专题07 三角形期末专题复习（5大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题07 三角形期末专题复习 三角形中的求解角度 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，点D在的边的延长线上，，则 °． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点A、B分别在锐角的边、上，射线在的内部，点D、E在射线上，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，平分，．    (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，分别平分和，与相交于点，延长，交于点．    (1)已知，求的度数； (2)若，，，试探究，，三者之间的等量失系． 根据中线求长度 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图所示，是的中线，，的周长和的周长差为（    ）    A．6 B．3 C．2 D．不确定 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4cm.若AB＝16cm那么AC＝ cm. 根据中线求面积 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，在中，M，N分别是的中点，，则为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，D，E分别为边的中点，且，则 ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）在中，是边上的中线，于，于，若，，，则线段的长是(   ) A．4 B．6 C．9 D．12 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到，再分别倍长，，得到按此规律，倍长2次后得到的的面积为 ．    求解正多边形 1．（23-24八年级上·福建南平·期末）若一个多边形的每个外角都是，则它是 边形． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）已知一个多边形的内角和比外角和的4倍还多，求这个多边形的边数． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，五边形的内角都相等，且，，则x的值为（    ）    A．32 B．36 C．44 D．54 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，若正五边形和长方形按如图方式叠放在一起，则的度数为 ．    三角板问题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）将一副三角板（，）如图摆放，使得，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建三明·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的度数是 ． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）将一副三角板按如图所示的位置摆放，图中 °．      5．（23-24八年级上·福建厦门·期末）将含角的三角板和含角的三角板及一把直尺按图1方式摆放在一起，使两块三角板的直角顶点，重合，点，，，始终落在直尺的边所在直线上．将含角的三角板沿直线向右平移． (1)当点与点重合，请在备用图中补全图形，并求平移后与形成的夹角的度数； (2)如图2，点在线段上移动，是边上的动点，满足被平分，的平分线与边交于点，请证明在移动过程中，的大小保持不变． 三角形折叠问题 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，将纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ． (2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由． 含参的角度计算问题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，点B，C是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，则的大小为 ．（用含有x的式子表示）      2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，平分，是线段（除去端点，）上一动点，于点．    (1)若，，求的度数． (2)若，，请用含，的式子表示的度数． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点E在x轴的负半轴上，边交x轴于点C，且平分，过点D作直线交x轴于点B，交y轴于点A，使，已知，，其中m，n满足．    (1)点B，E的坐标分别为______，______； (2)若，求的度数（用表示）； (3)当时，记的面积为S，点Q的纵坐标为t，求S与t的关系． 三角形与平行综合应用 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．    (1)若，则______； (2)求证：； (3)如图2，G在射线上，当平分时，求与的数量关系． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在在x轴正半轴上，点B是第四象限内一点，轴于点，且，． (1)求点B的坐标； (2)如图2，D点是线段上一动点，交于点E，的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点G，与交于点H，求的度数； (3)如图3，将点C向左平移4个单位得到点H，连接，与y轴交于点D．y轴上是否存在点M，使的面积等于四边形面积的？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 三角形中的动点问题 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，直线经过原点，若、、，为线段上一动点．当取最小值时， ．    2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）中，，点D是线段上的动点（点D不与端点A、B重合），点E在上，且，平分交于点F． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，的角平分线交于点M，交于点N．点D在运动的过程中，探究下列问题： ①的度数是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出的度数； ②点P在线段上，使得，试判断与的大小关系，并说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形期末专题复习 三角形中的求解角度 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，点D在的边的延长线上，，则 °． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形内角和，互补关系；先由三角形内角和求出，再由互补关系即可求得结果． 【详解】解：， ． ． ． 故答案为：40． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，点A、B分别在锐角的边、上，射线在的内部，点D、E在射线上，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，再结合三角形内角和和外角性质推理即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练找到角度关系是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，平分，．    (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)相等，见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线可得，根据，利用等式性质，可得结论； （2）若设，则，根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：相等．理由如下：                                           平分， ，                                                 又， ， ； （2）解：设，则，                                  由（1）有：， ， 在中，， ，                 解得：， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形外角性质及三角形内角和定理，掌握相关性质是解题关键． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，分别平分和，与相交于点，延长，交于点．    (1)已知，求的度数； (2)若，，，试探究，，三者之间的等量失系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得出，根据角平分线的性质得出，，求出，根据三角形内角和得出； （2）根据角平分线的性质得出，，根据，，，得出，求出，，得出，根据三角形内角和得出，整理可以得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． （2）解：，，三者之间的等量关系是． ∵，分别平分和，    ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 根据中线求长度 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图所示，是的中线，，的周长和的周长差为（    ）    A．6 B．3 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长作差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的中线的定义以及周长的计算方法，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4cm.若AB＝16cm那么AC＝ cm. 【答案】12 【分析】由AD是△ABC的中线可得BD=CD，然后根据△ABD的周长比△ACD的周长多4cm即可得到关于AB与AC 的等式，再由AB＝16cm即可求出结果． 【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长多4cm， ∴AB+BD+AD=AC+CD+AD+4， ∴AB=AC+4， ∵AB＝16cm， ∴AC=12cm． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形中线的定义和三角形的周长，属于基础题型，熟练掌握以上基础知识是关键． 根据中线求面积 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，在中，M，N分别是的中点，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用三角形中线求面积，根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算． 【详解】解： M，N分别是的中点， ，， ， 故选D． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，D，E分别为边的中点，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先求出，则． 【详解】解：∵点D是，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：5． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）在中，是边上的中线，于，于，若，，，则线段的长是(   ) A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】先根据三角形中线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，由此代值计算即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 故选B．    【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到，再分别倍长，，得到按此规律，倍长2次后得到的的面积为 ．    【答案】49 【分析】连接，根据等底等高的三角形面积相等，可得，同理，从而可得答案． 【详解】解：连接，根据等底等高的三角形面积相等，    的面积都相等， ∴， 同理 ∵的面积为1， ∴的面积为49． 故答案为：49 【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键． 求解正多边形 1．（23-24八年级上·福建南平·期末）若一个多边形的每个外角都是，则它是 边形． 【答案】十 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据多边形外角和为360度求出边数即可得到答案． 【详解】解：∵一个多边形的每个外角都是， ∴它的边数为， ∴这个多边形是十边形， 故答案为：十． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）已知一个多边形的内角和比外角和的4倍还多，求这个多边形的边数． 【答案】11 【分析】考查了多边形内角与外角，任何多边形的外角和都是360度，不随边数的变化而变化．设这个多边形的边数是n，依题意得，解方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得， ， ， ， ∴这个多边形的边数是11． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，五边形的内角都相等，且，，则x的值为（    ）    A．32 B．36 C．44 D．54 【答案】B 【分析】由五边形的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出，从而可求出x的值． 【详解】解：五边形的内角和是， ∵五边形的内角都相等， ∴每个内角为， ∴， 又∵，， ∴由三角形内角和定理可知，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，解题的关键是求出． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，若正五边形和长方形按如图方式叠放在一起，则的度数为 ．    【答案】36 【分析】先求出正五边形的内角和，可得出每个内角的度数，利用三角形的外角得出，再求出，即可得到答案． 【详解】解：∵正五边形内角和为：， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36． 【点睛】本题考查多边形的内角和，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键． 三角板问题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角板的特征得到特定角的度数，进一步利用外角和内角和定理分别计算出，，的度数，即可判断． 【详解】解：由三角板可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴角的大小为的是， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和，以及三角板的特征，解题时要熟练根据这些性质逐步计算角的度数． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）将一副三角板（，）如图摆放，使得，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】 故选：D 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角等知识点．掌握相关结论是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建三明·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，平角的概念，根据两直线平行，得同位角相等，根据三角形外角性质求得，利用平角为即可求解，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）将一副三角板按如图所示的位置摆放，图中 °．      【答案】30 【分析】先求解，再进行计算即可． 【详解】解：如图，标注三角形的顶点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是邻补角的含义，三角形的内角和定理的应用，理解题意，确定角与角之间的关系是解本题的关键． 5．（23-24八年级上·福建厦门·期末）将含角的三角板和含角的三角板及一把直尺按图1方式摆放在一起，使两块三角板的直角顶点，重合，点，，，始终落在直尺的边所在直线上．将含角的三角板沿直线向右平移． (1)当点与点重合，请在备用图中补全图形，并求平移后与形成的夹角的度数； (2)如图2，点在线段上移动，是边上的动点，满足被平分，的平分线与边交于点，请证明在移动过程中，的大小保持不变． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】（1）根据题意补全图形，根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质设，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角的性质得出，进而根据三角形内角和定理以及角平分线的定义可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    ∵平移， ∴， ∴； （2）证明：∵平移， ∴， ∴， 设， ∵被平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即的大小保持不变． 【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，平行线的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 三角形折叠问题 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解． 【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，将纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接．根据三角形外角的性质，得：．由角平分线的性质及三角形内角和定理得．由折叠的性质得．进而可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． 平分，平分， ，． ． ． 是由沿折叠得到． ． ，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质是解决本题的关键． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ． (2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了折叠的性质、三角形外角性质． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，所以； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理得到. 【详解】（1）解：， 理由：∵沿直线折叠，且， ∴A点落在上，如图（1）， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 含参的角度计算问题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，点B，C是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，则的大小为 ．（用含有x的式子表示）      【答案】 【分析】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义，根据角平分线的定义和三角形的外角性质得到是解决问题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，，， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，平分，是线段（除去端点，）上一动点，于点．    (1)若，，求的度数． (2)若，，请用含，的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形的外角性质、角平分线性质、三角形的内角和定理， （1）由，可得，进而可得，由三角形外角的性质即可求解； （2）由，，可得，，进而得到，即可求解，熟练进行逻辑推理是解题关键． 【详解】（1）解：，， ． ， ． 平分， ， ； （2）解：，， ． 平分， ， ， ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点E在x轴的负半轴上，边交x轴于点C，且平分，过点D作直线交x轴于点B，交y轴于点A，使，已知，，其中m，n满足．    (1)点B，E的坐标分别为______，______； (2)若，求的度数（用表示）； (3)当时，记的面积为S，点Q的纵坐标为t，求S与t的关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由，可得，，从而可得答案； （2）设，可得，而，可得，证明，再利用三角形的外角的性质可得答案； （3）过点Q作轴于点H，连接，可得则，，证明，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； ∴，； （2）设， 则， 而， ∴在中，， ∵平分 ∴， ∵是的外角 ∴． （3）过点Q作轴于点H，连接    则，， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴S与t的关系为：． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的角平分线的含义，平行线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 三角形与平行综合应用 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．    (1)若，则______； (2)求证：； (3)如图2，G在射线上，当平分时，求与的数量关系． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用、三角形的外角的性质： （1）依据题意，根据三角形的外角的性质，，又，故可得解． （2）过点B作，由于，从而，则，再结合，，又，可得，进而可以得解． （3）过点B作，由（2）可得，．设，，则；由，从而；又平分，可得，故，进而可得与的关系． 需要熟练掌握角度之间的转化，并学会借助方程的思想来解题． 【详解】（1）解：由题意，， ． ， ． 又， ． 故答案为：． （2）证明：如图1，    过点B作， 又， ， ． ， ． ． ， ． ， ． 又． ； （3）如图2，过点B作，    由（2）可得， ． 设，， 则． ， ． 又平分， ． ． ． ． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在在x轴正半轴上，点B是第四象限内一点，轴于点，且，． (1)求点B的坐标； (2)如图2，D点是线段上一动点，交于点E，的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点G，与交于点H，求的度数； (3)如图3，将点C向左平移4个单位得到点H，连接，与y轴交于点D．y轴上是否存在点M，使的面积等于四边形面积的？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据非负数求得点A、C坐标，再根据坐标与图形性质和梯形的面积公式求得即可求解； （2）设，，根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，再利用三角形的内角和定理和外角性质得到即可； （3）连接，设，，由平移性质得，由三角形的等面积法求得，利用坐标与图形和已知求得，进而求得m值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，，则，， ∵轴，即轴， ∴， 解得， ∴； （2）解：设，， ∵的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点G， ∴，, ∵，轴， ∴，， ∵，， ∴，则， 又∴， ∴； （3）解：存在， 如图，连接，设，， 由平移性质得， ∵， ∴， 解得，则， ∵的面积等于四边形面积的， ∴， 解得， 则， 解得或， ∴或． 【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性、坐标与图形、平行线的性质、三角形的内角和定理和外角性质、角平分线的定义、三角形和梯形的面积公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 三角形中的动点问题 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，直线经过原点，若、、，为线段上一动点．当取最小值时， ．    【答案】8 【分析】分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，得出，，，最后利用代入求解即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，    ∵、、， ∴，，， ∵当时，取最小值， ∵， ∴，即 解得，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）中，，点D是线段上的动点（点D不与端点A、B重合），点E在上，且，平分交于点F． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，的角平分线交于点M，交于点N．点D在运动的过程中，探究下列问题： ①的度数是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出的度数； ②点P在线段上，使得，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①的度数不变，，理由见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，外角的性质等知识，灵活应用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先证，可得，由角平分线的定义可得，可得结论； （2）①由角平分线的定义可得，，由外角的性质可得，，即可求解； ②由角的数量关系可求，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）①的度数不变，理由如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②，理由如下：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$