2025年九年级中考数学一轮复习课件：微专题 整式运算的几何意义（河北专用）

第一章 数 与 式 微专题 整式运算的几何意义 1 整式运算 例1 利用若干块如图①所示的长方形和正方形硬纸片可以拼出一些新的长 方形,并用不同的方法计算它的面积,从而得到相应的等式.计算图②的面积 可以得到等式 . 例1题图 2 例1题图 （1）计算图③的面积,可以得到等式________ ___________________________. （2）在如图④所示的虚线框中用如图①所示 的长方形和正方形硬纸片若干块（每种至少 用一块）,拼成一个长方形,使拼出的长方形的 例1答图 解：拼出的长方形如答图所示. . 面积为,并把二次三项式 分解因式. 3 （3）如图⑤,大正方形的边长为,小正方形的边长为.若用, 表示每个长 方形的长和宽 ,观察图形,下列关系式正确的有___个. ；；； . 例1题图 4 4 （1）用不同方法表示同一个图形的面积，可以得到等式关系； （2）把一个或几个图形通过剪拼的方式，组合成一个新图形，通过计算 新、旧图形的面积可以得到等式关系.通过观察和研究等式的左右两边， 可以验证整式乘法的法则（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式× 多项式）. 5 训练1题图 对应训练1 通过计算比较图甲、图乙中阴影部 分的面积，可以验证的式子是_______________ ______________________. 6 乘法公式 例2题图 例2 如图,将边长为的正方形剪出两个边长分别为, 的正 方形（阴影部分）. （1）根据题意,用两种不同的方法表示阴影部分的面积,即用两 个不同的代数式表示阴影部分的面积. 7 （2）从（1）中你得到什么等式？ 例2题图 解： . 8 （3）运用你发现的结论,解决下列问题： 例2题图 ①已知,,求 的值； 解：, . , . 9 ②已知,求 的值. 解：设,,则, . . 10 从一个边长较大的正方形中剪掉(挖去)一个边长较小的正方形后,剩 余部分通过不同的方法可以剪拼成一个不重叠且无缝隙的新图形,那么剩 余图形的面积,既可以用大、小两个正方形的面积之差表示,又可以根据剪 拼后新形成的规则图形的面积公式表示,通过这样的操作可以验证平方差 公式 . 根据同一图形的面积的不同表示方法，可以将图形的面积运用整体 方法和部分的和差两种方法来表示.通过这样的操作可以验证完全平方公 式， . 11 训练2题图 对应训练2 如图①,从边长为 的大正方形中剪掉 一个边长为 的小正方形,将阴影部分沿线剪开,拼 成如图②所示的长方形. （1）图①中阴影部分的面积为________, 图②中阴影部分的面积为______________. （2）比较两图的阴影部分的面积,可以得到等式：_____________________ ________. 12 训练2题图 （3）运用你所得到的等式，计算下列各题： ① ； 解：原式 . 13 ② . 解：原式 . 训练2题图 14 因式分解 例3题图 例3 【发现问题】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思 想方法,借助图的直观性,可以帮助我们更 容易理解数学问题.现有图①中的,, 三 如：用1张卡片,2张卡片,1张 卡片拼成如图②所示的图形,用两种方法表 示该图形的面积,可以得到等式 . 种卡片若干张,用这些卡片可以拼成各式各样的图形,根据这些图形的面积 的不同表示可以将一些多项式因式分解. 15 【小试牛刀】 例3题图 （1）请把表示图③面积的多项式因式分 解.（直接写出等式即可） 解： . 16 【自主探索】 （2）请利用图①的卡片,将多项式 因式分解,并画出图形. 例3题图 17 解：如答图①. 例3答图 . 18 【拓展迁移】 （3）事实上,拼图不仅限于平面图形,利用立体图形的体积也可以将一些多 项式因式分解.请你用此方法从体积角度简要说明如何把 进行因式分解并写出因式分解结果. 例3题图 19 例3答图 解： , 可以把看成一个高为 ,底面积为 的长方体的体积. 如答图②,底面是由1张卡片,4张卡片,3张 卡片拼成 的. . . 20 因式分解与图形面积之间有很强的关联性——面积的表示必然出现 二次式，而简单的因式分解的结果恰是两个一次式的积.因此我们经常利 用图形对其解读，进而达到事半功倍的效果.通过合理分割图形可以探究 多项式乘法，借助图形理解整式乘法运算；也可对运算结果进行验证， 通过逆向运算，进行二次三项式的因式分解，进一步领会数形结合思想. 21 对应训练3 【探究发现】 （1）小明计算了下面几道题： ① ； ② ； ③ ； ④ . 后来发现，形如 的两个多项式相乘，计算结果具有一定的 规律，请你帮助小明完善发现的规律：（___） （ ______） ____. 22 【面积说明】 （2）上面的规律正确吗？小明利用多项式乘法法则计算 ， 发现这个规律是正确的.小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则 可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出如图所示 的图形说明他发现的规律，请你帮助他补全图中括号里的代数式. 23 解：补全的图形如答图所示. 训练3答图 24 【逆用规律】 （3）学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是互逆变形，他就 逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律对 25 ① ； 解： ， . ② 进行因式分解. 训练3题图 解： ， . 26 $$