期末真题必刷常考解答题提升60题（考题猜想，20种热考题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

期末真题必刷常考解答题提升60题（考题猜想，20种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．二次根式的混合运算（共4题） 1．（2023秋•黄浦区期末）计算： 2．（2023秋•长宁区校级期末）计算：． 3．（2023秋•松江区期末）计算：． 4．（2023秋•闵行区期末）计算：． 二．解一元二次方程（共3题） 5．（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：． 6．（2023秋•长宁区校级期末） （1）解方程：； （2）解方程：． 7．（2023秋•长宁区校级期末）解方程：． 三．根的判别式（共2题） 8．（2023秋•浦东新区期末）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为9，求的值及这个方程的根． 9．（2023秋•静安区校级期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 四．根与系数的关系（共2题） 10．（2023秋•浦东新区校级期末）已知关于的方程． （1）此方程有一个根为0时，求的值和此方程的另一个根； （2）此方程有实数根时，求的取值范围． 11．（2023秋•虹口区校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）如果是该方程的一个根，求另一个根； （2）如果方程有两个实数根，求的取值范围． 五．一元二次方程的应用（共5 题） 12．（2023秋•松江区期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 13．（2023秋•闵行区期末）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？ 14．（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 15．（2023秋•长宁区校级期末）为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的吨”，则超过的用水量为 　 吨，超过部分应交水费 　　元（用含的式子表示）． （2）如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨 交费总数（元 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该吨是多少？ 16．（2023秋•浦东新区校级期末）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，计划2020年底，全省基站数量将达到6万座，到2022年底，全省基站数量将达到17.34万座．按照计划，求2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率． 六．函数图象（共6题） 17．（2023秋•长宁区校级期末）小明和爷爷元旦登山，小明走较陡峭的山路，爷爷走较平缓的步道，相约在山顶会合．已知步道的路程比山路多700米，小明比爷爷晚出发半个小时，小明的平均速度为每分钟50米．图中的折线反映了爷爷行走的路程（米与时间（分钟）之间的函数关系． （1）爷爷行走的总路程是　 　米，他在途中休息了　　分钟，爷爷休息后行走的速度是每分钟　　米； （2）当时，与的函数关系式是　　； （3）两人谁先到达终点？这时另一个人离山顶还有多少米？ 18．（2023秋•松江区期末）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程与时间的函数关系如图所示．请根据图象完成下列问题： （1）兔子在比赛中睡觉的时间为 　　分钟； （2）已知兔子在段和段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时 　　分钟； （3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 19．（2023秋•浦东新区校级期末）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图所示是反映所挖河渠长度（米与挖掘时间（时之间关系的部分图象．请解答下列问题： （1）乙队开挖到30米时，用了 　　小时；开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 　　米； （2）请你写出： ①甲队在的时段内，与之间的函数关系式 　　； ②乙队在的时段内，与之间的函数关系式 　　； （3）开挖6小时后，甲、乙两个工程队的挖掘效率不变，如果两段河渠长度都为80米时，请计算说明甲比乙早几小时完工？ 20．（2023秋•黄浦区期末）据医学研究，使用某种抗生素治疗心肌炎，人体内每毫升血液中的含药量不少于4微克时，治疗有效．如果一患者按规定剂量服用这种抗生素，服用后每毫升血液中的含药量（微克）与服用后的时间（小时）之间的函数关系如图所示： （1）如果上午8时服用该药物，到 　　时该药物的浓度达到最大值 　　微克毫升； （2）根据图象求出从服用药物起到药物浓度最高时与之间的函数解析式及定义域是 　　； （3）如果上午8时服用该药物，从 　　时该药物开始有效，有效时间一共是 　　小时． 21．（2023秋•杨浦区期末）某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示． （1）哪位选手先到终点？　　（填“甲”或“乙” ； （2）甲选手跑到8千米时，用了 　　小时．起跑 　　小时后，甲乙两人相遇； （3）乙选手在的时段内，与之间的函数关系式是 　　； （4）甲选手经过1.5小时后，距离起点有 　　千米． 22．（2023秋•嘉定区期末）某县在实施“村村通”工程中，决定在、两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从、两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度（米与修筑时间（天之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）写出乙工程队修道路的长度与修筑时间之间的函数关系式：　 　； （2）甲工程队前4天平均每天修路　 　米，后12天平均每天修路　 　米； （3）该公路的总长度为　 　米． 七．待定系数法求反比例函数解析式（共3题） 23．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求关于的函数表达式． 24．（2023秋•浦东新区期末）已知：，并且与成正比例，与成反比例．当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 25．（2023秋•崇明区期末）如图，已知正比例函数图象经过点和点． （1）求正比例函数的解析式及的值； （2）过点作轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点（点在点下方），若的面积为10．求反比例函数的解析式． 八．反比例函数与正比例函数的交点问题（共3题） 26．（2023秋•浦东新区校级期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直线上有一点，使得，直接写出点的坐标． 27．（2023秋•黄浦区期末）已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点和点． （1）求正比例函数的解析式； （2）求、两点之间的距离； （3）若点在轴上，且，则点的坐标为 　 　．（直接写出答案） 28．（2023秋•嘉定区期末）如图，点是一个反比例函数与正比例函数的图象的交点，垂直于轴，垂足的坐标为． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）如果点在这个反比例函数的图象上，且的面积为6，求点的坐标． 九．反比例函数的应用（共2题） 29．（2023秋•静安区校级期末）某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚载培．某一天恒温系统从开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度随时间（时变化的函数图象如图，其中段和段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． （1）分别求出段和段所对应的与的函数关系式； （2）若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 30．（2023秋•虹口区校级期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，关于的函数关系式为 　 　，自变量的取值范围为 　　 ；药物燃烧后，关于的函数关系式为 　　 ． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 十．反比例函数综合题（共8 题） 31．（2023秋•闵行区期末）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．已知，直线与轴的夹角为． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 32．（2023秋•长宁区校级期末）已知在直角坐标平面内，函数的图象经过点，点关于轴的对称点在直线上． （1）求的值： （2）点在射线上，点是坐标平面内一点，轴．如果是等腰直角三角形，，求点的坐标． 33．（2023秋•长宁区校级期末）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标是4．双曲线上有一动点，．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）联结、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 34．（2023秋•虹口区校级期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点，过点作轴，垂足为点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于它到点的距离？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 35．（2023秋•松江区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数图象都经过点． （1）求的值； （2）点是轴上一点，且． ①求的长； ②如果点在直线上，当的面积为时，求点的坐标． 36．（2023秋•杨浦区期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是． （1）求反比例函数解析式； （2）在轴的正半轴上存在一点，使得是等腰三角形，请求出点的坐标． 37．（2023秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在轴上，且，反比例函数图象上有一点，且，求点坐标． 38．（2023秋•金山区期末）如图，直线的图象与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点． （1）求和的值； （2）联结，直接写出点的坐标，并求出的面积； （3）如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 十一．全等三角形的判定与性质（共8题） 39．（2023秋•闵行区期末）如图，在△中，点、在边上，，，垂足为，，垂足为，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，并延长交于点，求证：过点、的直线垂直平分线段． 40．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，点在边上，点在的延长线上，，，交延长线于点，． （1）求证：； （2）求证：． 41．（2023秋•虹口区校级期末）已知：如图，在中，，，高与高相交于点，为的中点． 求证：（1）； （2）． 42．（2023秋•松江区期末）已知：如图，点在上，，，垂直平分线段． （1）求证：； （2）联结、，求证：是等腰直角三角形． 43．（2023秋•杨浦区期末）如图，点、、、在同一直线上，，垂足为，，垂足为，、相交于点，且，．求证：． 44．（2023秋•浦东新区期末）如图，在中，，，为中点，，且与的平分线交于点，联结． （1）求证：； （2）记与的交点为，求证：． 45．（2023秋•静安区校级期末）如图，已知，，垂足分别为点，，且，交于点．求证：平分． 46．（2023秋•嘉定区期末）已知，如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： （1）； （2）． 十二．线段垂直平分线的性质（共1题） 47．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，，平分，是的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 十三．等腰三角形的性质（共1题） 48．（2023秋•黄浦区期末）如图，已知在中，，，，是的中点． 求证：． 十四．等边三角形的判定与性质（共1题） 49．（2023秋•虹口区校级期末）已知：如图，，是上一点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．求证：． 十五．含30度角的直角三角形（共1题） 50．（2023秋•闵行区期末）如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点，取线段的中点，联结．求证：．（说明：此题的证明过程需要批注理由） 十六．直角三角形斜边上的中线（共1题） 51．（2023秋•静安区校级期末）如图，在和中，，联结与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 十七．勾股定理（共2题） 52．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在四边形中，，，． （1）求证： （2）如果平分，且，求的面积． 53．（2023秋•长宁区校级期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 十八．勾股定理的逆定理（共3题） 54．（2023秋•闵行区期末）如图， 已知在中，于点，，，， （1） 求的长 ． （2） 求证：是直角三角形 ． 55．（2023秋•松江区期末）已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得，联结，当时，求的度数． 56．（2023秋•黄浦区期末）如图，是的中线，于点，是的中线，且，，． （1）求证：； （2）求的长． 十九．勾股定理的应用（共1题） 57．（2023秋•杨浦区期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）． 二十．作图题（共3题） 58．（2023秋•黄浦区期末）如图，已知在中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．（请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点 （1）若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时　 　； （2）若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时　　． 59．（2023秋•杨浦区期末）如图，在中，，． （1）在边上求作一点，使得；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 60．（2023秋•静安区校级期末）如图，已知线段，点在平面直角坐标系内． （1）用直尺和圆规在第一象限内作出点，使点到两坐标轴的距离相等，且与点的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，点的坐标为，求过点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． $$期末真题必刷常考解答题提升60题（考题猜想，20种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．二次根式的混合运算（共4题） 1．（2023秋•黄浦区期末）计算： 【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，再分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 2．（2023秋•长宁区校级期末）计算：． 【分析】根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算乘法和分母有理化，再进行加减运算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及性质是解题的关键． 3．（2023秋•松江区期末）计算：． 【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 4．（2023秋•闵行区期末）计算：． 【分析】先根据完全平方公式、零指数幂的意义计算，再分母有理化，然后化简二次根式后合并即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键． 二．解一元二次方程（共3题） 5．（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：． 【分析】先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程． 【解答】解：把方程的常数项移到等号的右边，得 ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 配方得， 开方得， 解得． 【点评】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6．（2023秋•长宁区校级期末） （1）解方程：； （2）解方程：． 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）； ， ， ， 或， ，； （2）， 整理得， △， ， ，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是关键． 7．（2023秋•长宁区校级期末）解方程：． 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：， ， ， 或， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 三．根的判别式（共2题） 8．（2023秋•浦东新区期末）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为9，求的值及这个方程的根． 【分析】根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：△， ， 该方程为：， 或 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 9．（2023秋•静安区校级期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得且△， 解得且． 故的取值范围为且． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 四．根与系数的关系（共2题） 10．（2023秋•浦东新区校级期末）已知关于的方程． （1）此方程有一个根为0时，求的值和此方程的另一个根； （2）此方程有实数根时，求的取值范围． 【分析】（1）将代入原方程，解之即可求出值． （2）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出△，解之即可得出的取值范围． 【解答】解：（1）将代入原方程得， ， 方程为， ， 解得，， 另一个根为； （2）关于的方程有实数根， △， 解得：． 故的取值范围是． 【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）将代入原方程求出值；（2）根据方程有实数根，找出△． 11．（2023秋•虹口区校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）如果是该方程的一个根，求另一个根； （2）如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【分析】（1）把代入方程求出即可； （2）根据△，构建不等式解决问题． 【解答】解：（1）是该方程的一个根， ， ， 方程为， ， 或， ，， 另一个根是3； （2）由题意， ， ， ， 且． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 五．一元二次方程的应用（共5 题） 12．（2023秋•松江区期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【分析】设跳绳场地的宽为米，则跳绳场地的长为米，比赛区域的长为米，宽为米，根据比赛区域的总面积为144平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值分别代入及中，即可求出结论． 【解答】解：设跳绳场地的宽为米，则跳绳场地的长为米，比赛区域的长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， （米， （米． 答：比赛区域的长是16米，宽是9米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（2023秋•闵行区期末）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？ 【分析】设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，根据面积为90平方米列出方程求解即可． 【解答】解：设垂直于墙的一边为米， 根据题意得：， 整理得：，即， 分解因式得：， 解得：，， 当时，平行于墙的一边为米米， 故米不符合题意，舍去； 当时，平行于墙的一边为米米， 答：仓库的长是15米，宽是6米． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 14．（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【分析】设每件商品应降价元，则每件商品的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据每天的销售利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件商品盈利不少于25元，即可确定的值． 【解答】解：设每件商品应降价元，则每件商品的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 要求每件盈利不少于25元， 应舍去， 故为所求． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（2023秋•长宁区校级期末）为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的吨”，则超过的用水量为 　　吨，超过部分应交水费 　　元（用含的式子表示）． （2）如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨 交费总数（元 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该吨是多少？ 【分析】（1）超过的用水量为吨，所以，超过部分应交水费元． （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况可以列出方程：． 【解答】解：（1）依题意得：超过的用水量为吨， 超过部分应交水费元． 故答案为：；； （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况可以列出方程： ， 解得，，， ， ． 答：该吨是60吨． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 16．（2023秋•浦东新区校级期末）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，计划2020年底，全省基站数量将达到6万座，到2022年底，全省基站数量将达到17.34万座．按照计划，求2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率． 【分析】设2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率为，根据2020年及2022年底全省基站的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：2020年底到2022年底，全省基站数量的年平均增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 六．函数图象（共6题） 17．（2023秋•长宁区校级期末）小明和爷爷元旦登山，小明走较陡峭的山路，爷爷走较平缓的步道，相约在山顶会合．已知步道的路程比山路多700米，小明比爷爷晚出发半个小时，小明的平均速度为每分钟50米．图中的折线反映了爷爷行走的路程（米与时间（分钟）之间的函数关系． （1）爷爷行走的总路程是　 　米，他在途中休息了　　分钟，爷爷休息后行走的速度是每分钟　　米； （2）当时，与的函数关系式是　　； （3）两人谁先到达终点？这时另一个人离山顶还有多少米？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到爷爷行走的总路程、他在途中休息的时间和爷爷休息后行走的速度； （2）根据函数图象中的数据，可以得到当时，与的函数关系式； （3）根据题意，可以计算出小明到达终点用的时间，然后再加30与55比较大小，即可解答本题， 【解答】解：（1）由图象可得， 爷爷行走的总路程是1700米，他在途中休息了（分钟），爷爷休息后行走的速度是每分钟（米， 故答案为：1700，10，35； （2）当时，设与的函数关系式是， ， 解得，， 即当时，与的函数关系式是， 故答案为：； （3）（分钟）， ， 小明先到达终点，这是爷爷离终点的距离是（米， 答：小明先到达终点，这时爷爷离开山顶还有175米． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18．（2023秋•松江区期末）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程与时间的函数关系如图所示．请根据图象完成下列问题： （1）兔子在比赛中睡觉的时间为 　6　分钟； （2）已知兔子在段和段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时 　　分钟； （3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 【分析】（1）计算点和的横坐标之差即可； （2）利用速度，求出段的速度，再利用时间，求出段所用的时间，进而求出完成比赛一共用的时间； （3）根据题意，求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【解答】解：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为， 故答案为：6． （2）兔子的速度为，段用时为， 兔子完成比赛共用时， 故答案为：11． （3）由题意可知，乌龟完成比赛用时， 点的坐标为． 当时，设乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式为，将坐标代入， 得，解得， 乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是本题的关键． 19．（2023秋•浦东新区校级期末）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图所示是反映所挖河渠长度（米与挖掘时间（时之间关系的部分图象．请解答下列问题： （1）乙队开挖到30米时，用了 　2　小时；开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 　　米； （2）请你写出： ①甲队在的时段内，与之间的函数关系式 　　； ②乙队在的时段内，与之间的函数关系式 　　； （3）开挖6小时后，甲、乙两个工程队的挖掘效率不变，如果两段河渠长度都为80米时，请计算说明甲比乙早几小时完工？ 【分析】（1）通过观察图象作答即可； （2）①②利用待定系数法求解即可； （3）利用待定系数法求出乙队在的时段内，与之间的函数关系式；当时，分别令两队的函数值为80，解方程求出对应的值并求其差值即可． 【解答】解：（1）根据图象可知，乙队开挖到30米时，用了2小时； 开挖6小时时，甲队挖了60米，乙队挖了50米， （米， 开挖6小时时，甲队比乙队多挖了10米， 故答案为：2，10． （2）①设为常数，且． 将，代入， 得，解得， 甲队在的时段内，与之间的函数关系式为， 故答案为：． ②设为常数，且． 将，代入， 得，解得， 乙队在的时段内，与之间的函数关系式为． （3），解得， 当河渠长度为80米时，甲需要8小时可以完工． 设乙队在的时段内，与之间的函数关系式为、为常数，且． 将，和，代入， 得，解得， 乙队在的时段内，与之间的函数关系式为． ，解得， 当河渠长度为80米时，乙需要12小时可以完工． （小时）， 如果两段河渠长度都为80米时，甲比乙早4小时完工． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式是解题的关键． 20．（2023秋•黄浦区期末）据医学研究，使用某种抗生素治疗心肌炎，人体内每毫升血液中的含药量不少于4微克时，治疗有效．如果一患者按规定剂量服用这种抗生素，服用后每毫升血液中的含药量（微克）与服用后的时间（小时）之间的函数关系如图所示： （1）如果上午8时服用该药物，到 　12　时该药物的浓度达到最大值 　　微克毫升； （2）根据图象求出从服用药物起到药物浓度最高时与之间的函数解析式及定义域是 　　； （3）如果上午8时服用该药物，从 　　时该药物开始有效，有效时间一共是 　　小时． 【分析】（1）根据图象，服用药物4小时后到达浓度最大，解答即可； （2）根据图象，当时，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可得解； （3）先根据函数解析式求出时的的值，再由图象可知服药7小时后有效时间结束求解即可． 【解答】解：（1）由图可知，服药4小时后药物浓度达到最大值8， 上午8时服用该药物，时， 所以，到12时该药物的浓度达到最大值8微克毫升； （2）由图象可设函数解析式为， 当时，，将，代入函数解析式，得，， 解得，， 所以，函数解析式为； 故答案为：； （3）当时，， 解得， ， 从上午10时该药物开始有效， 又由图可知，服药7小时后药物有效时间结束， ， 所以，有效时间一共是5小时． 故答案为：（1）12，8；（2）；（3）10，5． 【点评】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，准确获取信息是解题的关键． 21．（2023秋•杨浦区期末）某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示． （1）哪位选手先到终点？　乙　（填“甲”或“乙” ； （2）甲选手跑到8千米时，用了 　　小时．起跑 　　小时后，甲乙两人相遇； （3）乙选手在的时段内，与之间的函数关系式是 　　； （4）甲选手经过1.5小时后，距离起点有 　　千米． 【分析】（1）观察图象直接可得答案； （2）观察图象直接可得答案； （3）求出乙的速度，即可得到与之间的函数关系式； （4）由图象知：时，甲用0.5小时跑了2千米，即可得到答案． 【解答】解：（1）由图可知，乙选手先到终点， 故答案为：乙； （2）由图可知，甲选手跑到8千米时，用了0.5小时，起跑1小时后，甲乙两人相遇， 故答案为：0.5，1； （2）由图可得，乙选手的速度为（千米小时）， 与之间的函数关系式是； 故答案为：； （3）由图可知，甲0.5小时距离起点8千米，1小时距离起点10千米， 时，甲用0.5小时跑了（千米）， 时，甲距离起点（千米）， 故答案为：12． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． 22．（2023秋•嘉定区期末）某县在实施“村村通”工程中，决定在、两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从、两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度（米与修筑时间（天之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）写出乙工程队修道路的长度与修筑时间之间的函数关系式：　　； （2）甲工程队前4天平均每天修路　 　米，后12天平均每天修路　 　米； （3）该公路的总长度为　 　米． 【分析】（1）设出正比例函数解析式，把代入可得所求函数解析式； （2）让前4天修路的总路程除以4即可得到甲工程队前4天平均每天修路米数，求得甲在第4天到第16天的函数解析式，进而求得后12天修路的总路程，除以12即为后12天平均修路的米数； （3）让甲修路的总路程乙修路的总路程即为公路的总长度． 【解答】解：（1）设， 经过， ， 解得， ， 故答案为；（2分） （2）甲工程队前4天平均每天修路米数为； 当时，， 设当时，甲工程队的函数解析式为， ， 解得， ， 当时，， 后12天平均每天修路米数为． 故答案为90；50（4分） （3）公路的总长度为米，故答案为1800．（2分） 【点评】考查一次函数的应用；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解析式是解决本题的突破点． 七．待定系数法求反比例函数解析式（共3题） 23．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求关于的函数表达式． 【分析】首先根据题意，分别表示出应表示出与，与的函数关系式，再进一步表示出与的函数关系式，然后根据已知条件，得到方程组，即可求解． 【解答】解：与成正比例，与成反比例， ，． ， ， 当时，；当时，， ，， 解得，． ． 【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数和正比例函数的解析式的方法，解决本题的关键是得到与的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的． 24．（2023秋•浦东新区期末）已知：，并且与成正比例，与成反比例．当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【分析】（1）首先设，，再根据可得，然后把时，；当时，代入可得关于、的方程组，解出、的值，可得函数解析式； （2）把代入函数解析式可得答案． 【解答】解：（1）与成正比例，与成反比例， 设，， ， ， 当时，；当时，． ， 解得：， 关于的函数解析式为 （2）当时，原式． 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握正比例函数和反比例函数解析式的形式． 25．（2023秋•崇明区期末）如图，已知正比例函数图象经过点和点． （1）求正比例函数的解析式及的值； （2）过点作轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点（点在点下方），若的面积为10．求反比例函数的解析式． 【分析】（1）设正比例函数的解析式为，代入的坐标根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式，把代入即可求得的值； （2）由三角形面积求得的长，从而求得点的坐标，进一步利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式． 【解答】解：（1）设正比例函数的解析式为， 正比例函数图象经过点， ， ， 正比例函数的解析式为； 把代入解析式得，， ； （2）过点作轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点（点在点下方），的面积为10， 点的横坐标为4， ，即， 解得， 点的纵坐标为， ， 设反比例函数的解析式为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，反比例函数的解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键． 八．反比例函数与正比例函数的交点问题（共3题） 26．（2023秋•浦东新区校级期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直线上有一点，使得，直接写出点的坐标． 【分析】（1）先依据题意，把点代入求出，再把点的坐标代入求出即可； （2）依据题意，连接、，分别过，作于，作于，先求出点的坐标，再结合，可得，进而可以计算得解； （3）依据题意，点可能在的上方或下方两种情形，进而分析计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，直线经过点， ． ． ． 反比例函数的图象经过点， ． ． 反比例函数解析式为． （2）如图，连接、，分别过，作于，作于． 在反比例函数上， ． ． ， ． ． （3）由题意，作图如下． ①在上方．作于． ， ． ． ． ，， ． ． ，． ． ②当在下方时，作． ， ． ． ，， ． ． ，． ． 综上，或． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 27．（2023秋•黄浦区期末）已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点和点． （1）求正比例函数的解析式； （2）求、两点之间的距离； （3）若点在轴上，且，则点的坐标为 　或　．（直接写出答案） 【分析】（1）设正比例函数解析式为，把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，从而得到点的坐标，然后代入正比例函数解析式求解即可； （2）把点的坐标代入正比例函数解析式求出，根据两点间的距离公式即可得到结论； （3）设，根据题意得到，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设正比例函数解析式为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， 的坐标为， 正比例函数图象经过点， ， 解得， 正比例函数的解析式为； （2）正比例函数图象经过点， ， 点， 、两点之间的距离； （3）设， ， ， ，即， 解得或8， 或， 故答案为：或． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求自变量函数的解析式，反比例函数的对称性，两点间的距离，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 28．（2023秋•嘉定区期末）如图，点是一个反比例函数与正比例函数的图象的交点，垂直于轴，垂足的坐标为． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）如果点在这个反比例函数的图象上，且的面积为6，求点的坐标． 【分析】（1）因为垂直于轴，垂足的坐标为，所以点的横坐标为2，把其代入正比例函数求出其纵坐标，再用设反比例函数的解析式为，求出的值即可； （2）设的高为，因为的面积为6，所以可求出的值，再分：当点在直线右侧时和当点在直线左侧时求出点的坐标即可． 【解答】解：（1）当时，，， 设反比例函数的解析式为， 则，， 反比例函数的解析式为； （2）设的高为． ， ，， 当点在直线右侧时，； 当点在直线左侧时，． 【点评】此题考查的是正比例函数和反比例函数的交点问题以及用待定系数法求反比例函数的解析式，比较简单． 九．反比例函数的应用（共2题） 29．（2023秋•静安区校级期末）某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚载培．某一天恒温系统从开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度随时间（时变化的函数图象如图，其中段和段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． （1）分别求出段和段所对应的与的函数关系式； （2）若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）将分别代入两个函数解析式求出时间，再根据图象计算出一天中该种蘑菇适宜生长的时间即可． 【解答】解：（1）设段所在的解析式为， 在函数图象上， ，， 段所在的解析式为， 设段所在的曲线解析式为， 在函数图象上， ， 段所在的曲线解析式为， （2）当时，，， ，， 该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 30．（2023秋•虹口区校级期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，关于的函数关系式为 　　，自变量的取值范围为 　　；药物燃烧后，关于的函数关系式为 　　． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【分析】（1）药物燃烧时，设出与之间的解析式，把点代入即可，从图上读出的取值范围；药物燃烧后，设出与之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的，两数之差与10进行比较，等于10就有效． 【解答】解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为代入为 设药物燃烧后关于的函数关系式为代入为 药物燃烧时关于的函数关系式为药物燃烧后关于的函数关系式为 （2）结合实际，令中得 即从消毒开始，至少需要经过 30分钟后，员工才能回到办公室． （3）把代入，得： 把代入，得： 所以这次消毒是有效的． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 十．反比例函数综合题（共8 题） 31．（2023秋•闵行区期末）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．已知，直线与轴的夹角为． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【分析】（1）过点作轴于，由直角三角形的性质可求，，利用待定系数法可求解； （2）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）如图1，过点作轴于， ，， ， ，， 点，； 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数解析式为； （2）如图， 当点在轴上时，且， 又， ，， 点，； 当点在轴上，且， 又， ， 点； 当点在轴上，且， 又， ，， ， 点； 当点在轴上，且， ， ， ， 点； 综上所述：点的坐标为，或或或． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 32．（2023秋•长宁区校级期末）已知在直角坐标平面内，函数的图象经过点，点关于轴的对称点在直线上． （1）求的值： （2）点在射线上，点是坐标平面内一点，轴．如果是等腰直角三角形，，求点的坐标． 【分析】（1）把代入，得到点的坐标，从而得到点的坐标，代入解出的值； （2）设点的坐标为，连接，作，，过点作直线平行于轴，分别过点，作，垂直于该直线，垂足为，，证明，求出点的坐标，通过，求出点的坐标． 【解答】解：（1）把代入，得， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， 把点代入，解得； （2）设点的坐标为，连接，作，，过点作直线平行于轴，分别过点，作，垂直于该直线，垂足为，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，， ， ，， ，， ，， 点的坐标为， 轴， ， 即，解得， 点的坐标为． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，本题的关键是根据题意画图，通过构造全等研究线段的数量关系，从而求出点的坐标． 33．（2023秋•长宁区校级期末）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标是4．双曲线上有一动点，．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）联结、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 【分析】（1）设点的坐标为，根据列方程组即可得到结论； （2）由（1）知，，得到，设点，求得，根据在直线上，得到，求得（舍去负值），于是得到结论； （3）设与的重合部分的面积值为，设点的坐标为，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）设点的坐标为， 由题意得， 解得，， 的值为8； （2）由（1）知，， ， 设点， ， ， ， 在直线上， ， 解得（舍去负值）， ， ，； （3）如图，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或（舍去）， ， 点在函数的图象上， ， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． 34．（2023秋•虹口区校级期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点，过点作轴，垂足为点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于它到点的距离？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）将代入，得，可得，再将点代入反比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）根据点的坐标，可知，过点作于，由题意得，分点在上或的延长线上，分别根据含角的直角三角形的性质可得答案； （3）由，分，，三种情形，分别得出答案． 【解答】解：（1）， 点的纵坐标为3， 正比例函数的图象经过点， 当时，， ， 设反比例函数的解析式为， 将点，代入得， 反比例函数的解析式为：； （2）轴于点，设点的坐标为，， 在中，，，由勾股定理得：， ， ， 过点作于， 由题意得， 当点在上时， 则平分， ， ， ，， 当点在延长线上时， 同理可得，， 综上所述：，或，； （3）当时，则，或，， 当时，由得，， ，， 当时， ， 则平分， ，， 综上所述：，或，或，或，． 【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 35．（2023秋•松江区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数图象都经过点． （1）求的值； （2）点是轴上一点，且． ①求的长； ②如果点在直线上，当的面积为时，求点的坐标． 【分析】（1）把代入求得，把代入得到； （2）如图，过作轴于，设，根据勾股定理得到结论； （3）设，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）正比例函数和反比例函数图象都经过点， ， ， ， ； （2）如图，过作轴于， ，， 设， ， ， ， ， 解得， ， ； （3）点在直线上， 设， ， ， 解得或， 点的坐标为，或，． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，勾股定理，正确地画出图形是解题的关键． 36．（2023秋•杨浦区期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是． （1）求反比例函数解析式； （2）在轴的正半轴上存在一点，使得是等腰三角形，请求出点的坐标． 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）若使是等腰三角形，分，，三种情况讨论分别求出点的坐标即可． 【解答】解：（1）点是一次函数和反比例函数图象的交点， ， 解得， 即， 把点坐标代入反比例函数得，， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）设点的坐标为， 若使是等腰三角形，分以下三种情况： ①当时， 由（1）知，， ， 即，； ②当时，作于， ， ， ， ， 即； ③当时， ， ， 即， 解得， 即，， 综上，符合条件的点坐标为，或或，． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式以及分类讨论思想是解题的关键． 37．（2023秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在轴上，且，反比例函数图象上有一点，且，求点坐标． 【分析】（1）根据正比例函数图象上点的坐标特征求出，利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）根据等腰三角形的性质分别求出、、，证明，根据相似三角形的性质列式计算求出，得到答案． 【解答】解：正比例函数的图象经过点， ， 点的坐标为，， ， 反比例函数的解析式为； （2）作轴于，轴于， 设点的坐标为， ，轴， ，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得，（舍去），， 则点的坐标为． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 38．（2023秋•金山区期末）如图，直线的图象与双曲线交于、两点，且点的坐标为，过作轴，垂足为点． （1）求和的值； （2）联结，直接写出点的坐标，并求出的面积； （3）如果在双曲线上有一点，点在第一象限且满足，求点的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求出答案； （2）求出直线解析式与双曲线的解析式，然后将其联立解方程组，得点与的坐标，再根据三角形的面积公式及坐标的意义求解； （3）设点的坐标为根据，求出的值，即可求出点的坐标． 【解答】解：（1）直线与双曲线相交于， ， ，； （2），， 直线的解析式为，双曲线的解析式为 解方程组， 解得 ，， 则点的坐标为，点的坐标为， 轴， 点的坐标为， ； （3）点在双曲线上 设点的坐标为，， 轴，，， ， 解得或， 点的坐标为或，． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解函数的图象的交点与两函数解析式之间的关系． 十一．全等三角形的判定与性质（共8题） 39．（2023秋•闵行区期末）如图，在△中，点、在边上，，，垂足为，，垂足为，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，并延长交于点，求证：过点、的直线垂直平分线段． 【分析】（1）证明△△，得出．则可得出结论； （2）得出，则平分，由等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】证明：（1），， ． ， ， ． 在△与△中， ， △△． ． ． （2）如图， △△， ，． ， ． ，， ， ． ，，， 平分． 即平分． ， ，， 即过点、的直线垂直平分． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 40．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，点在边上，点在的延长线上，，，交延长线于点，． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质和外角性质可证，即可求解． 【解答】证明：（1）， ， 在和中， ， ， ； （2）， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 41．（2023秋•虹口区校级期末）已知：如图，在中，，，高与高相交于点，为的中点． 求证：（1）； （2）． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可以解决问题； （2）由（1）得，，，，然后证明，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】证明：（1），， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， 为的中点． ， ，， 为的中点． ， ； （2）由（1）知：，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 42．（2023秋•松江区期末）已知：如图，点在上，，，垂直平分线段． （1）求证：； （2）联结、，求证：是等腰直角三角形． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理，线段垂直平分线的性质，垂直的定义即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）垂直平分线段， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）延长交的延长线于， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 43．（2023秋•杨浦区期末）如图，点、、、在同一直线上，，垂足为，，垂足为，、相交于点，且，．求证：． 【分析】由“”可证，可得，可得结论． 【解答】证明：， ， 即， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 44．（2023秋•浦东新区期末）如图，在中，，，为中点，，且与的平分线交于点，联结． （1）求证：； （2）记与的交点为，求证：． 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，可证； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得． 【解答】证明：（1）为中点， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）延长，交于点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 45．（2023秋•静安区校级期末）如图，已知，，垂足分别为点，，且，交于点．求证：平分． 【分析】求出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线性质得出即可． 【解答】证明：，， ， 在和中 ， ， ，， 平分． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线性质等知识点，能求出解此题的关键． 46．（2023秋•嘉定区期末）已知，如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： （1）； （2）． 【分析】（1）根据同角的余角相等可得结论； （2）根据四点共圆可解答或过作和两边的垂线，构建三角形全等可解答． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ； （2）平分，， ， ， 、、、四点共圆， ， 是等腰直角三角形， ． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，四点共圆的判定和性质，熟记各性质是解题的关键． 十二．线段垂直平分线的性质（共1题） 47．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，，平分，是的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 【分析】过点作于点，连接，如图，先根据角平分线的定义和角平分线的性质得到，，再根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，接着利用三角形外角性质得到，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后利用等线段代换得到结论． 【解答】证明：过点作于点，连接，如图， ，平分，，， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， 而，， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了角平分线的性质． 十三．等腰三角形的性质（共1题） 48．（2023秋•黄浦区期末）如图，已知在中，，，，是的中点． 求证：． 【分析】根据等腰三角形的性质可求，根据可证，根据全等三角形的性质可求，再根据等腰三角形的性质可证． 【解答】证明：， ， 在与中， ， ， ， 是的中点， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是根据证明． 十四．等边三角形的判定与性质（共1题） 49．（2023秋•虹口区校级期末）已知：如图，，是上一点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．求证：． 【分析】根据题意，连接，可知，然后等边三角形的判定与性质，可以求得的度数，从而可以证明结论成立． 【解答】证明：连接， ，， 是等边三角形， ，， 又， ， ， ， 即． 【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 十五．含30度角的直角三角形（共1题） 50．（2023秋•闵行区期末）如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点，取线段的中点，联结．求证：．（说明：此题的证明过程需要批注理由） 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得：，再利用直角三角形斜边中线的性质得：与的关系，最后根据直角三角形30度的性质得和的关系，从而得出结论． 【解答】证明：连接， 是的垂直平分线（已知）， ，（线段垂直平分线的性质）， （等边对等角）， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 中，是的中点（已知）， （直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， 中，（已知）， （直角三角形角所对的直角边是斜边的一半）， （等量代换）． 【点评】本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键，属于基础题． 十六．直角三角形斜边上的中线（共1题） 51．（2023秋•静安区校级期末）如图，在和中，，联结与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 【分析】连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，根据等腰三角形的性质进一步得出结论． 【解答】证明：如图， 连接，， ， ，， ， 点是的中点， ， 垂直平分． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线等知识，熟练运用直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 十七．勾股定理（共2题） 52．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在四边形中，，，． （1）求证： （2）如果平分，且，求的面积． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）过点作，垂足为，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：，，． ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：过点作，垂足为， 平分，，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 的面积， 的面积为． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 53．（2023秋•长宁区校级期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， ， ，是边上的中线， ， ， ， 的度数为； （2）在中，，， ， 的面积， ， ， 解得：， ， ， 的长为1.4． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 十八．勾股定理的逆定理（共3题） 54．（2023秋•闵行区期末）如图， 已知在中，于点，，，， （1） 求的长 ． （2） 求证：是直角三角形 ． 【分析】（1） 直接根据勾股定理求出的长； （2） 根据勾股定理的逆定理即可得出结论 ． 【解答】解： （1） ， 在中，，， 根据勾股定理， 得， （2） 证明： 在中， ， ， 是直角三角形 ． 【点评】本题考查了勾股定理， 勾股定理逆定理， 求出是解本题的关键 ． 55．（2023秋•松江区期末）已知：如图，在中，，，点是边中点，延长至点，使得，联结，当时，求的度数． 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，即可得出结论． 【解答】解：，，点是边中点， ， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 即的度数为． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理的逆定理以及含角的直角三角形的判定等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理的逆定理是解题的关键． 56．（2023秋•黄浦区期末）如图，是的中线，于点，是的中线，且，，． （1）求证：； （2）求的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，即可得出是直角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）于点， ， 在中，， ， 同理：， ， ， ， ， 是直角三角形， ； （2）是的中线，， 垂直平分， ， 在中，， 点是边的中点， ． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键． 十九．勾股定理的应用（共1题） 57．（2023秋•杨浦区期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）． 【分析】根据勾股定理求出，再根据含角的直角三角形的性质求出，进而求出． 【解答】解：在中，， 则， 米， ， （米， 在中，， ， （米， 米， 答：行走的通道拓宽了米． 【点评】本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质，灵活运用相关的定理是解题的关键． 二十．作图题（共3题） 58．（2023秋•黄浦区期末）如图，已知在中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．（请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点 （1）若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时　 　； （2）若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时　　． 【分析】（1）连接，根据勾股定理得到即可得到结论． （2）过作，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程进行解答即可． 【解答】解：（1）连接， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：6.25； （2）当点在的平分线上时，如图，过点作于点， 此时，，， 在中，， 即：， 解得：， 当时，点恰好在的平分线上． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键． 59．（2023秋•杨浦区期末）如图，在中，，． （1）在边上求作一点，使得；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【分析】（1）作线段的垂直平分线上； （2）根据等腰三角形的性质计算出的度数，再计算出的度数，然后根据三角形的性质可得，进而得到． 【解答】（1）解：作图正确； （2）证明：连接． ， ． ． ， ． ， ． ． 【点评】此题主要考查了作图，以及直角三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 60．（2023秋•静安区校级期末）如图，已知线段，点在平面直角坐标系内． （1）用直尺和圆规在第一象限内作出点，使点到两坐标轴的距离相等，且与点的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，点的坐标为，求过点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． 【分析】（1）根据角平分线的性质即可用直尺和圆规在第一象限内作出点，使点到两坐标轴的距离相等，且与点的距离等于； （2）在（1）的条件下，根据，点的坐标为，利用勾股定理即可求点的坐标． 【解答】解：（1）如图，点即为所求； （2）由（1）可得是角平分线，设点， 过点作轴于点，过点作轴于点，于点， ，点的坐标为， ，， 根据勾股定理，得 ， ， 解得，（舍去）． 点的坐标为， 过点的解析式为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小． 【点评】本题考查了作图复杂作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质． $$