期末真题必刷填空小压轴40题（考题猜想，折叠、旋转、新定义、三角形多解4种热考题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

期末真题必刷填空小压轴40题 （考题猜想，折叠、旋转、新定义、三角形多解4种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．折叠问题（共15小题） 1．（2021秋•松江区期末）如图，长方形中，，，点在边上，将沿着翻折后，点落在线段上的点处，那么的长度是 　　． 2．（2023秋•松江区期末）如图，在中，，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 　 　． 3．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，，点在边上，联结，将沿着翻折，点的对应点为点，联结，如果，那么的长等于 　　 4 ．（2022秋•长宁区校级期末）如图，在中，，点在线段上，联结．将沿着翻折，点的对应点是点，如果平分，且，那么点到直线的距离是 　　 （结果用含的代数式表示） 5．如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 　 　． 6．（2021秋•静安区校级期末）如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 　 　． 7．（2021秋•金山区期末）如图，在中，，，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处．如果，那么线段的长为 　 　． 8．（2023秋•虹口区校级期末）已知中，，，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的长为 　 ． 9．（2022秋•杨浦区期末）动手操作：在矩形纸片中，，．如图所示，折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动．若限定点、分别在、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为　　． 10．（2022秋•宝山区期末）如图，将梯形（纸片）折叠，使点与边上的点重合，直线为折痕；点也与边上的点重合，直线为折痕．已知，，，则的面积是 　 　． 11．（2023秋•静安区校级期末）如图，中，，，，，点在边上，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点，如果，那么线段的长为 　 　． 12．（2021秋•徐汇区校级期末）已知中，，，，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的面积 　 ． 13．（2023秋•闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点，如果是直角三角形，那么的面积是 　 　． 14．（2022秋•宝山区校级期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点．如果是直角三角形，那么的面积是 　 ． 15．（2021秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴夹角为，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为　 　． 二．旋转问题（共12小题） 1．（2023秋•长宁区校级期末）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，一直直线，与之间的距离是4，“等高底”△ 的“等底” 在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将△绕点顺时针旋转得到三角形，点、的对应点分别是点、，那么的长为 　 ． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在中，，，，将绕着点旋转得到△，点与对应，点与对应，联结，则　 　． 3．（2023秋•闵行区校级期末）如图，中，已知，点在边上，，把绕着点顺时针旋转度后，如果点恰好落在初始中边所在直线上，那么　　 ． 4．（2021秋•浦东新区期末）如图，是正方形内的一点，将绕点顺时针方向旋转到与重合，若，则　 　． 5．（2021秋•普陀区期末）如图，△中，，将△绕着点顺时针旋转到△的位置，此时，点正好落在边上，那么　 　度． 6．（2023秋•普陀区期末）如图，在中，，，，点在边上，且，现将绕着点旋转得到△，点、、分别与点、、对应，连接，如果点在线段的延长线上，那么　 　． 7．（2022秋•徐汇区校级期末）在中，，，，如图所示．如果将绕着点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，联结，那么的长等于　 　． 8．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将、、的对应点记为、、，当时，点与点的距离为 　 　． 9．（2021秋•嘉定区期末）如图，在中，已知，，，点在边上，，线段绕点顺时针旋转度后，点旋转至点，如果点恰好落在的边上，那么的面积等于　 　． 10．（2023秋•杨浦区期末）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底” 的“等底” 在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到△，点、的对应点分别为点、，那么的长为 　 ． 11．（2023秋•虹口区校级期末）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点、、在同一直线上，，，，将绕点顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一条边与平行，那么此时的面积是 　 　． 12．（2021秋•崇明区校级期末）如图，在中，，，将绕顶点顺时针旋转，得到△，点、分别与点、对应，边分别交边、于点、，如果点是边的中点，那么　 　． 三．新定义问题（共9小题） 1．（2023秋•静安区校级期末）定义“独特数” ，对于任意一个三位数，其各个数位上的数字均不为零且互不相同，将其任意两位数字对调一共可以得到三个不同的三位数，这三个三位数的和与111的商即为的“独特数”，记为，比如627的独特数．已知，且为整数），若，则　 　． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）对于任意正数，，定义运算※如下：※计算※※的结果为 　　． 3．（2022秋•徐汇区校级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”． 例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． 已知点，，．若点，，的“最佳间距”是2，则的值为 　 　． 4．（2023秋•黄浦区期末）联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，在中，、分别是、的中点，即是的中位线，则，且，试用三角形中位线的性质解决下列问题：如图2，已知函数的图象经过的顶点和边上的中点，分别过、作轴，轴，垂足分别为、，可知是的中位线．如果点的横坐标为3，则点的坐标是 　 　． 5．（2023秋•虹口区校级期末）定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，若是特征三角形，是特征角，，则的面积等于 　 　． 6．（2023秋•长宁区校级期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 　　 （结果用含和的代数式表示）． 7．（2021秋•徐汇区期末）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在中，，，若是“好玩三角形”，则　 　． 8．（2022秋•长宁区校级期末）我们把不等边三角形一条边上的中线与这条边上的高的夹角叫做该三角形的“偏离角度”．已知直角三角形的“偏离角度”为，斜边长为4，那么它的面积等于 　 　． 四.三角形中多解问题（共4题） 1．（2023秋•黄浦区期末）已知等腰中，，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 　 　． 2．（2021秋•青浦区校级期末）在中，，，，以的边为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在的斜边上，那么这个等腰三角形的腰长为 　 　． 3．（2023秋•静安区校级期末）中，是锐角，与的平分线交于点，过作交的延长线于点．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 4．（2021秋•奉贤区校级期末）已知：如图在中，且，是边上一点，是边上一点，，若为等腰三角形，则的度数为　 　． $$期末真题必刷填空小压轴40题 （考题猜想，折叠、旋转、新定义、三角形多解4种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．折叠问题（共15小题） 1．（2021秋•松江区期末）如图，长方形中，，，点在边上，将沿着翻折后，点落在线段上的点处，那么的长度是 　　． 【分析】由翻折易得，则，，再由得，根据证出；则，，在中，由勾股定理可得，则． 【解答】解：由矩形，得，，，． 由沿线段翻折，点恰好落在线段上的点处，得， ，，， ，， ， 由得， ． ， 在中， 由勾股定理可得 ， 则， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查了三角形的全等和勾股定理的应用，一定要熟练掌握全等三角形的判定方法和勾股定理的内容． 2．（2023秋•松江区期末）如图，在中，，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 　 　． 【分析】过作于，过作，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，求得，得到，设，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过作于，过作， ， ，， ， ， ， 点是边中点， ， ， ， 设， 将沿某直线翻折使得点与点重合， 垂直平分， ， ， ， ， 解得， 的长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键． 3．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，，点在边上，联结，将沿着翻折，点的对应点为点，联结，如果，那么的长等于 　　 【分析】由，，，根据勾股定理求得，由翻折得，由，得，，可证明四边形是正方形，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：，，， ， 由翻折得， ， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、平行线的性质、正方形的判定与性质等知识，求得是解题的关键． 4 ．（2022秋•长宁区校级期末）如图，在中，，点在线段上，联结．将沿着翻折，点的对应点是点，如果平分，且，那么点到直线的距离是 　　 （结果用含的代数式表示） 【分析】由折叠的性质可得，，可求，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，过点作于， 将沿着翻折， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，点到直线的距离，掌握折叠的性质是解题的关键． 5．如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 　 　． 【分析】根据题意，作出图形，进而根据折叠的性质以及已知条件得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出． 【解答】解：如图， ， ， ， 沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处， ， ， 中，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，得出是解题的关键． 6．（2021秋•静安区校级期末）如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 　 　． 【分析】由勾股定理的逆定理可求，由折叠的性质可得，，可得是的中垂线，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，延长交于点， ，，， ， ， 点是的中点， ， 将沿翻折后， ，， 是的中垂线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，由勾股定理列出方程可求解． 7．（2021秋•金山区期末）如图，在中，，，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处．如果，那么线段的长为 　 　． 【分析】根据翻折变换的性质可得，，，连接，可得是等腰直角三角形，然后求出，从而得到，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再求出，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理列式求出，然后根据计算得到，即为的长． 【解答】解：连接，如图： 沿直线翻折后点落在点处， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，主要利用了翻折前后的图形能够完全重合，根据角的度数求出是等腰直角三角形是解题的关键． 8．（2023秋•虹口区校级期末）已知中，，，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的长为 　 ． 【分析】分两种情况：①将沿折叠，与的中点重合，②将沿折叠，与的中点重合，用勾股定理列方程，分别算出的长度，即可得到答案． 【解答】解：①将沿折叠，与的中点重合，如图： 设，则， 在中，， ， 解得， ， ； ②将沿折叠，与的中点重合，如图： 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理． 9．（2022秋•杨浦区期末）动手操作：在矩形纸片中，，．如图所示，折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动．若限定点、分别在、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为　　． 【分析】本题关键在于找到两个极端，即取最大或最小值时，点或的位置．经实验不难发现，分别求出点与重合时，取最大值3和当点与重合时，的最小值1．所以可求点在边上移动的最大距离为2． 【解答】解：当点与重合时，取最大值是3， 当点与重合时（如图），由勾股定理得，此时取最小值为1． 则点在边上移动的最大距离为． 故答案为：2 【点评】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误． 10．（2022秋•宝山区期末）如图，将梯形（纸片）折叠，使点与边上的点重合，直线为折痕；点也与边上的点重合，直线为折痕．已知，，，则的面积是 　 　． 【分析】根据折叠的性质得到，，，，过作于，解直角三角形得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：由折叠的性质得，，，， ，， 过作于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），解直角三角形，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 11．（2023秋•静安区校级期末）如图，中，，，，，点在边上，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点，如果，那么线段的长为 　 　． 【分析】设，则，依据折叠变换即可得到，进而得出，的长；再根据线段的和差关系进行计算，即可得到的长． 【解答】解：如图所示，设，则， 由折叠可得，， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，，， ，， 又， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 12．（2021秋•徐汇区校级期末）已知中，，，，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的面积 　 ． 【分析】分两种情况：①将沿折叠，与的中点重合，②将沿折叠，与的中点重合，用勾股定理列方程，分别算出的长度，即可得到答案． 【解答】解：①将沿折叠，与的中点重合，如图： 设，则， 在中，， ， 解得， ， 的面积是， ②将沿折叠，与的中点重合，如图： 设，则， 在中，， ， 解得， ， 的面积是， 综上所述，的面积是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理． 13．（2023秋•闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点，如果是直角三角形，那么的面积是 　 　． 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，即得的面积4；当时，过作于，设，则，可得，，又，即得，可解得，，即知，故的面积是． 【解答】解：当时，如图 ，，， ， 将折叠，使点与点重合， ， 的面积是； 当时，过作于，如图 ，，， ， 设，则， 将折叠，使点与点重合， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， 的面积是； 故答案为：4或． 【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及三角形面积、勾股定理，三角形相似判定与性质等知识，解题的关键是分类画出图形，求出边上的高． 14．（2022秋•宝山区校级期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点．如果是直角三角形，那么的面积是 　 ． 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，即得的面积1；当时，过作于，设，则，可得，，又，即得，可解得，，即知，故的面积是． 【解答】解：当时，如图： ，，， ， 将折叠，使点与点重合， ， 的面积是； 当时，过作于，如图： ，，， ， 设，则， 将折叠，使点与点重合， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， 的面积是； 故答案为：1或． 【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及三角形面积、勾股定理，三角形相似判定与性质等知识，解题的关键是分类画出图形，求出边上的高． 15．（2021秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴夹角为，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为　　． 【分析】先过点作轴于，作轴于，构造矩形，再根据折叠的性质求得，，根据直角三角形的性质以及勾股定理，求得与的长，得出点的坐标，最后计算反比例函数解析式即可． 【解答】解：过点作轴于，作轴于，则，， ， ， 由折叠得，，， 中，， ，， ，， 又点在第二象限， ， 点在双曲线上， ， 故答案为： 【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了直角三角形的性质，以及勾股定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形求出点的坐标． 二．旋转问题（共12小题） 1．（2023秋•长宁区校级期末）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，一直直线，与之间的距离是4，“等高底”△ 的“等底” 在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将△绕点顺时针旋转得到三角形，点、的对应点分别是点、，那么的长为 　 ． 【分析】先根据勾股定理求出，再根据旋转的性质求解． 【解答】解：当边上是高在形内时，如图： ，，， ， 当边上是高在形外时： ， 故答案为：或． 【点评】本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，在中，，，，将绕着点旋转得到△，点与对应，点与对应，联结，则　 　． 【分析】由勾股定理求出，分两种情况，由旋转的性质及直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：，，， ， ， ， ， 将绕着点逆时针旋转得到△，如图， ， ； 将绕着点顺时针旋转得到△，如图，过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ，， ， ， 综上所述，的长为1或． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 3．（2023秋•闵行区校级期末）如图，中，已知，点在边上，，把绕着点顺时针旋转度后，如果点恰好落在初始中边所在直线上，那么　　 ． 【分析】分两种情况，由旋转的性质及直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：当点落在线段上时，如图， 绕着点顺时针旋转度， ， ， ， ， ， ， ， 即； 当点落在线段的延长线上时，如图， 同理可得， ， 即． 故答案为：120或240． 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，分类讨论思想，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 4．（2021秋•浦东新区期末）如图，是正方形内的一点，将绕点顺时针方向旋转到与重合，若，则　 　． 【分析】依题意得，旋转中心为点，旋转角，对应点、到旋转中心的距离相等，即，可证为等腰直角三角形，由勾股定理求． 【解答】解：根据旋转的性质可知，，， 为等腰直角三角形， 由勾股定理，得． 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的两个性质：①旋转角相等，②对应点到旋转中心的距离相等．解题时要注意是按顺时针旋转． 5．（2021秋•普陀区期末）如图，△中，，将△绕着点顺时针旋转到△的位置，此时，点正好落在边上，那么　 　度． 【分析】先根据旋转的性质得出△△，则，，再由等边对等角得出，然后根据平角的定义即可求得的度数． 【解答】解：将△绕着点顺时针旋转到△的位置， △△， ，， ， ． 故答案为：80． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平角的定义，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前、后的图形全等． 6．（2023秋•普陀区期末）如图，在中，，，，点在边上，且，现将绕着点旋转得到△，点、、分别与点、、对应，连接，如果点在线段的延长线上，那么　 　． 【分析】由勾股定理可求，，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，，，， ， ， ， ， 将绕着点旋转得到△， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 7．（2022秋•徐汇区校级期末）在中，，，，如图所示．如果将绕着点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，联结，那么的长等于　 　． 【分析】过点作，交的延长线于，由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于， 将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 8．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知中，，，，以边的中点为旋转中心按顺时针方向旋转，将、、的对应点记为、、，当时，点与点的距离为 　 　． 【分析】由勾股定理可得，由旋转可知，，，分点在右侧和左侧两种情况，可知，根据三角形中位线逆定理可知为△的中位线，求出，，的长度即可求得点与点的距离． 【解答】解：，，， 如图，当点在右侧时，连接， 由旋转可知，，， 为的中点， ，为△的中位线， ，， ， 则：； 如图，当点在左侧时，连接， 同理可得：，，， 则：； 综上，点与点的距离为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理及三角形的中位线相关知识，能够推导出为△的中位线是解决问题的关键． 9．（2021秋•嘉定区期末）如图，在中，已知，，，点在边上，，线段绕点顺时针旋转度后，点旋转至点，如果点恰好落在的边上，那么的面积等于　 　． 【分析】根据勾股定理可求，的长，即可求，，分点落在上，或上两种情况讨论，根据勾股定理和等边三角形的性质以及三角形面积公式可求的面积． 【解答】解：，， ， 在中，， ， ， ， 点在边上，， ，， 如图，当点在上时，过点作于点， 旋转 ，且， 是等边三角形 ，且，， ， ， 如图，当点在上时， 旋转 在中，， ， 综上所述：的面积为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 10．（2023秋•杨浦区期末）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底” 的“等底” 在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到△，点、的对应点分别为点、，那么的长为 　 ． 【分析】先根据勾股定理求出，再根据旋转的性质求解． 【解答】解：当边上是高在形内时，如图： ，，， ， 当边上是高在形外时： ， 故答案为：或． 【点评】本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 11．（2023秋•虹口区校级期末）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点、、在同一直线上，，，，将绕点顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一条边与平行，那么此时的面积是 　 　． 【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当时，如图2，当时，利用含30度角的直角三角形即可解决问题． 【解答】解：如图1，当时，过点作延长线于点， 根据题意可知：，， ， ， ， ， ， ， 的面积； 如图2，当时，过点作延长线于点， ， ， ， ， 的面积． 综上所述：的面积是或3． 故答案为：或3． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题． 12．（2021秋•崇明区校级期末）如图，在中，，，将绕顶点顺时针旋转，得到△，点、分别与点、对应，边分别交边、于点、，如果点是边的中点，那么　 　． 【分析】过点作于点，设，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，的长，根据旋转的性质得到，，，根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而得到△是等边三角形，，得到，根据三角形的外角的性质得到，根据等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理计算出的长，进而得到的长，计算比值即可． 【解答】解：如图，过点作于点， 设， 在中，， ， ， 将绕顶点顺时针旋转，得到△， ，，， 在△中，点是边的中点， ， △是等边三角形，， ， ， ， ， 是等腰三角形，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形斜边中线定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 三．新定义问题（共9小题） 1．（2023秋•静安区校级期末）定义“独特数” ，对于任意一个三位数，其各个数位上的数字均不为零且互不相同，将其任意两位数字对调一共可以得到三个不同的三位数，这三个三位数的和与111的商即为的“独特数”，记为，比如627的独特数．已知，且为整数），若，则　 　． 【分析】根据定义，用含的代数式表示，再解一元二次方程即可． 【解答】解：， ， ， 解得或（舍去）； ； 故答案为：835． 【点评】解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）对于任意正数，，定义运算※如下：※计算※※的结果为 　　． 【分析】根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ※※ ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义新运算是解题的关键． 3．（2022秋•徐汇区校级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”． 例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． 已知点，，．若点，，的“最佳间距”是2，则的值为 　 　． 【分析】（1）分别求出，，的长度，比较得出最小值即可； （2）“最佳间距”为或的长度，比较与的长度即可求出点，，的“最佳间距”的最大值． 【解答】解：点，，． 是直角三角形，， 点，，的“最佳间距”是2， 或 故答案为：2或． 【点评】本题考查了一次函数背景下的新定义题目，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键． 4．（2023秋•黄浦区期末）联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，在中，、分别是、的中点，即是的中位线，则，且，试用三角形中位线的性质解决下列问题：如图2，已知函数的图象经过的顶点和边上的中点，分别过、作轴，轴，垂足分别为、，可知是的中位线．如果点的横坐标为3，则点的坐标是 　 　． 【分析】根据中位线的性质可得点的纵坐标，代入解析式求得横坐标即可． 【解答】解：点在反比例函数的图象上，点的横坐标为3， ， ， ， 是的中位线， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握中位线性质是解答本题的关键． 5．（2023秋•虹口区校级期末）定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，若是特征三角形，是特征角，，则的面积等于 　 　． 【分析】分或，分别画图，根据“特征三角形”的定义即可解决问题． 【解答】解：如图，若， 是特征三角形，是特征角， ， ， ； 如图，若， 是特征三角形，是特征角， ，， ， 由勾股定理得：， 即， （负值舍去）， ， 故答案为：9或． 【点评】本题是新定义题，主要考查了学生的阅读理解能力，以及三角形内角和定理，勾股定理，特殊角三角形的计算等知识，运用分类思想是解题的关键． 6．（2023秋•长宁区校级期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 　　 （结果用含和的代数式表示）． 【分析】如图：，过作于，过作交延长线于，延长到使，由三角形面积公式得到，因此，而，即可证明，得到，推出，即可证明，得到，的面积，由等腰三角形的性质得到，，因此，于是的面积，即可求出，得到． 【解答】解：如图：， 过作于，过作交延长线于，延长到使， 的面积，的面积， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，的面积， ， ，， ， ， 的面积， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，关键是证明，，是直角三角形． 7．（2021秋•徐汇区期末）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在中，，，若是“好玩三角形”，则　 　． 【分析】分两种情形：分别是上的中线，上的中线，分别画出图形，利用勾股定理解决问题即可． 【解答】解：如图，当上的中线时， ， ，， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，； 当上的中线时，设，则， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 在中，由勾股定理得，； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故不符合题意， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了勾股定理，同时渗透了分类讨论的数学思想，运用勾股定理列方程是解题的关键． 8．（2022秋•长宁区校级期末）我们把不等边三角形一条边上的中线与这条边上的高的夹角叫做该三角形的“偏离角度”．已知直角三角形的“偏离角度”为，斜边长为4，那么它的面积等于 　 　． 【分析】如图所示，为斜边的高，为斜边的中线，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，， 又，，则，所以，则． 【解答】解：如图所示，为斜边的高，为斜边的中线， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，， 又，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 四.三角形中多解问题（共4题） 1．（2023秋•黄浦区期末）已知等腰中，，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 　 　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：如图1，是等腰三角形， ，， 垂直且平分， ， ， ， ． 如图2，同理可得， 如图3，同理可得， 综上所述或或， 故答案为：或或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 2．（2021秋•青浦区校级期末）在中，，，，以的边为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在的斜边上，那么这个等腰三角形的腰长为 　 　． 【分析】分两种情形：为等腰三角形的腰或底边分别求解即可． 【解答】解：如图， 在中，，，， ， 当时，作于， ，， ， 等腰三角形的腰长为2， 当时，等腰三角形的腰长为4， 故答案为：2.5或4． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 3．（2023秋•静安区校级期末）中，是锐角，与的平分线交于点，过作交的延长线于点．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 【分析】根据题意，画出和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系．设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出的值，的值即为的度数． 【解答】解：如图1所示，当时： 设，则． 和分别平分和， ，， ①当时： ， ； ②当时： ，， ， ， ． 如图2所示，当时： 设，则． 和分别平分和， ，． ①当时： ，， ， ， ； ②当时： ，， ， ， （不符合题意，舍去）． 综上，或， 故答案为：或． 【点评】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键． 4．（2021秋•奉贤区校级期末）已知：如图在中，且，是边上一点，是边上一点，，若为等腰三角形，则的度数为　 　． 【分析】分两种情形：或分别求解即可解决问题． 【解答】解：当时，，， ， ， ， ， ， ，， ， 当时，， ， ， ， ，， ， 故答案为或． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． $$