教材拓展9：空间向量讲义-2025届高三数学一轮复习

教材拓展：空间向量 教材挖掘拓展1：　空间向量基本定理及推论 向量共线定理的推论：已知，则A、B、C三点共线，反之亦然，其前提是不共线（基底） 【链接教材】空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组，使得. 推论：设O，A，B，C，是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数，使且   【应用1】已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若,则λ等于 (　 ) A.2　　　B.-2　　　C.1　　　D.-1 教材挖掘拓展2：三个正交基底不明显的建系（需先证明，再建系） 【应用1】如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 【应用2】如图在椎体中，是边长为1的菱形，且=60， ，，，分别是，的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 教材挖掘拓展3：向量法（非坐标运算：基底法） 【教材链接1】(人教A版选择性必修第一册P36例7) 如图1.4-19，在校长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别为，的中点，求直线和夹角的余弦值． 图1.4-19 【教材链接2】(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2T8)已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直. . ， 【教材链接3】(人教A版选择性必修第一册P31练习T2)如图，在四面体ABCD中，E是的中点．直线AD上是否存在点F，使得？ 【教材链接4】(人教A版选择性必修第一册P41练习T1)如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面与平面的夹角． 教材挖掘拓展4：非坐标系下的法向量问题 适用于当坐标系不易建立时，会导致点的坐标没法写出(或设置)，造成问题无法解决的情况，或者“勉强”建立了坐标系，但相关点的坐标无法求出． 【教材链接】(人教A版选择性必修第一册P32例4) 如图1.4-14，在平行六面体中，，，求证：直线平面． 图1.4-14 【变式1】　在本例中，直线BD1与平面ACC1A1所成角的大小为 . 【举一反三2】　如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，M，N分别为D1C1，B1C1的中点．且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°. (1)求证：MN⊥平面ACC1A1； (2)求平面A1BC1与平面ACC1A1夹角的余弦值． 试卷第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 教材拓展：空间向量 教材挖掘拓展1：　空间向量基本定理及推论 向量共线定理的推论：已知，则A、B、C三点共线，反之亦然，其前提是不共线（基底） 【链接教材】空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组，使得. 推论：设O，A，B，C，是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数，使且   【应用1】已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若,则λ等于 (　 ) A.2　　　B.-2　　　C.1　　　D.-1 【答案】B 【解析】 ,即,整理得,由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6-3+λ=1,解得λ=-2. 教材挖掘拓展2：三个正交基底不明显的建系（需先证明，再建系） 【应用1】如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 【解析】（Ⅰ）证明：为正方形，． ，，，平面， 平面，平面平面； （Ⅱ）由，，可得为二面角的平面角； 由为正方形，平面，，平面 即有，可得为二面角的平面角．可得． ，平面，平面，平面， 平面平面，平面，， ，四边形为等腰梯形． 以为原点，建立如图所示的坐标系，设， 则，0，，，，，，0，，，，， ，，，，，，，0， 设平面的法向量为，，，则， 则，取，0，． 设平面的法向量为，，，则， 则，取，，． 设二面角的大小为，则 ，则二面角的余弦值为． 【应用2】如图在椎体中，是边长为1的菱形，且=60， ，，，分别是，的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD．因PA=PD， 有，在中，，有为等边 三角形，因此， 所以平面PBG 又PB//EF，得，而DE//GB得AD DE，又， 所以AD 平面DEF． （Ⅱ），为二面角P—AD—B的平面角， 在 在 法二：（Ⅰ）取AD中点为G，因为 又为等边三角形，因此，， 从而平面PBG． 延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD， 所以PO 平面ABCD． 以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． 设 由于 得 平面DEF． （Ⅱ） 取平面ABD的法向量设平面PAD的法向量 由 取 教材挖掘拓展3：向量法（非坐标运算：基底法） 【教材链接1】(人教A版选择性必修第一册P36例7) 如图1.4-19，在校长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别为，的中点，求直线和夹角的余弦值． 图1.4-19 【解析】化为向量问题如图1.4-19，以{，，}作为基底．则 ，． 设向量与的夹角为，则直线和夹角的余弦值等于． 进行向量运算 ． 又和均为等边三角形，所以． 所以直线和夹角的余弦值为． 【教材链接2】(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2T8)已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直. 【解析】已知：四面体中，、、、、、分别是对应各棱的中点，且. 求证：，，. 证明：设，，， 则， ， 由可得，则， 所以， 由此可得， 所以，即. 所以，即，同理可证，. 故若四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直. 【教材链接3】(人教A版选择性必修第一册P31练习T2)如图，在四面体ABCD中，E是的中点．直线AD上是否存在点F，使得？ 【解析】假设直线AD上存在点F使，设， ，因为E是的中点，所以， ，若，则， 即，所以，即， 所以 ，此时显然不成立，所以不存在点F，使得. 【教材链接4】(人教A版选择性必修第一册P41练习T1)如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面与平面的夹角． 【答案】 【解析】设平面与平面的夹角为， 由可得 所以，即平面与平面的夹角为. 教材挖掘拓展4：非坐标系下的法向量问题 适用于当坐标系不易建立时，会导致点的坐标没法写出(或设置)，造成问题无法解决的情况，或者“勉强”建立了坐标系，但相关点的坐标无法求出． 【教材链接】(人教A版选择性必修第一册P32例4) 如图1.4-14，在平行六面体中，，，求证：直线平面． 图1.4-14 证明：设，，，则{，，}为空间的一个基底，且 ，，． 因为，，所以 ，． 在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点P，存在唯一的有序实数对，使得． 所以， ． 所以是平面的法向量． 所以平面． 【变式1】　在本例中，直线BD1与平面ACC1A1所成角的大小为 【答案】 【解析】由典例知平面ACC1A1的一个法向量为＝a－b. 又＝＋＋＝－a＋c＋b， ||2＝(－a＋c＋b)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2－2a·b－2a·c＋2b·c ＝4＋4＋4－2×2－2×2＋2×2＝8.所以||＝2， ·＝(a－b)·(－a＋c＋b)＝－|a|2－|b|2＋a·b＋a·c－b·c ＝－×4－×4＋2＋×2－×2＝－2. 所以cos〈，〉＝＝＝－. 设BD1与平面ACC1A1所成角为θ，则 sin θ＝|cos〈，〉|＝.故所成角的大小为. 【举一反三2】　如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，M，N分别为D1C1，B1C1的中点．且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°. (1)求证：MN⊥平面ACC1A1； (2)求平面A1BC1与平面ACC1A1夹角的余弦值． [解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2， 由于M，N分别是D1C1与B1C1的中点， 所以＝＝＝a－b，而＝a＋b， 故·＝（a－b）·＝(|a|2－|b|2)＝0， 所以⊥，即MN⊥AC. 又·＝（a－b）·c＝a·c－b·c ＝×2×2×cos 60°－×2×2×cos 60°＝0. 所以⊥，即MN⊥AA1. 因为AC，AA1⊂平面ACC1A1，且AC∩AA1＝A.所以MN⊥平面ACC1A1. （2）由(1)知向量是平面ACC1A1的一个法向量， 设平面A1BC1的法向量n＝xa＋yb＋zc.则 即由于|a|＝|b|＝|c|＝2， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，则a·b＝b·c＝c·a＝2， 所以取x＝3，则y＝－5，z＝3， 所以n＝3a－5b＋3c. 因此|n|2＝(3a－5b＋3c)2＝9|a|2＋25|b|2＋9|c|2－30a·b＋18a·c－30b·c＝9×4＋25×4＋9×4－30×2＋18×2－30×2＝88.所以|n|＝2 .||2＝（a－b）＝|a|2＋|b|2－a·b＝×4＋×4－×2＝1. 即|MN|＝1. ·n＝（a－b）·(3a－5b＋3c) ＝|a|2－4a·b＋|b|2＋a·c－b·c ＝×4－4×2＋×4＋×2－×2＝8. 设平面A1BC1与平面ACC1A1的夹角为θ，所以cos θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝. 即平面A1BC1与平面ACC1A1夹角的余弦值为. 试卷第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$