2025年九年级中考数学一轮复习课件：微专题 常考的全等模型与相似模型（河北专用）

第四章 三 角 形 微专题 常考的全等模型与相似模型 1 一、 简单的全等模型 平移模型 例1 如图，是线段的中点，， .求证： . 例1题图 2 例1题图 证明:是的中点， . ， . ， . 在和中， . 3 模型总结 典型图形 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 特点 一个三角形沿着某条直线平移得到另一个三角形 解题方法 ①利用平行线的性质证明对应角相等；②证明同一条直线上 的对应边相等，一般需要加（减）公共部分 4 训练1题图 对应训练1 （2024，内江）如图，点，，， 在同 一条直线上，，， ． （1）求证： ； 证明： ， ，即 ． ， ， ． 5 （2）若 ， ，求 的度数． 训练1题图 解： ， ． ， ． 6 翻折（轴对称）模型 例2题图 例2 （2024，乐山）如图，平分， .求 证： ． 证明:平分 ， ． 在和中， . ． 7 模型总结 有公共边 有公共顶点 典型 图形 _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ ______________________________ 8 有公共边 有公共顶点 特点 两个三角形关于公共边所在直线 或公共边的垂直平分线成轴对称 两个三角形关于经过公共顶点 的某条直线成轴对称 解题 方法 ①找对应边时，可根据公共边、中点、等角对等边等得到；②找 对应角时，可根据公共角、角平分线、等边对等角等得到 续表 9 对应训练2 （2024，长春）如图，在四边形中， ， 是边的中点，.求证：四边形 是矩形． 训练2题图 10 训练2题图 证明：是边的中点， ． 在和中， ． ， . ． 四边形 是平行四边形． ， 四边形 是矩形． 11 旋转模型 例3 （2024，广州）如图，在中， ，， 为 边的中点，点，分别在边，上，，则四边形 的 面积为( ) 例3题图 C A. 18 B. C. 9 D. 12 模型总结 有公共顶点 没有公共顶点，但共线 典型 图形 ________________________________________________________________________ ____________________________________ ______________________________________________ ____________________________________________________________ 13 有公共顶点 没有公共顶点，但共线 特点 一个三角形绕公共顶点旋转 后与另一个三角形重合 一个三角形先绕一个顶点旋转 ，再平移与另一个三角形重合 解题 方法 一般需要加（减）公共顶点 的角的公共部分得一组对应 角 ①利用平行线的性质证明对应角相 等；②证明同一条直线上的对应边相 等，一般需要加（减）公共部分 续表 14 对应训练3 （2024，泸州）如图，在中，，是对角线 上的 点，且.求证： ． 训练3题图 15 训练3题图 证明： 四边形 是平行四边形， ， . ． ， ． ． 16 二、 简单的相似模型 A字型 例4题图 例4 （2024，唐山二模）如图，在 的正方形网格中， 每个小正方形的边长均为1， 的顶点均在格点上，将 向右平移1个单位长度得到 ． （1） 的面积为___； 17 例4题图 （2）阴影部分的面积为__． 18 模型总结 典型图形 _______________________________________ ________________________________________ 特点 当时， 当时， 解题方法 一般利用平行、两对对应角相等或两边对应成比例且夹角相 等证明两个三角形相似 19 训练4题图 对应训练4 如图，在中，，，为 上一点，且，在上取一点，使以，， 为顶点 的三角形与相似，则 的长是( ) C A. 或 B. 10或 C. 或10 D. 以上答案都不对 20 8字型 例5 如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注.对于 甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是( ) A 例5题图 A. 都相似 B. 都不相似 C. 只有甲中两个三角形相似 D. 只有乙中两个三角形相似 21 模型总结 典型 图形 __________________________________________ ________________________________ 特点 当时， 当时， 解题 方法 ①一般根据平行线的性质、对顶角相等得对应角相等，利用两对 对应角相等证明两个三角形相似；②有时会利用两边对应成比例 且夹角相等证明两个三角形相似 22 对应训练5 （2024，云南）如图，与交于点，且 .若 ，则 __． 训练5题图 23 A字型与8字型的综合 例6 如图,在中,,,点,分别在,上, , ,交于点,则 面积的最大值是__. 例6题图 24 模型总结 典型 图形 ___________________________________ _____________________________________ 特点 当 时， ， ， 当时， ；当 时， 解题 方法 此类模型中，既含有A字型，又含有8字型，可以先用一种模型表 示出对应边之间的关系，再用另一种模型求解得出答案 25 训练6题图 对应训练6 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔 ，物体在幕布上形成倒立的实像（点， 的对 应点分别是，）.若物体的高度为，实像 的高度为，则小孔的高度为___ ． 26 三、 较复杂的相似（全等）模型 一线三等角模型 例7题图 例7 （2024，齐齐哈尔）综合与实践：如图 ①，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注 解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵 爽弦图”.受这幅图的启发，数学兴趣小组建 立了“一线三直角模型”.如图②，在 中， ，将线段绕点顺时针旋转 得到线段 ，作 交的延长线于点 ． 27 【观察感知】 例7题图 （1）如图②，通过观察，线段与 的 数量关系是__________． 28 【问题解决】 （2）如图③，连接并延长交的延长线于点.若， ， 求 的面积． 例7题图 29 例7题图 解： ， ． , ． ． , ， ， ． ，，， ． ． 30 , ． .. ． ． ． 例7题图 【类比迁移】 （3）在（2）的条件下，连接交于点，则 ___． 例7题图 32 【拓展延伸】 （4）在（2）的条件下，在直线上找点，使 ,请直接写出 线段 的长度. 例7题图 解：或 . 33 模型总结 典型 图形 _________________________________________________________________ 特别地，当，， 是直角时，也称为“一线三直角模型”. _____________________________________________________________________ 34 特点 在图中的某条直线上存在三个相等的角 解题 方法 一般利用三角形的内角和定理、外角的性质，结合题中三个角相等 的关系，再得出一对对应角相等，从而利用两组对应角相等来证明 两个三角形相似.同时，当存在一组对应边相等时，这两个三角形 全等 续表 35 对应训练7 （2024，苏州）如图，为反比例函数 图象上 的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数 的图象交 于点，则 的值为( ) 训练7题图 A A. B. C. D. 36 训练8题图 对应训练8 如图，在边长为6的等边三角形中， 是边上的点， ，点，分别在 ， 边上.若，，则 __． 37 手拉手模型 例8题图 例8 如图，在中，点在上，过点作 交于点.将绕点逆时针旋转得到 ，旋转 角为，连接， ． （1）求证： ； 38 例8题图 证明：,. . 由旋转的性质可知,, , . . . 39 （2）若，，旋转角为 ，求 的长． 例8题图 40 例8答图 解：如答图，过点作交于点 ． ,, . 在中， , . . 由勾股定理,得 . 在中， , . 41 模型总结 典 型 图 形 ________________________________________________ _______________________________________________________________ 42 特 点 和 是两个有公 共顶点的等腰三角形，且有公 共顶点的两个角相等； 和 全等；③拉 手线，的夹角与 相 等或互补 和 是有公共顶点的 非等腰三角形，有公共顶点的两个 角相等；②当时， 和 相似；③拉手线， 的夹 角与 相等或互补 续表 43 解 题 方 法 一般利用 证明两个三角形全等或利用两边对应成比例且夹角相等 证明两个三角形相似，其夹角一般是有公共顶点的两个角加（减） 公共部分的角 续表 44 对应训练9 如图，在中，， , 是平面内不与 点，重合的任意一点,连接，将线段绕点逆时针旋转 得到线 段，连接，， ． 训练9题图 （1）求 的值； 45 训练9题图 解：, , , . 由旋转的性质，得, . , . ， . , 即 ． . 46 （2）求直线与直线 相交所成的较小角的度数． 训练9题图 47 解：如答图，设交于点，交于点 ． 训练9答图 由（1）得 ． ， ． ． 直线与直线相交所成的较小角的度数为 ． 48 母子相似模型 例9题图 例9 如图，在中，是 上一点.有下列四个 条件：； ； ； .其中一定能 满足与 相似的条件是______.（填序号） ①③ 49 模型总结 典型图形 ____________________________________________________ _____________________________________________ , 特点 两个三角形有一个公共角,一条公共边,其中一个三角形在另一 个三角形内部 解题方法 一般用“两个角相等”或“两边成比例且夹角相等”来证明相似,注 意公共边一定不是对应边,是共线的两边的比例中项 50 训练10题图 对应训练10 如图，在中， ， 平分，交于点,交于点 ， 是 的外接圆． （1）求证：是 的切线. 51 训练10答图 证明：如答图，连接 ． 平分， ． ， ． ． ， ，即 ． 是 的切线． 52 训练10题图 （2）与 相似吗？如果不相似，说明理由； 如果相似，写出对应的比例式． 解：相似. 平分， ． ， ， ． ． 53 训练10题图 （3）求证： ． 证明： ， ． ， . ． ， ． ， ． . ． 54 对角互补模型 例10题图 例10 如图,在四边形中, , 平分 ,,则 ___. 55 模型总结 典型 图形 ____________________________________________ 特点 56 解题 方法 _____________________________________________ 如图②,过点作于点,,交的延长线于点 ， 可证.从而得 续表 57 解题 方法 ________________________ 如图③，以点为顶点作,其中交 的延长线于点 ，可证 . , . , . 续表 58 解题 方法 特别地，当 为角平分线时，可按照相同的辅助线作法得出全等 三角形 续表 59 对应训练11 如图，在等腰直角三角形中， ，将 沿 翻折，点恰好落在上的点处.求证： ． 训练11题图 60 证明：如答图，过点作于点，于点 ． 由折叠的性质可知, . ． ， ． ， . 为等腰直角三角形， 61 . . . . 训练11答图 半角模型 例11题图 例11 如图，和 均为等腰直角三角形， ，，分别交边于点， .若 ，，则 ______． 63 模型总结 特点 其中一个角是与它共顶点的角的一半 解题 方法 如图①，在正方形中， . _____________________________________________________________ 辅助线及结论：将绕点顺时针旋转 得到 ，则 与重合，可得结论 ,进而可得结论 64 解题 方法 如图②，在中， ，， . _________________________________________________________________________ 辅助线及结论：将绕点逆时针旋转 得到 ，则 与重合，连接,可得结论， 为直角 三角形， 续表 65 解题 方法 如图③，在四边形中， ， ， , . __________________________________________________________________ 辅助线及结论：将绕点顺时针旋转 得到 ，则 与重合，连接,可得结论 ，进而可得结论 续表 66 对应训练12（1）如图①，在正方形中，，分别是， 上的点， 且 ，试判断，与 三条线段之间的数量关系，直接写 出判断结果：_______________． 67 训练12题图 （2）如图②，若把（1）中的条件变 为“在四边形中， ， ，， 分别是 ， 上的点，且 ”，则（1）中的结论 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 68 训练12答图 解：结论 仍然成立． 理由：如答图，将绕点顺时针旋转，使 与重合，得到，则 ． ，， ， ． ， ． ． 69 ， ． ，， 三点共线． 在和中， . ． ， ． 训练12答图 $$