专题04 计数原理（易错必刷50题10种题型专项训练）（期末复习专项训练）高二数学上学期湘教版

专题04 计数原理（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　分类加法计数原理 题型二　分步乘法计数原理 题型三　涂色问题 题型四　数字排位问题 题型五 与排列组合数有关的运算 题型六　分组分配问题 题型七　相邻与不相邻问题捆绑插孔法 题型八　定序问题 题型九　根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数） 题型十　利用赋值法进行求有关系数和 题型一　分类加法计数原理 1．（23-24高二下·广西玉林·期末）某校有5名学生参加数学竞赛，要求必须有人参加比赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，其他学生可以独立决定是否参加，求不同的参赛组合数（    ）． A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 【答案】B 【分析】由于其中2名学生必须同时参加或同时不参加，进行分类，由分类加法计数原理求解即可. 【详解】某校有5名学生参加数学竞赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加， 所以设这两名同学为甲乙， 当甲乙同时参加时，剩下的三名同学可能有： 没有同学参加有种情况，恰有一名同学参加有种情况， 恰有两名同学参加有种情况，三名同学都参加有种情况， 所以共有种组合； 当甲乙同时不参加时，剩下的三名同学可能有： 恰有一名同学参加有种情况，恰有两名同学参加有种情况， 三名同学都参加有种情况，所以共有种组合； 所以不同的参赛组合数为：种， 故选：B 2．（23-24高二下·甘肃白银·期末）从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有（    ）种. A．23 B．22 C．24 D．26 【答案】B 【分析】分2男1女和3男0女两种情况求解即可. 【详解】由题意知，选取的3人中女生人数不多于男生人数，包括2男1女和3男0女两种情况. 若3人中有2男1女，则不同的选法共有（种）； 若3人中有3男0女，则不同的选法共有（种）. 根据分类计数原理，所有不同的选法共有（种）. 故选：B 3．（23-24高二下·河南漯河·期末）现有包含两本书的六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，要求每人至少一本，其中两本书被分给甲的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将六本书先分组再分配，按照三组本数为，和三种情况讨论可得总分法.每种情况下优先分甲可得满足条件的分法，然后由古典概型概率公式可得. 【详解】第一类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种， 其中满足条件的分法：先将两本分给甲，然后将4本书分成两组分给乙、丙， 共有种； 第二类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种， 其中满足条件的分法：先从4本书中取2本连同分给甲，剩下的分给乙、丙， 共有种； 第三类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种， 其中满足条件的分法： 1）甲得2本：将分给甲，然后将剩余4本分成两组分给乙、丙， 共有种； 2）甲得3本：先从4本书中取1本连同分给甲，再将剩余3本分成两组分给乙、丙， 共有. 综上，将六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，共有种， 满足条件的分法有种. 所以，两本书被分给甲的概率为. 故选：C 4．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分类计数原理求解． 【详解】由分类计数原理得，不同的选法种数为：， 故选：A 5．（23-24高二下·北京海淀·期末）将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因四位数首位非零，且四个数字中有重复数字，故可先安排首位，再确定其他数位. 【详解】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，首位是2，则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有个； 第二类，首位是4，只需在余下的三个数位选一个给0即可，有个. 由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为. 故选：A. 题型二　分步乘法计数原理 6．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法， 然后我们把他们捆绑为一个整体， 再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法， 所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确. 故选：D 7．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有种排法； 再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共种， 根据分步相乘计数原理，共有种排法． 故选：C． 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ） A．30种 B．60种 C．120种 D．24种 【答案】D 【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的一人在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即可得到答案. 【详解】要使四人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成： 第一步，先从四人中任选三人，有种方法； 第二步再选这三人所在的区域，有种方法； 第三步，将另外一人从余下的两个区域里任选，有种方法. 由分步乘法计数原理，共有种方法. 故选：D. 9．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 【答案】D 【分析】利用插空法，结合分步乘法计数原理求解． 【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择， 当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择， 所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）. 故选：D 10．（23-24高二下·广西桂林·期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（    ） A．8 B．12 C．18 D．72 【答案】D 【分析】利用分步计数原理，结合组合数与排列数，即可计算结果. 【详解】从1，3，5，7中任取2个数的方法数有； 从2，4中任取1个数的方法数有； 选出的3个数的排列有； 再利用分步计数乘法原理得： 可以组成没有重复数字的三位数的个数有. 故选：D. 题型三　涂色问题 11．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 【答案】C 【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果. 【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色， 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故选：C. 12．（23-24高二下·山东青岛·期末）我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件“相邻区域颜色不同”，事件“区域1和3颜色相同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由计数原理结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】事件“相邻区域颜色不同”，先对区域1涂色，有4种涂色方法， 对区域2涂色，有3种涂色方法， 对区域5涂色，有2种涂色方法， 对区域4涂色，若区域4、区域2颜色不同，则区域3只有1种涂色方法， 若区域4、区域2颜色相同，则区域3只有2种涂色方法， 所以相邻区域颜色不同包含的基本事件有：； 事件“区域1和3颜色相同”，先对区域1、区域3涂色有4种涂色方法， 对区域2涂色，有3种涂色方法， 对区域5涂色，有2种涂色方法， 对区域4涂色，有2种涂色方法， 区域1和3颜色相同所包含的基本事件有：； 故所求概率为. 故选：C. 13．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法， 用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法， 因此不同涂色方法数为； 用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法， 因此不同涂色方法数为， 所以不同的涂色方案有（种）. 故选：A 14．（23-24高二下·四川凉山·期末）用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ） A．14种 B．16种 C．20种 D．18种 【答案】D 【分析】分A与C同色与不同色两类，每一类中利用分步计数原理求解，可得总的方法数. 【详解】先涂A，有3种涂法，再涂B有2种涂法，涂C时，与A同色，有1种涂法，此时D有2种涂法， 当C与A异色时有1种涂法，这是D有1种涂法， 所以共有3×2×（1×2＋1×1）＝18种. 故选：D. 15．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析、、和、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法， ②与相邻，有4种颜色可选， 若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法，与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选， 此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法， 若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选， 此时有种涂色方法， 则、、有种涂色方法， 故有种涂色方法． 故选：B． 题型四　数字排位问题 16．（23-24高二下·江苏徐州·期末）用数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（    ） A．48 B．60 C．96 D．120 【答案】A 【分析】考查排列组合中的分步计数原理，先确定个位数字，再确定其他位数字即可. 【详解】第一步，个位为2或4，共两种排法； 第二步，千、百、十位有种排法. 所以，共种排法. 故选：A. 17．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）由这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为（    ） A． B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】按个位数字是0和2分类求解即得. 【详解】当个位数字是0时，无重复数字的四位偶数的个数是， 当个位数字是2时，无重复数字的四位偶数的个数是， 所以不同的排法种数为. 故选：A 18．（23-24高二下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（    ） A．42 B．38 C．54 D．48 【答案】A 【分析】根据表示数字的火柴棒的根数分类讨论，即可求解. 【详解】因为10根火柴可以摆出的数字为2，3或2，5或3，5或4，6或4，9或7，8或1，2，5或1，3，7或，5，7，所以可以组成个无重复数字的三位数. 故选：A 19．（23-24高二下·吉林通化·期末）从由数字组成没有重复数字的五位数中任取一个，则取到数字1和2相邻的五位数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出数字组成的五位数的个数，再利用捆绑法求出数字1和2相邻的五位数的个数，从而得到概率. 【详解】由数字组成的五位数， 先从千位，百位，十位，个位四个数位上选1个安排0，再对剩余4个数和4个数位进行全排列， 故共有个， 其中数字1和2相邻的五位数，先将1和2进行捆绑，看作一个整体a，内部可进行排列， 首位安排0，再将a、3、4三个元素作全排有；将0、a、3、4四个元素作做全排有， 共有个． 所以取到数字1和2相邻的五位数的概率为． 故选：C． 20．（23-24高二下·湖北·期末）从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（    ） A．52个 B．64个 C．66个 D．70个 【答案】D 【分析】根据题意，分为三类，首位大于2、首位为2且第二位非0和首位为2，第二位为0，结合排列数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为三类： 当首位大于2时有种； 当首位为2，第二位非0时有种； 当首位为2，第二位为0时有种； 综上，总共有种. 故选D. 题型五 与排列组合数有关的运算 21．（23-24高二下·新疆·期末） （   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用组合数公式及阶乘运算计算即得. 【详解】. 故选：D 22．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 23．（23-24高二下·湖北·期末）下列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由组合数性质判断A；由阶乘的运算判断B；由排列数以及组合数公式计算CD. 【详解】由组合数性质可得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：B 24．（23-24高二下·吉林通化·期末）若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据排列数得到方程，求出答案. 【详解】由，得，解得． 故选：D． 25．（22-23高二下·河南郑州·期末）下列各式中与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数、组合数及组合数的性质计算可得. 【详解】因为，故A、B正确；D错误； ，故C正确. 故选：D 题型六　分组分配问题 26．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．可以分步完成，先确定前三种种颜色的出现顺序有种，再分别确定这三种颜色出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种颜色出现有一种方法，相乘可得． 【详解】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1． 三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法数为：种， 三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法数为：种， 恰好取6次卡片时停止的概率为：． 故选：． 27．（23-24高二下·陕西渭南·期末）2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．16种 【答案】B 【分析】分配1名医生和2名护士到一所学校即可. 【详解】解：先分配1名医生和2名护士到一所学校，另一所学校就就确定了， 所以共有种分配方案， 故选：B 28．（23-24高二下·天津南开·期末）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（    ） A．2730 B．10080 C．20160 D．40320 【答案】B 【分析】分两种情况根据分组与分配问题的求解方法求解即可. 【详解】若没有人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法， 若有一人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法， 所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为. 故选：. 29．（23-24高二下·山东枣庄·期末）将座位号为1，2，3，4的四张电影票分给甲、乙两人，每人至少一张.若分给同一人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为（    ） A．6 B．9 C．14 D．20 【答案】A 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理即可. 【详解】四张电影票分成两部分，每部分至少1张，多张票必须连号， 若一部分1张，另一个部分3张的分法有：1，234 和 123，4 两种分法； 若两部分都是两张的有：12，34 一种分法， 再分给甲乙两个人，全部的分法有：种. 故选：A 30．（23-24高二下·四川成都·期末）某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为（    ） A．52 B．60 C．72 D．360 【答案】B 【分析】先分人数分组，再结合要求应用排列分部门即可. 【详解】 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门， 人数分配为,可得, 若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则可得 故选：B. 题型七　相邻与不相邻问题捆绑插孔法 31．（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用捆绑法求出甲、乙、丙3人站在一起的方法数，除以10的全排列数可得． 【详解】由捆绑法可得，甲、乙、丙站在一起的概率为. 故选：B． 32．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用捆绑法可求得结果. 【详解】将本语文书捆绑、本数学书捆绑， 则相同科目的书相邻的排法种数为种. 故选：C. 33．（23-24高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】C 【分析】设最后两人为丁和戊，然后分甲、乙在丁、戊之间和丁、戊在甲、乙一侧时讨论即可. 【详解】设剩下的两人分别为丁和戊， ①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素， 丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站， 则共有种； ②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法， 丁、戊排列有种排法， 甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站， 则该种情况共有种， 则总共有种不同安排方法. 故选：C. 34．（23-24高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【答案】C 【分析】相邻问题利用捆绑法，不相邻问题利用插空法，再利用分步计数原理计算. 【详解】先将捆绑在一起与排，有种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入两人，有种方法， 由分步计数原理得共有种排列方法.故A，B，D错误. 故选：C. 35．（23-24高二下·新疆·期末）一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（   ） A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种 【答案】C 【分析】利用排列组合的知识结合分步计数原理的知识求解即可. 【详解】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序； 再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序. 根据分步乘法计数原理可知，共有2400种不同的演出顺序. 故选：C. 题型八　定序问题 36．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）学校计划派甲、乙、丙、丁4名学生参加周六、周日的公益活动，每名学生选择一天参加公益活动，若甲、乙不在同一天参加公益活动，则不同的参加公益活动的方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．16种 【答案】C 【分析】先安排甲、乙，然后安排丙、丁，再利用分步乘法原理可求得结果. 【详解】由题意可知甲、乙不在同一天参加公益活动，则有种方法， 然后丙、丁的安排方法有种， 所以由分步乘法原理可得共有种不同的方法. 故选：C 37．（23-24高二下·海南海口·期末）某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（    ） A．48种 B．54种 C．60种 D．72种 【答案】B 【分析】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名，分甲在第五名与甲不在第五名两种情况讨论. 【详解】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名， ①甲排在第五名，则有种排法； ②甲没有排在第五名，则甲、乙有种排法，其余人全排列，故有种排法； 综上可得一共有种不同的排法. 故选：B 38．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法， 由分步乘法计数原理得不同排法种数是. 故选：B 39．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种数为（    ） A．216 B．240 C．432 D．720 【答案】C 【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算. 【详解】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女， 先分别选1男1女排在左右两端，有种排法， 再排中间4个位置，有种排法， 所以不同的排法种数为种. 故选：C. 40．（23-24高二下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（    ） A．360种 B．300种 C．180种 D．120种 【答案】B 【分析】从6人中任取4人安排工作，去掉A安排在第四道工序工作的安排方法数即得. 【详解】从6名员工中任选4人，安排在4道工序上工作的安排方法数为种， 其中员工在第四道工序工作的安排方法数为种， 所以不同的安排方法共有（种）. 故选：B 题型九　根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数） 41．（23-24高二下·广东广州·期末）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（    ） A．160 B．20 C． D． 【答案】C 【分析】依题意，根据二项式系数性质，可知，从而可得展开式通项，令即可求得常数项的值． 【详解】解：因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，所以， 则展开式的通项为， 令，解得， 所以，即展开式中常数项为． 故选：C． 42．（23-24高二下·河南开封·期末）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 【答案】A 【分析】利用二项式的展开式的通项公式可得，求解即可. 【详解】由，可得展开式的通项公式为， 因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以， 解得，所以. 故选：A. 43．（23-24高二下·北京海淀·期末）的展开式中，所有二项式的系数和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式的展开式的性质，所有二项式系数和为即得. 【详解】的展开式中所有二项式的系数和为. 故选：B. 44．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知的展开式的各二项式系数和为，且的系数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由二项式系数和为，求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的各二项式系数和为，所以，解得， 所以展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以展开式中的系数为，解得. 故选：C 45．（23-24高二下·广西·期末）若的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【分析】由条件结合二项式系数的性质求，再结合展开式通项公式求结论. 【详解】因为的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项， 所以， 二项式的展开式的通项公式为， 令，可得， 所以展开式中的常数项为第项. 故选：D. 题型十　利用赋值法进行求有关系数和 46．（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，. (1)求的值： (2)求展开式中的系数. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题可得，，进而即得； （2）由二项式展开式的通项公式求解即得． 【详解】（1）因为，， 所以，解得； （2）由通项公式， 令，可得， 所以展开式中的系数为. 47．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1)1792(2) 【分析】（1）根据二项式系数之和的公式建立方程，可求解n的值，从而求出展开式的通项公式，令x的指数为4，即可求解； （2）根据（1），令x的指数为整数，求出r的值，进而可以求解. 【详解】（1）由二项式系数和为，则，解得； 则展开式的通项公式为，， 令，解得，所以展开式中含的系数为； （2）由（1）可知，令，且，则， 则展开式中的有理项分别为，，. 48．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1);(2)2;(3)18. 【分析】(1)根据二项式系数和为先确定值，再计算的值； (2)利用赋值法求特定项系数及特定项项系数和可得． (3)先求导数后代值，即可得答案. 【详解】（1）由二项式系数和为512知，， 故， 所以. （2）在中， 令，可得， 令，可得， 所以 . （3）在中， 两边求导可得， 令,可得， 所以. 49．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知的展开式中所有的二项式系数之和为64． (1)求n的值； (2)求该展开式的常数项． 【答案】(1)6；(2)60. 【分析】（1）利用二项式系数的性质，列式计算即得. （2）求出展开式的通项公式，再由幂指数确定常数项即得解. 【详解】（1）由的展开式中所有的二项式系数之和为64，得，所以. （2）由（1）知，展开式的通项公式为， 由，得，， 所以展开式的常数项为． 50．（23-24高二下·福建南平·期末）已知的展开式中，二项式系数和为64． (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1)4096；(2). 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出，再利用赋值法求出各项系数和. （2）求出展开式的通项公式，再求出指定项. 【详解】（1）由的展开式中，二项式系数和为64，得，解得， 所以展开式中各项系数的和为. （2）展开式的通项公式， 令，得，所以展开式中含的项为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 计数原理（易错必刷50题10种题型专项训练） 题型一　分类加法计数原理 题型二　分步乘法计数原理 题型三　涂色问题 题型四　数字排位问题 题型五 与排列组合数有关的运算 题型六　分组分配问题 题型七　相邻与不相邻问题捆绑插孔法 题型八　定序问题 题型九　根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数） 题型十　利用赋值法进行求有关系数和 题型一　分类加法计数原理 1．（23-24高二下·广西玉林·期末）某校有5名学生参加数学竞赛，要求必须有人参加比赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，其他学生可以独立决定是否参加，求不同的参赛组合数（    ）． A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 2．（23-24高二下·甘肃白银·期末）从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有（    ）种. A．23 B．22 C．24 D．26 3．（23-24高二下·河南漯河·期末）现有包含两本书的六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，要求每人至少一本，其中两本书被分给甲的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京海淀·期末）将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 题型二　分步乘法计数原理 6．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ） A．30种 B．60种 C．120种 D．24种 9．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 10．（23-24高二下·广西桂林·期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（    ） A．8 B．12 C．18 D．72 题型三　涂色问题 11．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 12．（23-24高二下·山东青岛·期末）我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件“相邻区域颜色不同”，事件“区域1和3颜色相同”，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 14．（23-24高二下·四川凉山·期末）用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ） A．14种 B．16种 C．20种 D．18种 15．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 题型四　数字排位问题 16．（23-24高二下·江苏徐州·期末）用数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（    ） A．48 B．60 C．96 D．120 17．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）由这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为（    ） A． B．12 C．18 D．24 18．（23-24高二下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（    ） A．42 B．38 C．54 D．48 19．（23-24高二下·吉林通化·期末）从由数字组成没有重复数字的五位数中任取一个，则取到数字1和2相邻的五位数的概率为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·湖北·期末）从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（    ） A．52个 B．64个 C．66个 D．70个 题型五 与排列组合数有关的运算 21．（23-24高二下·新疆·期末） （   ） A．6 B．7 C．8 D．9 22．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二下·湖北·期末）下列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·吉林通化·期末）若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 25．（22-23高二下·河南郑州·期末）下列各式中与不相等的是（    ） A． B． C． D． 题型六　分组分配问题 26．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·陕西渭南·期末）2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．16种 28．（23-24高二下·天津南开·期末）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（    ） A．2730 B．10080 C．20160 D．40320 29．（23-24高二下·山东枣庄·期末）将座位号为1，2，3，4的四张电影票分给甲、乙两人，每人至少一张.若分给同一人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为（    ） A．6 B．9 C．14 D．20 30．（23-24高二下·四川成都·期末）某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为（    ） A．52 B．60 C．72 D．360 题型七　相邻与不相邻问题捆绑插孔法 31．（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 33．（23-24高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 34．（23-24高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 35．（23-24高二下·新疆·期末）一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（   ） A．480种 B．1200种 C．2400种 D．5040种 题型八　定序问题 36．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）学校计划派甲、乙、丙、丁4名学生参加周六、周日的公益活动，每名学生选择一天参加公益活动，若甲、乙不在同一天参加公益活动，则不同的参加公益活动的方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．16种 37．（23-24高二下·海南海口·期末）某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（    ） A．48种 B．54种 C．60种 D．72种 38．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 39．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种数为（    ） A．216 B．240 C．432 D．720 40．（23-24高二下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（    ） A．360种 B．300种 C．180种 D．120种 题型九　根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数） 41．（23-24高二下·广东广州·期末）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（    ） A．160 B．20 C． D． 42．（23-24高二下·河南开封·期末）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 43．（23-24高二下·北京海淀·期末）的展开式中，所有二项式的系数和为（    ） A．0 B． C． D． 44．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知的展开式的各二项式系数和为，且的系数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 45．（23-24高二下·广西·期末）若的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 题型十　利用赋值法进行求有关系数和 46．（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，. (1)求的值： (2)求展开式中的系数. 47．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中所有的有理项. 48．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 49．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知的展开式中所有的二项式系数之和为64． (1)求n的值； (2)求该展开式的常数项． 50．（23-24高二下·福建南平·期末）已知的展开式中，二项式系数和为64． (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含的项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$