专题08 全等+五大模型（5大经典基础题+4大模型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题08 全等三角形+五大模型 添加条件使三角形全等 1．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，若，，则添加不能使的条件是（  ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 3．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，已知，要使，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为合适的条件）． ‍ 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，．下列三个条件： ①； ②； ③． 请你从①②③中选一个条件，使． (1)你添加的条件是_______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 结合尺规作图的全等问题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，是我们七上学过的利用尺规“作一个角等于已知角”的过程，爱思考的小明一直不知道这样作出的角和已知角为何相等，在学习了三角形全等的证明之后，终于解开了谜团，原来只要证明，就能得出，那么小明证明的依据是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在小正方形的网格纸上，以为一边作，使之与全等，则下列四个点中符合条件的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ． 简单的全等判定问题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，求证：． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：．    3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且．求证：． 需要二次判定全等的问题 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，于E，于F，若，求证：平分． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知中，延长边上的中线到G，使，延长边上的中线到F，使，连接，． (1)补全图形； (2)与的大小关系如何？证明你的结论； (3)F，A，G三点的位置关系如何？证明你的结论． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图（1）所示，A，E，F，C在一条直线上，，过E，F分别作，，若．    (1)试证明． (2)若将的边沿方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 倍长中线模型 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）（1）阅读理解：    如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　 　；则中线的取值范围是 　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由． （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系 “手拉手”模型 1．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，和中，．连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知：如图1，在和中，，，． (1)请说明． (2)如图2，连接和，，与分别交于点M和N，，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，请直接写出的度数． 一线三等角模型 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）（1）如图①，，射线AD在这个角的内部，点B，C分别在的边上，且于点F，于点E．求证：； （2）如图②，点B，C分别在的边上，点E，F都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E，F在线段上，．若的面积为15，求与的面积之和． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 截长补短 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    对角互补模型 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，，试探究图1中线段、、之间的数量关系． （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．    2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 全等三角形+五大模型 添加条件使三角形全等 1．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，若，，则添加不能使的条件是（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，先得出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：， ， ， A、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项正确； B、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项错误； C、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项错误； D、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项错误； 故选：A． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】利用三角形全等的判定条件判定即可． 【详解】解：已知， 加上①，可用“”来判定． 加上②，可用“”来判定． 加上③，可用“”来判定 加上④不能判定 故选C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，熟练掌握是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，已知，要使，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为合适的条件）． ‍ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了添加一个条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法解题即可． 【详解】解：由已知条件可知：，， 当时，则， 当时，则， 当时，则． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，．下列三个条件： ①； ②； ③． 请你从①②③中选一个条件，使． (1)你添加的条件是_______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或③ (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， 添加①或③均可证明全等； 由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择③角边角证明三角形全等． 【详解】（1）解：选择①或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴， ∵， 在和中 ， ∴． 结合尺规作图的全等问题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，是我们七上学过的利用尺规“作一个角等于已知角”的过程，爱思考的小明一直不知道这样作出的角和已知角为何相等，在学习了三角形全等的证明之后，终于解开了谜团，原来只要证明，就能得出，那么小明证明的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本作图得到，，然后根据全等三角形的判定方法进行判断． 【详解】解：由作法得，， 所以根据“”可判断． 故选A． 【点睛】本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角）是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在小正方形的网格纸上，以为一边作，使之与全等，则下列四个点中符合条件的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定即可得，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 【详解】解：如图，连接，    在和中，， ， 则符合条件的是点， 故选：C． 4．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ． 【答案】35°/35度 【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：． 【详解】解：连接CD，EF 由题目中尺规作图可知：， 在和中 AH平分 故答案为：． 【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键． 简单的全等判定问题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．由证明即可． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出，注意全等三角形的对应边相等；根据可知，又根据∠A=∠D，BE=CF可以判定，即可求证． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∴． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，平行线的性质，先由三角形中线的定义得到，再由平行线的性质得到，由此证明，即可证明． 【详解】证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 需要二次判定全等的问题 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，于E，于F，若，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．先证明，可得，可证明，可得，即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知中，延长边上的中线到G，使，延长边上的中线到F，使，连接，． (1)补全图形； (2)与的大小关系如何？证明你的结论； (3)F，A，G三点的位置关系如何？证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）补全图形，如图所示； （2），理由为：根据D为中点，且，夹角相等，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，同理得到，等量代换即可得证； （3）F，A，G三点共线，理由为：由与全等，以及与全等，利用全等三角形对应角相等得到，，利用三角形内角和定理及平角的定义即可得证． 【详解】（1）补全图形，如图所示； （2），理由为： 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 则； （3）F，A，G三点共线，理由为： ∵，， ∴，， ∵， ∴， 则F，A，G三点共线． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图（1）所示，A，E，F，C在一条直线上，，过E，F分别作，，若．    (1)试证明． (2)若将的边沿方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）先利用判定，得出；再利用判定，从而得出； （2）结论仍然成立，同理可以证明得到． 【详解】（1）解：证明：，， ． ，．即． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ； （2）结论依然成立． 理由：，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 倍长中线模型 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）（1）阅读理解：    如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　 　；则中线的取值范围是 　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由． （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】（1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得，； （2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，，即； （3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出． 【详解】解：（1）延长到点使，再连接， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：，； （2）延长至，使，连接，   ，，， ， ， 连接， ，， 是等腰三角形， ， 在中，，即； （3）延长至使，连接，   ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键． “手拉手”模型 1．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，和中，．连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1） 先由，得出，证明，即可作答． （2）由，推出，由，，又，，可得． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题． 【详解】（1）证明： ， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）解：， ， ，， 又， ， ， ． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知：如图1，在和中，，，． (1)请说明． (2)如图2，连接和，，与分别交于点M和N，，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）因为，都加上相同一个角，即，通过“”即可证明； （2）根据全等三角形的性质，得，，再根据三角形内角和进行列式，等量代换，得，则，根据等边对等角以及三角形内角和，得，即可求解； （3）连接，通过“”证明，得到，结合，得，根据等边对等角以及三角形内角和，得，进而求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴； （2）解：由（1）知， 则，， 在和中， ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接， 由图1的得图2的， 而，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ 由（2）知， ∴． 【点睛】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、等边对等角、三角形的内角和，外角的性质等，属于几何综合题，综合性强，难度较大． 一线三等角模型 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）（1）如图①，，射线AD在这个角的内部，点B，C分别在的边上，且于点F，于点E．求证：； （2）如图②，点B，C分别在的边上，点E，F都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E，F在线段上，．若的面积为15，求与的面积之和． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3）5 【分析】（1）根据以及，，可得，即可求证； （2）根据以及三角形外角的性质可得，再由，可得，即可求证； （3）由（2）知，再由，可得，然后根据的面积为15，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． （2）证明：∵，是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵的面积为15， ∴． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【答案】（1）5；（2）2；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及应用，等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识． （1）由，得，可证明，即得，故； （2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为14且的长为7，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为14且的长为7， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 截长补短 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 【详解】证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 对角互补模型 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，，试探究图1中线段、、之间的数量关系． （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．    【答案】（1） （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至G，使，由可直接证明，即得出，．结合题意又易证，得出，进而得出； （2）延长到点G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】（1）证明：延长至G，使，（如图）．    在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：如图，延长到点G，使，连接．    在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程． 证明见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$