2.专题2 反比例函数与一次函数的综合-【加速度中考】2025年内蒙古中考数学备考加速度课件

2025内蒙古中考·数学 《课堂讲练本》 《聚焦内蒙古中考》 《参考答案》 《教材多角度变式练》 《20分钟题组限时练》 专题二 反比例函数与一次函数的综合 第二部分 中考重难专题强化练 1. [2024资阳]如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A(m，4)，B(4，n)两点. (1)求一次函数的解析式； 第1题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 解：(1)∵A(m，4)，B(4，n)两点在反比例函数y＝ 的图象上， ∴m＝1，n＝1，∴A(1，4)，B(4，1). ∵A(1，4)，B(4，1)两点在一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上， ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋5. 第1题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 (2)若点C(t，t)在一次函数的图象上，直线CO与反比例函数的图象在第 三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线CD在图中的一个特征. 解：(2)∵C(t，t)且直线CD过原点O， ∴直线CD的解析式为y＝x. 联立 解得 或 ∴D(－2，－2). 直线CD的特征：①直线CD与直线AB互相垂直； ②直线CD平分x轴与y轴的夹角；③CO＝DO. 第1题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 2. [2024东营]如图，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数 y＝ (x≠0)的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)，且一次函数的图象与 x轴，y轴分别交于点C，D. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； 第2题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 解：(1)∵一次函数y＝mx＋n的图象与反比例函数y＝ 的 图象交于点A(－3，a)，B(1，3)， ∴k＝1×3＝－3×a，∴k＝3，a＝－1， ∴反比例函数的表达式为y＝ . ∵一次函数y＝mx＋n的图象过A(－3，－1)， B(1，3)两点， ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋2. 第2题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 (2)根据图象直接写出不等式mx＋n＞ 的解集； 第2题图 解：(2)由图象可知，不等式mx＋n＞ 的解集为－3＜x＜0或x＞1. 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 (3)在第三象限内的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD， 求点P的坐标. 解：(3)在一次函数y＝x＋2中， 当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－2， ∴C(－2，0)，D(0，2)，∴OC＝OD＝2， ∴S△OBD＝ OD·xB＝1，∴S△OCP＝4S△OBD＝4. 设点P的坐标为 ，∴ ×2× ＝4， 解得m＝－ ，∴P . 第2题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 3. 与第2题互为变式题[2024巴中]如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x＋2与反比例函数y＝ (k≠0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1. (1)求k的值及点B的坐标； 解：(1)把x＝1代入y＝x＋2，得y＝3，∴A(1，3). ∵点A在反比例函数的图象上，∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数的解析式为y＝ . 联立 解得 或 ∴B(－3，－1). 第3题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 (2)P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当S△BPO＝ S△ABO时， 求PM的最小值. 解：(2)∵S△BPO＝ S△ABO， ∴P是AB的中点，∴P(－1，1). ∵B(－3，－1)，O(0，0)， ∴直线OB的解析式为y＝ x. 当PM⊥OB时，PM取得最小值. 设直线PM的解析式为y＝－3x＋b， 第3题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 将P(－1，1)代入y＝－3x＋b，得3＋b＝1，解得b＝－2， ∴直线PM的解析式为y＝－3x－2， 联立 解得 ∴M ， ∴PM的最小值为 ＝ . 第3题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 4. [2024镇江]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝ 2x＋m的图象与x轴、y轴交于A(－3，0)，B两点，与反比例函数y＝ (k≠0)的图象交于点C(1，n). (1)求m和k的值； 解：(1)∵一次函数y＝2x＋m的图象过点A(－3，0)， ∴2×(－3)＋m＝0，∴m＝6. ∵C(1，n)在一次函数y＝2x＋6的图象上， ∴n＝2×1＋6＝8，∴C(1，8). ∵C(1，8)在反比例函数y＝ 的图象上， ∴k＝8. 第4题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 (2)已知四边形OBDE是正方形，连接BE，点P在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上.当△OBP的面积与△OBE的面积相等时，直接写出点 P的坐标. 解：(2) 或 第4题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 【解析】当x＝0时，y＝2x＋6＝6，∴OB＝6. ∵四边形OBDE是正方形，∴OE＝OB＝6.当 点P在反比例函数y＝ (k≠0)图象的右半支上时， 设点P的坐标是 .∵S△OBP＝S△OBE， ∴ OB·a＝ OB2，∴a＝OB＝6， ∴ ＝ ，∴点P的坐标是 . 第4题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 当点P在反比例函数y＝ (k≠0)图象的左半支上时， 设点P的坐标是 .∵S△OBP＝S△OBE， ∴ OB·(－b)＝ OB2，∴b＝－6，∴ ＝－ ， ∴点P的坐标是 .综上所述，点P的坐 标为 或 . 第4题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 5. 如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交 于第一象限C(1，4)，D(4，m)两点，与坐标轴交于A，B两点，连接 OC，OD(O是坐标原点). (1)求一次函数与反比例函数的解析式； 第5题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 解：(1)∵点C(1，4)在反比例函数的图象上， ∴k＝1×4＝4， ∴反比例函数的解析式为y＝ . ∵点D(4，m)在反比例函数y＝ 的图象上， ∴m＝1，∴D(4，1). ∵C(1，4)，D(4，1)两点在一次函数y＝ax＋b的图象上， ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋5. 第5题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 (2)当ax＋b＜ 时，直接写出x的取值范围； 解：(2)根据函数图象可知，不等式ax＋b＜ 的解集为0＜x＜1或x＞4. 第5题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 (3)将直线AB向下平移多少个单位长度，直线AB与反比例函数图象只有 一个交点？ 解：(3)设直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度时，直线与 反比例函数图象只有一个交点，则平移后的直线解析式为 y＝－x＋5－m， 联立 整理得x2－(5－m)x＋4＝0， ∴Δ＝(5－m)2－4×1×4＝0，∴m＝9或1， 第5题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 当m＝9时，一次函数y＝－x－4的图象经过二、三、四象限，此时直线 y＝－x－4与反比例函数y＝ (x＞0)没有交点，∴m≠9， ∴直线AB向下平移1个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点. 第5题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 6. [2024临夏州]如图，直线y＝kx与双曲线y＝－ 交于A，B两点，已 知A点坐标为(a，2). (1)求a，k的值； 解：(1)∵点A(a，2)在反比例函数的图象上， ∴－ ＝2，解得a＝－2. 将A(－2，2)代入y＝kx，解得k＝－1. 第6题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 (2)将直线y＝kx向上平移m(m＞0)个单位长度，与双曲线y＝－ 在第二 象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC， 求m的值. 解：(2)如答图，过点C作CF⊥y轴于点F， ∴CF∥OE， ∴∠FCP＝∠OEP，∠CFP＝∠EOP. ∵PC＝PE，∴△CFP≌△EOP(AAS)， ∴CF＝EO，FP＝OP. ∵直线y＝－x向上平移m(m＞0)个单位长度后的解析式为y＝－x＋m， 令x＝0，得y＝m；令y＝0，解得x＝m， 第6题答图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 ∴E(m，0)，P(0，m)， ∴CF＝OE＝m，PF＝OP＝m， ∴C(－m，2m). ∵双曲线y＝－ 过点C，∴2m＝－ ， 解得m＝ 或－ (不符合题意，舍去)，∴m＝ . 第6题答图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 7. [2024宜宾]如图，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝ (k≠0)的图象交于点A(1，4)，B(n，－1). (1)求反比例函数和一次函数的表达式； 第7题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 解：(1)将点A，B的坐标分别代入y＝ (k≠0)， 得k＝4×1＝－n， 解得k＝4，n＝－4， ∴反比例函数的表达式为y＝ ， 点B的坐标为(－4，－1). 将点A，B的坐标分别代入y＝ax＋b(a≠0)， 得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋3. 第7题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 (2)利用图象，直接写出不等式ax＋b＜ 的解集； 解：(2)观察函数图象可知，不等式ax＋b＜ 的解集为0＜x＜1或x＜－4. 第7题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 (3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上.若以A，B，C，D为 顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标. 解：(3)设C ，D(x，0). 当AB为平行四边形的对角线时， 4－1＝ ， 解得m＝ ，∴C . 当AC或AD为平行四边形的对角线时， 4＋ ＝－1或4＝ －1， 解得m＝± ，∴C 或 . 综上所述，点C的坐标为 或 或 . 第7题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 8. [2024苏州]如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A(－2，0)，C(6，0)，反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象与AB交于点D(m，4)，与BC交于点E. (1)求m，k的值； 第8题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 解：(1)∵A(－2，0)，C(6，0)， ∴AC＝8. 又∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴BC＝8， ∴B(6，8). 设直线AB的函数表达式为y＝ax＋b， 将A(－2，0)，B(6，8)分别代入y＝ax＋b，得 解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝x＋2. 将点D(m，4)代入y＝x＋2，解得m＝2， ∴D(2，4). 将D(2，4)代入y＝ ，得 ＝4，∴k＝8. 第8题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 (2)P为反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)图象上一动点(点P在点D，E之间 运动，不与点D，E重合)，过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P 作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出 此时点P的坐标. 第8题图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 解：(2)如答图，延长NP交y轴于点Q，交AB于点L. ∵AC＝BC，∠BCA＝90°，∴∠BAC＝45°. ∵PN∥x轴， ∴∠BLN＝∠BAC＝45°，∠NQM＝90°. ∵PM∥AB，∴∠MPL＝∠BLP＝45°， ∴∠QMP＝∠QPM＝45°，∴QM＝QP. 设P ，则PQ＝t，PN＝6－t，MQ＝PQ＝t， ∴S△PMN＝ PN·MQ＝－ (t－3)2＋ . ∵－ ＜0， ∴当t＝3时，S△PMN取得最大值 ，此时P . 第8题答图 第8题答图 专题二　反比例函数与一次函数的综合 2025内蒙古中考 数学 1.《课堂讲练本》中“一题多练过基础”栏目选用教材素材进行多设问改编，一题串联本节知识点，查漏补缺。 2.《聚焦内蒙古中考》特设真题变式题，练中考考法，练迁移应用。 3.《教材多角度变式练》对教材题进行多角度改编，吃透课本。 $$