河北省沧州市沧县中学2024-2025学年高三上学期12月阶段测试数学试题

20242025第一学期12月高三阶段测试卷 数学评分细则 12.一5 【解析】sin28= 2sin0cos0 2tan0 2x(-3)3 sim20+cos201+tan201+(-3) 5· 故答案为：一5 13. 2a. 1=a+2-11 1012 【解析】由a1= +2,得 a 2a,a 2' 11 4 1 11.1 2, 故数列 是以片为首项， a. 2 为公整的等差数列且。-分计如-》=号 1 故a。= ，neN,aoa4-1012 14.0②0【解析】对于0，若点P为cC的中点，则亚=正+D+杯， D 所以AP卡 AB'+AD++24B:AD+AB44+ADA4=5, 4 故①正确： 对于②，若点P在平面ABD内，则A、B、DP四点共面，则x+y+二=1， 故②正确： 对于③，点4在平面ABCD内的射影为点C,易得AC=√5，AC=反. 故当z=1时，点P到平面ABCD的距离为AC=√2， 所以-专及e4C-号放回错误 对于@。若点P为AG的中点，币丽+号D+,丽=而-丽 所以AP.BD=-AB+AD+ADAA-ABA4=0,故P1BD,故④正确 故答案为：①②① 15.【解析】1)由于数列a,}为等差数列，又4=4S=20.故4+d=44a+43d=20, 2 解得a1=2,d=2.- 4分 故数列{a}的通项公式为a,=q+(n-1)d=2n.- --6分 111 (2)b=a+a-D2m+2m-D22m-)2m+0 -10分 2+}2n+1 -13分 16.【解析】(1)因为(b2+c2-a2)(cosB+cosC)=abc,由余弦定理可得2 bccosA(ccosB+bcosC)=abc 2cos A(ccosB+bcosC)=a-- --2分 高三数学第1页 所以2cosA(sin CcosB+sin BcosC)=sinA.- 4分 即2 cosAsinA=sinA,故cosA= 2 …5分 又A为三角形内角，故=正 -6分 3 (2)由正弦定理可知 sinc sin B'所以b=csin B b 2sin(C sin C+5 cosC5 sinC sinC sinC tanC …9分 又△M8C为极角三角形，所以0cC<号4+C>受，所以g<C< ，-11分 6 则tanC∈( 3,t∞)，所以be0,4) --13分 △MC的面积为S=bcA=5bEC5 2v⑤ -15分 2 2 17.【解析】(1)证明：取PA上靠近点P的三等分点F,连接EF,BF, 因为点B是PD的三等分点故E即∥AD且EP-4D, -3分 又因为BCAD且BC=AD,故BCIEF且BC=EF, -4分 31 故四边形BCEF为平行四边形，故CEBF, 又因为CEC平面PAB,BFC平面PAB, 故CE∥平面PAB.- …6分 (2)如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AP所在直线为：轴建 立空间直角坐标系，则A(0,0,0),P(0,0,3),C(3,1,0),E(0,1,2) AP=(0,0,3),AC=(3,1,0),设平面P4C的法向量为=(g,,三)： mAP=0∫3=0 则 44C=0即3+片=0令5=1，可得法向量为乃=0，-30)， .即 -9分 AE=(0,1,2),AC=(3,L,0),设平面EAC的法向量为=（化，2,22） 则 2A亚=0m∫y+25=0 即 令x2=2, AC=0'3x+片=0' 可得法向量为2=(2，-63)… ----12分 则c08<,>= 乃 20 2v10 %2| V10×77 高三数学第2页 所以平面4C与平面PAC所成角的余弦值为210 15分 > 18【解析】1)数列a,}的前n项和为S.=n2+1+2n+D=n+1+), 2 S.=2n(2+1+4n+)。 =n(4n+2t+2),- …2分 2 设S2m=kS。,4n+2t+2=k(n+1+1), [4=k k=4 4+4=21+2所以 =-1 4分 (2)由(1)可知bn=2a=(21-1)-2 T.=1×2+3×22+5×2+…+(21-1)×2"③ 2T.=1×22+3×23+5×2++(2n-3)×2”+(2n-1)×21④------7分 ③一④可得 -T.=1×2+2×(22+2+…+2*)-(2n-1）×2"+1 -9分 =2+2.4x0-22-21-0×2=2+23-8-(2m-x21=-6+6-20×2…11分 1-2 故T=(271-3)×2+1+6 -12分 (3)若不等式T>[0+1)m-3】2+6对任意的n∈NW恒成立， 则二S之0m+10一3，士 -14分 化简得21>m+m对任意的n∈N恒成立，所以m<2 +1 恒成立 令c,=2”=20m+)-2=2-2在n∈2上是递增数列 -15分 +1n+1 所以C,的最小值为G=1,所以m<G=1, 所以L的范围是<1.-- 17分 19.【解析】(1)取DB的中点O,连接AO,CO, 因为是四边形ADCB边长为2的菱形，并且∠ADC=120°， 所以△4DB,△DEC,均为等边三角形， ---3分 故AO⊥DE,CO⊥DE,AO∩CO=O, 所以DB⊥平面ACO,AC,C平面ACO, 所以DE⊥AC1- -5分 (2)因为平面CDE⊥平面ABED,CO⊥DE,所以C,O⊥平面ABED,以O为坐标原点，OD所在 直线为x轴，OA所在直线为y轴，OC所在直线为：轴，如下图建立空间直角坐标系， 高三数学第3页 则oao04oi.0.a-90小coa间.DLo0.Be1a0 M(mn.t),BM=ABC,e[0.1]. +兽小信兽可 即 2 -7分 设平面ADC的法向量为n=(x,以，)， 则而=-5.C=o-瓜同.则5=0 inAC =-3y+3=0 令x=5,则y=1,=1,故n=(51,), 9分 cw--当+9A5 则4-动 415, √3+1+1 15 解得：A或（合去），散点M为BC上靠近点B的三等分点 3 BM1 此时BC,3 --12分 (3)由(2)可得EM= 33 14分 设直线EM与平面ADC所成角为日， 则sn8-kos(.以- 10 -16分 EM 所以直线BM与平面ADC所成角的正弦值为 -17分 5 高三数学第4页2024-2025第一学期12月高三阶段测试卷 数学答案 ) 故选:C 2.D【解析】因为圆台的上、下底面半径分别为3,6,它的母线长为5,所以这个圆台的高为4,由圆 3.B【解析】由题可知ā;5=m-4<0,即m<4,又向量a.5不共线,所以mt-1,所以实数m的取值范 围为n<4且mz-1,故选:B 4.C【解析】等差数列a.中,由于a>0,故a.>0,a。<0.a。+a。>0. 19(a+a):19。<0, 由a0.故$=17a>0.又因a+a。>0,故$=9(a。+a)→0,由a<0,故S。=- 2 故使S.<0的最小的为19,故选:C tang.tan/B=5. 所以 sina.sin5 Icosg·cos/B 解得 所以cos(a+B)=cosa:cosB-sina:sinB-- 1 2. #.#0). -2(n N),2 13(a+a) $.255 {#=2 #+hb# 13(6)-_4-,故选A 2 7.B【解析】依题意,4S=2absinC=a2+b-c}: sinC2+6- 2 =cosC.tanC-1. 2 由解得sinc- 2.cosC 2 a sinA sin(B+C)sinCcos B+ cosCsin B 2 12 b sinB 2tanB2 由于AABC是锐角三角形. sinB sinB 高三数学第1页 DOB_} 所以 4 tanB 所以061221# <.故选:B 2 tanB2'22tanB2 8.A【解析】解法一;设AABC中AB=a,三校柱ABC-ABC的高为h,则 3a*-h=8V3,所以aih=32,则a-32 1 2sin30{ =. 4 322 ,则y-32-64+ 令_三 r22 22 4 =0:则-4: 32.16-12,则该三校 二 柱外接球表面积最小值为S=4nR②=4t·12=48t. 解法二: 2sin30=a, $-4rR?-(4a+h2)π =2^}+2a}+h})π>34a'h}π=3x 4x32}π=48$$ 当且仅当h=4.a三22时,等号成立,故外接球表面积最小值为48 故选:A 9.BC 【解析】对于A,设+2=x(-)+y(ā+2)=y+x+(2y-x). =! 即{x三2 ,解得: 2y-x-0 即ā+2=2(5-)+(+2),所以a+2,-,+2共面,A选项错误: =1 对于B,设+=x(+)+y(+ā)=y+x+(x+y),即{x=1 ,方程无解, x+y=0 所以ā+:万+:c+ā不共面,B选项正确; 高三数学第2页 =-2 对于C,设2=x+y-),即{x=0,方程无解,所以2ā,b.-不共面,C选项正确; -0 [r=1 对于D,设+=x(++)+y=x+x+(x+y),即{ r=1 {+y=o,所以{ y=-1' 所以+,++ 共面,D选项不正确:故选:BC n12- 10.ACD【解析】由图可得,A=2, 3124 x12 故A正确; 故B不正确; 再向有平移”得到函数y=2cos(2x-)的图象,故D正确:故选:ACD 6 11. ABC【解析】对于A,由S=3S +2n-2(n>2),得a.=2S .+2n-2,所以a.→2S (n>2). a>2S.(n>2),n=I时亦成立,故A正确; 对于B,将a.=2S ,+2n-2与a,=2S.+2n整体相减,得a,=3a.+2,所以a,+1=3(a+1),n→2 又n=1时,S=a+a=3a+2,即a=2,a+1=3(a.+1),所以a.+1=3*}.因此{a.+lj是等比数 列,故B正确; 对于C因为a.=3-1.a-a.=2-3-0,所以{a.是递增数列,故C正确; 1-3 不是等比数列. 所以{S.+n不是等比数列,故D不正确;故选:ABC _|1 sin +cos{θ 1+tan*θ1+(-3){ --.故答案为: 1a.+21.1 13. 【解析】由a= 1012 _ 高三数学第3页 。 1012 14. ①②④【解析】对于①,若点P为CC的中点,则=4+AD+44, 2 故①正确; 对于②,若点P在平面4.BD内,则A、B、D、P四点共面,则x+y+2=1 故②正确; B 对于③,点A在平面ABCD内的射影为点C,易得AC-2,A.C-2. 故当z=1时,点P到平面ABCD的距离为AC-② 2 故答案为:①②④ 解得a.=2,d-2.----- 故数列 .-项式为- --1- -----------------------------6分 (2)b= 16.【解析】(1)因为(b2+c2}-a})(ccosB+bcosC)=abc,由余弦定理可得2bccos A(ccosB+bcosC)=abe 故 2cos -A(ccosB+ bcose)- -.-.--...-...-.-.--..-- -.-......-....-2分 所以 2-co- - - ---s-+ - - ---)=- ---------------------------------4-分 即2cosAsinA-sinA,故cosA- 2 ..-...-.......-...... 又A为三角形内角,故A-π ...---.-------------------------------------------------------- 分. 3 sinC+3cosC # 所以csinB sinCsinB' =1- sinC sinC sinC tanC -.-.-9分 高三数学第4页 所以c<” 6 2 ) 17.【解析】(1)证明:取PA上靠近点P的三等分点F,连接EF,BF, 故四边形BCEF为平行四边形,故CE//BF, 又因为CE平面PAB,BFC平面PAB, 故CE//平面PAB. ..-..-..-..-..........-..-.. --...-.----.----.--..-..--..-..-......-..--..-.---6 分. (2)如图,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,AP所在直线为z轴建 立空间直角坐标系:则4(0.0.0).P(0.0.3).C(3.1.0).E(0.1.2) AP=(0.0.3)AC=(3.1,0),设平面PAC的法向量为n.=(x,y,2). [nAP=0 ,令x=1,可得法向量为=(1.-3.0). AC-0 3x.+y=0 AE=(0.1.2).AC=(3,1.0),设平面EAC的法向量为n=(x,y,2), nAE-0 1+22=0 ,即 3x+y=0 令x=2, .AC-0 可得法量为1-=..2-,-6.3)---1-1分. 20 20 l10x7 18.【解析】(1)数列a.的前n项和为s.- n(2+1+2n+t) 2 =n(7+1+) S= 2n(2+t+4n+) =n-4---2- -2-------------------------------------------------------- 分 2 设$.=kS.,4n+21+2=k(n+1+7). [4-k 所以{#一 K=4 4t+4-2t+2 高三数学第5页 (2)由(1)可知b=2:a.=(2n-1):2 T.=1x2+3x22+5x2+...+(2n-1)x2*③ $T.=1×2+3×2+5×2+.+(2-3)×2+( 2-1)×2*1④-------------------7分 ③-④可得 -T.=1x2+2x(2+2+...+2)-(2n-1)x2--------- 1-2 故7 =(2n-3)x-2-1-6---------- -----------------12分 (3)若不等式7.>In+1m-312*+6对任意的neN恒成立 --------.--14分 n1 令C= n+l n+1 n1 -..--.-..--..-.---......--..-.-.--.......--15分. 所以c.的最小值为c.三1,所以m<c=1 所以n的范围是n<1.----- --------------17分 19.【解析】(1)取DE的中点O,连接AO,C0. 因为是四边形ADCE边长为2的菱形,并且乙ADC=120*, 所以AADE,ADEC.均为等边三角形, ..--.------.----.-分. 故AO1DE,CO1DE,AOOCO=O. 所以DE1平面ACO,ACC平面ACO 所以DEIAC--- (2)因为平面C.DE1平面ABED,CO1DE,所以CO1平面ABED,以O为坐标原点,OD所在 直线为x轴,OA所在直线为y轴,OC所在直线为z轴,如下图建立空间直角坐标系, 设M(m,n.t),BM=aBC,eo.1] ##[”_#})#(_#)# )2 ##### 高三数学第6页 设平面ADC的法向量为i=(x,y,) 则AD=(1-3.),4C=(0-3.3),则 [AD=-=0 iAC--3+3=0' 令x=3,则y-1,=1,故i=(3,1,1). 中C4 3+1+1 15 (舍去),故点M为BC。上靠近点B的三等分点, BM1 (3) 用(2)可得z(0). 设直线EM与平面ADC所成角为9, #6#)()1.1) 10 ...---------.------..--.---116分 5 # 高三数学第7页2024一2025学年第一学期12月高三阶段测试卷 数学 考试说明：1.本试卷共150分。考试时问120分钟。 2.请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数之满足(x十1)i=3一2i(i为虚数单位)，则x十乏= A.4 B.-4 C.-6 D.6 2.已知一个圆台的上、下底面半径分别为3,6，它的母线长为5，则这个圆台的体积为 A.36π B.42π C.72π D.84π 3.已知向量=(m,2)与向量b=(1,一2)夹角为钝角，则实数m的取值范围是 A.m<4 B.m<4且m≠-1 C.m>-4 D.m>-4且m≠4 4.已知等差数列{a.)的前m项和为S,若a1>0,2<-1,则使S,<0的最小的 a10 n的值为 A.17 B.18 C.19 D.20 5.已知a,8e(0,受)，cos(a一D=是，tana·tang=5,则a十g A晋 B. C. D. 2π 3 6。若两个等差数列{a,b,}的前n项和分别为S,T,满足子=初干6(n N),则号 A &品 c D. 15 26 7.已知△ABC是锐角三角形，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC 的面积，4S=a2+-2,则号的取值范围为 A.(0,√2) c0, D.1) 8.在直三棱柱ABC-ABG中，底面△ABC满足AB=AC,∠BAC- 3π，若三棱 柱ABC一A1BC1的体积为8√3，则该三棱柱外接球表面积的最小值为 A.48π B.32π C.16x D.8π 高三数学第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若{à，，}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有 A.a+26,6-t,a+2t B.a+6,6+c,c+a C.2a,6,-a D.4+6,a+6+2, 10.已知函数f(x)=Acos(wx十p)(A>0,w>0,|p<)的部分图象如图所示， 则下列说法正确的是 A.f(z)=2cos(2-) B.函数f(x)在[-牙，]上的值域为[-1，V3] C.函数f(x一)是奇函数 D.函数f(x)的图象可由y=2cos(z+石)上所有点的横坐标变为原来的2倍， 再向右平移得到 11.已知数列{an}的前n项和为Sm,a1=0,且Sm=3Sm-1十2n一2(n≥2)，则下列 结论中正确的是 A.a+1>2S B.{am十1}是等比数列 C.{an}是递增数列 D.{S.十n}是等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若tan0=-3,则sin20= 。已知数列{a}中，a=2且a+1=。2n∈N),则a 14.在平行六面体ABCD-ABC1D1中，AB=AD=1,AA1=2,∠AAB= ∠A1AD=60°，∠DAB=90°，若AP=xAB+yAD+xAAi1,其中x,y,x∈ [0,1],给出下列四个结论： ①若点P为CC的中点，则|AP1=√5； ②若点P在平面A1BD内，则x+y十z=1; ③若&=1，则三棱维P-ABD的体积为得， ④若点P为A1C的中点，则异面直线AP与BD垂直， 所有正确结论的序号是 (把所有正确命题的序号都填在横线上). 高三数学第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 已知数列{an}为等差数列，且a2=4,S4=20. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)数列{6.}满足6，=(a,十D(a,-,求数列{6.}的前n项和T… 16.(本题满分15分) 记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (62+c2-a2)(ccosB+bcosC)=abc. (1)求角A的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，c=2,求△ABC面积的取值范围. 17.(本题满分15分) 已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,PA=AB =AD=3,BC=1,点E为PD上靠近P的三等分点. (1)求证：CE∥平面PAB; (2)求平面EAC与平面PAC所成角的余弦值. 高三数学第3页共4页 18.(本题满分17分) 设数列{an}的前n项和为S。,若对任意的n∈N“,都有S2m=Sn(兔为非零常 数)，则称数列{an}为“和等比数列”，其中是为和公比.若am=2n十t,且{an} 为“和等比数列” (1)求t的值，并求出{am}的和公比； (2)若bn=aw·2”,求数列{bn}的前n项和Tm; (3)在(2)的条件下，若不等式Tm>[(n十1)m-3]·2"+1+6对任意的 n∈N"恒成立，求m的取值范围. 19.(本题满分17分) 图1是直角梯形ABCD,AD∥BC,∠B=90°，四边形AECD是边长为2的菱 形，并且∠ADC=120°，以DE为折痕将△CDE折起，使点C到达点C1的位 置，如图2. 个 图1 图2 (1)求证：AC1⊥DE; (2)若平面CDE⊥平面ABED,在棱BC:上找一点M,使得点M到平面 ADC的距离为4西，并水8的值： (3)在(2)的前提下，求直线EM与平面ADC1所成角的正弦值. 高三数学第4页共4页