，李老师准备订购40个蛋糕送给同学们．根据以下材料，解决问题． 阅读材料 素材1    订购方式 打包费 配送费 “飞送外卖” 每个蛋糕收1元 3元/单 注：订单总价（不含打包费和配送费）满50元起送 素材2   蛋糕店专属“心悦红包”：面值10元，订单总价（不含打包费和配送费）满99元可使用． 注：该专属红包仅有1个． 素材3 红包 购买金额 ×4个 10元 “飞送外卖”福利：10元购买一组（4个）“神券红包”，面值随机确定． 注：每个“神券红包”面值相等且可以和“心悦红包”同时使用，但每一个订单只允许使用一个“神券红包”． 问题解决 问题1 若李老师一次性下单购买40个蛋糕，并使用“心悦红包”，且由外卖配送，总花费多少元？ 问题2 （列方程解决问题）为了降低费用，李老师购买了一组“神券红包”，先后4次下单共订购40个蛋糕，并将两种红包全部使用，且由外卖配送，所有费用刚好为504元，请计算出每个“神券红包”的面值． 【巩固练习3】（23-24七年级上·广东深圳·期末）综合与实践： 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．条形码是由13位数字（每个数字都是由大于等于0且小于等于9的整数）组成，前12位数字分别表示“国家代码、出口商识别码和商品代码”相关信息，如图①693是代表中国，49170代表出口商识别码，0940代表商品代码，第13位数字2为“校验码”．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图①为例）： 步骤 举例说明 步骤1：自左向右编号： 某商品的条形码：693489170940X（X为校验码） 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s； ； 步骤3：求前12为数字中奇数位上的数字之和t； ； 步骤4：计算与t的和m； ； 步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数n； ； 步骤6：计算n与m的差就是校验码X． ，校验码． 【知识运用】请回答下列问题： (1)若某商品的条形码为692015246132X，根据材料计算验证码过程如下： 步骤1：自左向右编号，共13位； 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和； 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和； 步骤4：计算与t的和_________； 步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数______； 步骤6：计算n与m的差就是校验码______． (2)如图②，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，用只含有a的代数式表示_______；当时，_______，_______；当校验码时，_______． 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是网约车的收费标准（打车费起步费里程费远途费时长费）． 网约车 起步费 元 里程费 元/公里 远途费 超过公里后，超出部分加收元/公里 时长费 元/分钟 若本题中网约车的平均车速均为公里/时，请回答以下问题： (1)若乘车里程数为公里，则时长费是______元，打车费是______元； (2)若打车费为元，可乘坐的里程数是多少公里？ (3)小龙同学周末去郊外写生，发现网约车有买券优惠活动，就用元购买了张打车折扣券．到达目的地后，软件显示里程数为公里，用了一张打车折扣券，包括买券费元在内一共花费了元，请问本次用的折扣券是几折券？ 【题型16】新定义问题 【例题1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②；③若，且，则或；④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 【例题2】任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s，t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：、例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有．给出下列关于F(n)的说法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一个整数的平方，则F(n)＝1．其中正确说法的有 ． 【例题3】（23-24七年级上·四川成都·期末）定义：若对于某个大于2的正整数n，存在不小于4的整数a，使得，则称该正整数n是一个“和谐数”．例如：13、14、15都是“和谐数”，因为，，．若将和谐数从小到大排列，则第118个和谐数是 ． 【例题4】对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） 【巩固练习1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是，所以方程是方程的后移方程． (1)判断方程是否为方程的后移方程__________（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的后移方程，求n的值． (3)如果方程是方程的后移方程，用等式表达a，b满足的数量关系__________． 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）对于数轴上两条线段，，给出如下定义：，分别为，上任意一点，，两点间距离的最小值记作；，两点间距离的最大值记作．为原点，线段，的长度分别为和，表示的点在线段上． (1)若表示的点也在线段上，表示和的点在线段上，则 ． (2)若原点在线段上，点也在线段上，点表示的数为．点在线段上，点表示的数为（，均为整数）．当，时，对应的 ． 【巩固练习3】设表示不超过的最大整数，例如，并记．给出以下结论：①；②；③对任意的有理数，都有；④若为整数，为有理数，则．其中，正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）． 【巩固练习4】（23-24七年级上·广东深圳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【巩固练习5】（23-24七年级上·广东深圳·期末）【定义】点M，N，Q是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点P满足，则称点P是点M，N，Q的“和谐点”． 【理解】 （1）在数轴上，点A，B，C，P表示的数分别为，0，5，1，点P是否为点A，B，C的“和谐点”？请通过计算作出判断； （2）点A，B，C是一条直线上从左到右的三个点，且，，若点P是点A、B、C的“和谐点”，则的长是 ； 【拓展】 （3）在数轴上，点A，B，C表示的数分别为a，，（a是整数），点P在点A的左侧，且点P是点A、B、C的“和谐点”，点A、B、C、P表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断． 【巩固练习6】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则______． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：．（只需要补充含有y的代数式）． ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为______． 【题型17】数轴上的动点问题（解答题压轴） 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，点B位于点A左侧，且．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； (2)若P，Q两点同时出发，动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？ ②当点Q到达点A后立即原速返回，其中一点运动到点B时，两点停止运动．求在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值． 【例题2】如图1，已知线段，点C为线段上的一点，点D、E分别是和的中点．    (1)若，则的长为______； (2)若，求的长； (3)动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度沿线段向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿线段向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少秒时P，Q之间的距离为6？ 【巩固练习1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点表示原点，点表示数，点表示数，且a，b满足． (1)__________，__________，__________． (2)若线段（在的右侧，），点与点重合，线段从点出发，以2个单位每秒的速度向点方向运动，点是线段的中点，点是线段的中点，在线段运动过程中，线段的长度始终为1，求的值； (3)在（2）的条件下，当线段开始运动时，动点从点处以1个单位每秒的速度向点方向运动，运动的过程中，当为何值时． 【巩固练习2】已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【巩固练习3】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图1，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数是b，并且a、b满足．    (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为______； (2)若点C是线段上一点，点H为线段的中点，图中所有的线段长度和是64，求点H表示的数； (3)若点P开始从点A以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从点B开始以每秒1个单位的速度也向右移动，设运动时间为t秒，M是线段的中点，N是线段的中点．若线段，求t． 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是；点在点与点之间，且到点的距离是到点距离的2倍．    (1)点表示的数是______；点表示的数是______； (2)若点从点出发，沿数轴以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为9？ (3)在（2）的条件下，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． 【巩固练习5】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，数轴上，两点对应的数分别是，，且．    (1)则______， ______； (2)点从点出发沿数轴正方向匀速运动，同时点从点出发沿数轴负方向匀速运动，设运动时间为．，分别为，中点，规定若“”（为常数），则称点，为点，的“型伴点”． ①若点的运动速度为每秒个单位，点的运动速度为每秒个单位，当，为，的“型伴点”时，求的值； ②若点保持①中的速度不变，改变点的速度，当点，为，的“型伴点”时，点刚好运动到线段中点处，则的速度应变为多少？ 【巩固练习6】【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律； 例如：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为AB，则； 若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，数轴上一点C到点A，B的距离相等，则点C表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为．点B表示的数为8，点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t（t＞1）秒． 【综合运用】 （1）①t秒后，点P表示的数为 　　，点Q表示的数为 　　．（用含i的式子表示） ②求P，Q两点之间的距离． ③当P，Q两点重合时，t的值为 　　． （2）若数轴上点M到点A，P的距离相等，点N到点B，P的距离相等，则在点P的运动过程中，M，N两点之间的距离是否发生变化？若变化．请说明理由；若不变，请求出M，N两点之间的距离． 【巩固练习7】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，点A，B在数轴上，O为原点．动点P，Q分别从点B沿数轴向点A运动，两点到达点A均停止运动．点P运动速度是1.5单位长度/秒，点Q运动速度是2单位长度/秒．    (1)点P运动3秒时所对应的数是 ，运动t秒时所对应的数是 ． (2)若点P和点Q同时出发，请问什么时候两点相距1单位长度？此时P，Q表示的数分别是多少？ (3)若点P先出发a秒，点Q再出发，a在什么范围时，两点相距0.5个单位长度的次数最多？请直接写出a的范围． 【巩固练习8】（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且最高次项的次数为．点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，到达点后再返回到点并停止． (1)__________，__________，__________． (2)点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值． (3)点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 【题型18】动角问题（解答题压轴） 【例题1】将直角三角板的直角顶点O放在直线上，过点O作射线，使．    (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，直接写出的度数； (2)将三角板绕点O逆时针转动， ①如图2，当平分时，求的度数； ②如图3，当时，求的度数． 【例题2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）综合探究： 【问题背景】：已知O是直线上的一点，射线在直线的上方，，将直角三角板的直角顶点放在O处，且直角三角板在直线的上方．                 【问题解决】： （1）如图1，若，则______； （2）若恰好平分，求和的度数； 【拓展延伸】： （3）将图2中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，是否存在t值，使？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值． 【例题3】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知，平分． (1)如图1，若，则 ， ； (2)如图2，若，求的度数； (3)若，平分，求出的度数．（用含m的代数式表示） 【巩固练习1】探究题：已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则______，______； (2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点旋转至图3的位置，射线仍然平分，求的度数． 【巩固练习2】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知，（本题所涉及的角均小于平角）．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点O作直线，且平分，求的度数； (3)如图3，点G是射线上一点，将线段绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转t秒（），当时，求此时t的值． 【巩固练习3】如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．    (1)如图2，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①旋转到图3的位置，的度数是多少？（用含的代数式表示） ②在旋转过程中，若，则此时的值． 【巩固练习4】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三点在同一直线上．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线，分别从，位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，平分，平分，设旋转的时间为秒． ①当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当为何值时，？ 【巩固练习5】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图1，如图点为线段上一点，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边在线段上，． (1)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______；猜想与的数量关系为______； (2)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向按每秒的速度旋转一周，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ (3)将图1中的三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转（随三角板停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 【巩固练习6】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． (1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON与∠AOM的度数． (2)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部．请探究：∠CON与∠AOM之间的数量关系，并说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时．直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 　 　秒（直接写出结果）． 【巩固练习7】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【巩固练习8】（23-24七年级上·广东深圳·期末）将两个直角三角形如图1摆放，已知，，，射线平分． (1)如图1，当三点共线时，的度数为______． (2)如图2，将绕点C从图1的位置开始顺时针旋转，旋转速度为每秒，设时间为，作射线平分． ①若，的度数是否改变？若改变，请用含t的代数式表示；若不变，请说明理由并求出值． ②若，当t为何值时，？请直接写出t的值． 【巩固练习9】已知，，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧；    (1)保持不动，将绕点O旋转至如图2所示的位置，则①= ；②= ； (2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算(用t的代数式表示)。 (3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线OE平分，射线OF平分，求的大小； 【巩固练习10】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点为直线上一定点，作射线． (1)如图1，当射线在直线的下方时，在直线的同侧作射线，使．将射线绕着点逆时针旋转得到射线． ①若时，求的度数． ②当时，若，求的值． (2)如图2，若，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为．在旋转过程中，同时将射线绕着点逆时针旋转得到射线，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值．（本题中研究的角均为大于且小于的角） 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$