专题04 计数原理（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）（期末复习课件）高二数学上学期湘教版

串讲04 计数原理 高二湘教版（24-25学年）数学选择性必修一期末考点大串讲 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 十大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 02题型剖析 题型一　分类加法计数原理 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　分步乘法计数原理 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　 涂色问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　数字排位问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　与排列组合数有关的运算 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　分组分配问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　相邻与不相邻问题捆绑插孔法 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型八　定序问题 技巧点拨 举一反三 题型九 根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数） 题型剖析 技巧点拨 举一反三 题型十　利用赋值法进行求有关系数和 题型剖析 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　混淆二项式系数与项的系数致错 03易错易混 易错点2　忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r项致错 03易错易混 易错点3　混淆均匀分组与部分均匀分组致错 04押题预测 B C C D D 谢谢观看！ 【解析】从书架上任取本书，有种不同取法. 从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有种不同取法. 故选：C 【解析】根据“回文数”的对称性，只需计算前4位数的排法种数即可， 首位数不能放零，首位数共有9种选择，第二位、第三位、第四位数均有10种选择， 因此，8位的回文数共有个. 故选：C. 【解析】根据题意，将4人安排到2个文明实践站，每人有2种安排方法，则有2×2×2×2=16种安排方法，其中都安排在同一个文明实践站的方法有2种，则有16-2=14种不同的安排方法. 故答案为：14. 1.分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2．乘法原理的特点： ① 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ② 完成每一步有若干种方法； ③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 【变式】古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组． 【解析】分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果． 第二类：用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配， 则有5×6＝30(组)不同的结果． 共可得到30＋30＝60(组)． 故答案为：60 例3、如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答） 【解析】由已知按区域分四步：第一步A区域有4种选择，第二步B区域有3种选择， 第三步C区域有2种选择，第四步D区域也有2种选择， 则由分步计数原理可得共有种， 故答案为：48． 涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，因为这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。 【变式】如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种. A B C               D 【解析】A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法， 共有4×3×3×3＝108(种)涂法. 故答案为：108 例4、从7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张（数字6的卡片可以倒过来当9用），可以组成个_____无重复数字的被4整除的四位数． 【解析】①后两位为04、20、40、60，对于04、20、40需要考虑是否取到数字6，所以共有（20＋8）3＋20＝104种； ②后两位为12、24、32、52，注意0不在首位，共有（5＋12＋6）4＝92种； ③后两位为16、36、56、64、92，注意0不在首位，共有（4＋12）5＝80种； ∴共276种 某个或某几个元素要或不要排在指定位置，可先排这个或这几个元素，再排其他的元素（元素代先法）；也可针对特殊元素，先把指定位置安排好元素，再排其他的元素（位置化先法）． 【变式】从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有________个． 【解析】第1类：一位数中除8外符合要求的有8个； 第2类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，有8×9个符合要求； 第3类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，有9×9个，而百位上数字是2的只有200符合． 所以总共有8＋8×9＋9×9＋1＝162(个)． 例5、若，则（       ） A．1 B．8 C．9 D．10 【解析】∵，∴，化简可得，则. 故选：B 排列数公式 ，其中n，m∈N+，且m≤n． 排列数公式的阶乘式： 所以． （、，且） （、，且） 【变式】a∈N*，且a<27，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于（       ） A． B． C． D． 【解析】从27－a到34－a共有34－a－(27－a)＋1＝8个数，∴(27－a)(28－a)…(34－a)＝. 故选：D. 例6、2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ） A．462 B．126 C．210 D．132 【解析】将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序， 共有种方案. 故选：B. 相同小球放入不同盒中，即 个相同元素分成 组（每组的任务不同）的问题. Ⅰ:当每组至少含一个元素时，其不同分组分式有 种，即给 个元素中间的 个空隙中插入 个隔板. Ⅱ：任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组分式有 种，即将 个元素与 个相同隔板进行排序，在 个位置中选 个隔板. 【变式】不定方程的非负整数解的个数为（ ） A． B． C． D． 【解析】不定方程的非负整数解的个数将个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数. 现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可， 因此，不定方程的非负整数解的个数为.故选：C. 例7、加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（       ）种加工方法． A．24 B．32 C．48 D．64 【解析】工序A，B必须相邻，可看作一个整体，工序C，D不能相邻，所以先对AB，E工序进行排序，有种方法，AB内部排序，有种方法，排好之后有三个空可以把工序C，D插入，共种情况，所以一共有种可能性故选：A 相邻问题 1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算. 2、解题步骤： 第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数 第二步：求出其余元素的排列种数 第三步：求出总的排列种数 不相邻问题 1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可 2.解题步骤： ①先考虑不受限制的元素的排列种数 ②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数 ③求出总的排列种数 【变式】甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行，则甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为（       ） A． B． C． D． 【解析】甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行有种方法， 甲、乙相邻，丙、丁不相邻的排法为先将甲、乙捆绑在一起，再与戊进行排列，然后丙、丁从3个空中选2个空插入，则共有种方法， 所以甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为，故选：A 例8、五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有 种。 【解析】进行全排列，则有，甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，所以再将有顺序要求的个元素进行全排列个，共种。 定序问题作倍缩放：将题干给定的总数n都看成某一个独立的个体（不相同的），进行全排列故为，其次再将有顺序要求的m个元素进行全排列个，其中满足要求的顺序必为1个，则总的情况数为。 【变式】某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是 。 【解析】工程丁必须在丙完成后立即进行，等价于丙丁看成一个元素，共五个元素进行排序，进行全排列，则有，保证甲乙（丙丁）三个元素顺序不变，所以再将有顺序要求的2个元素进行全排列个，共种。 例9、若的展开式有16项，则自然数的值为（       ） A．9 B．10 C．11 D．16 【解析】因为的展开式共有项，所以，所以， 故选：B． 二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 【变式】若二项武的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是_________． 【解析】的展开式的通项， 令，得，因为，所以当时，有最小值为7. 故答案为：7. 例10、已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1)求n的值；(2)求展开式中含的项． 【解析】(1)∵的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，∴展开后一共有11项，则，解得； (2)二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，∴展开式中含的项为． 1.的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大. ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即。 2.展开式中的系数求法（的整数且） 【变式】已知展开式的各项系数和为64，则所有含“y”的项的系数和为______. 【解析】令，，可得，据题意可得，即有； 令，，可得，即所有不含“y”的项的系数和为64， 故可得含“y”的项的系数和为0. 故答案为：. 1． 的展开式中 的系数为（ ） A．10 B．20 C．90 D．80 【解析】【错解】A，由题可得 令 ,则 , 所以 的展开式中 的系数为 ，故选A. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】C，由题可得 令 ,则 ,所以 ，故选C. 2．二项式 的展开式的第二项是（ ） A． B． C． D． 【解析】【错解】展开式的通项为 ,令 ,可得展开式的第二项为 = .故选A. 【错因】误认为第二项是 而错误 【正解】展开式的通项为 ,令 ,可得展开式的第二项为 = .故选D. 3.某校高二年级共有六个班,现从外地转入 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排 名,则不同的安排方案种数为（） A． B． C． D． 【解析】【错解】选A，先将4名学生均分成两组方法数为 ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为 ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为 ． 【错因】该题为均匀分组，忽略除以 而错误. 【正解】先将4名学生均分成两组方法数为 ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为 , 根据分步计数原理合要求的安排方法数为 ．故选B． 1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．90 B．150 C．390 D．420 3．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 4．（23-24高二下·陕西西安·期末）的展开式中项的系数为（    ） A． B．5 C． D．10 5．（23-24高二下·天津滨海新·期末）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（    ） A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 $$