湖南省岳阳市平江县颐华学校2025届高三上学期数学12月联考考前自测卷

颐华学校2025届高三12月联考考前自测数学卷 姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、选择题（5×8=40分） 1．已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2．已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知和的夹角为，且，，则( ) A. B. C.3 D.9 4．已知，则( ) A. B. C. D. 5．已知等比数列为递增数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，，则( ) A. B. C. D. 6．已知体积为的球O与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为.则该正四棱锥体积值是( ) A. B. C. D. 7．若直线是函数的一条切线,则的最小值为( ) A.1 B.2 C. D. 8．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，（，），其通项公式为，设n是的正整数解，则n的最大值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 二、多项选择题（3×6=18分） 9．连续抛掷两次骰子,“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件,“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为B事件,“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件,“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D事件,则下列叙述中正确的是( ) A.C与D互斥 B. C.A与C相互独立 D.B与D不相互独立 10．已知函数的定义域为,,且当时,;当时,单调递增,则( ) A. B. C.是奇函数 D. 11．甲,乙,丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,记n次传球后球在甲手中的概率为,则( ) A. B.数列为等比数列 C. D.第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 三、填空题（3×5=15分） 12．若,则________. 13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则__________． 14．已知数列满足,若,则________. 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求A的大小： (2)设的面积为，点D在边上，且，求的最小值. 16．已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程在有解，求实数m的范围. 17．某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分，已知小明同学能答对10道题中的6道题. (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望； (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，闯关成功多少次的概率最大？ 18．如图，在三棱锥中，，，，. (1)求证：平面平面； (2)当时，求二面角的正弦值. 19．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐被数学家接受.形如的数称为复数的代数形式,而任何一个复数都可以表示成的形式,即其中r为复数z的模,叫做复数z的辐角,我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值,记作argz.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出,若,,则.其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果,就要把绕点按顺时针方向旋转角）,再把它的模变为原来的倍. 请根据所学知识,回答下列问题: （1）试将写成三角形式（辐角取主值）. （2）类比高中函数的定义,引人虚数单位,自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数,,. ①当时,解关于x的方程; ②当时,若存在实部不为0,且虚部大于0的复数和实数M,使得成立,复数x在复平面上对应的点为,点,以PA为边作等边,且Q在AP的上方,求线段OQ的最大值. 参考答案 1．答案：B 解析：集合. 而，故. 故选：B. 2．答案：A 解析：若，均为纯虚数，设，（且）， 则，所以“，均为纯虚数”是是实数的充分条件， 当，，， 所以“，均为纯虚数”是是实数的不必要条件， 综上所述：“，均为纯虚数”是是实数的充分不必要条件. 故选：A. 3．答案：C 解析： ， 故选：C. 4．答案：B 解析：由题干得 所以， 故选：B. 5．答案：C 解析：，， 则，. 由于为递增数列，则，， 所以的通项公式为， 所以， 故选：C. 6．答案：A 解析：设正四棱锥的内切球的半径为R，H为底面中心， 由体积为得， 连接，平面，球心O在上，， 取的中点F，连接，，设O点在侧面上的投影为Q点， 则Q点在上，且，， 球心到四棱锥顶点的距离为h， 所以，，解得， 所以. 故选：A. 7．答案：C 解析：设切点为,因为, 所以函数的切线方程为, 即,所以, 所以,（当且仅当时取等号）. 故选:C. 8．答案：A 解析：由题知n是的正整数解， 故， 取指数得， 同除得，， 故，即， 根据是递增数列可以得到也是递增数列， 于是原不等式转化为. 而，可以得到满足要求的n的最大值为5，故A正确. 故选：A. 9．答案：ABC 解析： 10．答案：ACD 解析：令,则,即,因为不为常函数,所以,选项A正确; 互换,则,所以,所以,选项B错误; 令,则,因为,所以, 令,则,所以, 所以是奇函数,故选项C正确; 令,则, 因为当时,单调递增,所以当时,, 又,所以当时,, 又当时,,所以,即, 所以,选项D正确; 故选:ACD. 11．答案：ABD 解析：由题意可知,要使得n次传球后球在甲手中,则第次球必定不在甲手中, 所以,,即, 因为,则,所以,, 则数列是以为首项,以为公比的等比数列,故B正确; 则,即,故C错误; 且,故A正确; 若第4次传球后球在甲手中,则第3次传球后球必不在甲手中, 设甲,乙,丙对应a,b,c, 则, , , , , , 所以一共有六种情况,故D正确; 故选:ABD 12．答案： 解析：由题意可得:. 故答案为:. 13．答案：63. 解析： ，， ， 按照以上规律，可得. 故答案为63. 14．答案： 解析：若,当时,, 当时,, 当时,, 所以, 故,, 所以,,…,, 所以,又因为,, 所以,. 15．答案：(1) (2) 解析：(1) 由正弦定理得， 即， ∴， ∵， ∴ (2)由， ∴，又， ∴ ∴ 当且仅当，即，时取等号， ∴ 16．答案：(1)答案见解析 (2) 解析：(1)∵， ∴， ∴时，； 时，； 故在，上单调递增，在上单调递减； (2)由(1)知，函数在区间，上单调递增， 在区间上单调递减， ∵，，，， ∴，， 故函数在区间上的最大值为4， 最小值为1， ∴， ∴ 17．答案：(1) (2) 解析：(1)由题知：X可取0，1，2，3， 则：， ， ， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则X的期望为： (2)参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为Y，则， 故，（，1，…，5） ∴假设当时，对应概率取值最大， 则 解得， 而 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大 18．答案：(1)证明见解析； (2) 解析：（1）在中，，，， 由余弦定理， 即，解得， 所以，即，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）因为平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角， 取的中点O，连接，因为，所以， 又，所以， 所以，所以二面角的正弦值为. 19．答案：（1） （2）3 解析：（1）由于,因此,所以, 所以,, 因为,所以,所以. （2）①由题意得,整理得,. ②设, 则 . 因为存在实数M,使得成立,所以为实数,所以, 因为,,所以, 当时,,符合题意,点A的轨迹为单位圆的一部分. 解法一:设,,所表示的复数为,所表示的复数为, 则,, 所以, 则 , 所以当时,即时,取得最大值3,故线段OQ的最大值为3. 解法二:连接OA,设,,,. 由,在中,可得, 在中,可得,于是, 在中,可得,于是, 在中,可得, 化简得,当且仅当时,等号成立. 故线段OQ的最大值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$