教材拓展6：平面向量讲义-2025届高三数学一轮复习

教材挖掘拓展6 平面向量 教材挖掘拓展一：向量共线定理的推论 【链接教材】向量共线定理的推论：已知，则A、B、C三点共线，反之亦然，其前提是不共线（基底） 【应用1】分别为等差数列{}，{}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且则实数的取值为 （ ） A. B. C. D. 【解法运用】∵P、B、C三点共线，，，……() ，选B. 【应用2】（安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考（10月）改编）已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若.过点任意作一条动直线交射线于两点，，则的最小值为 【答案】 【解析】（1）由题意画出图像， 因为，所以且， 注意到共线且共线，所以解得. （2）由（1）和图象可知，结合. 于是，所以. 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 于是的最小值为. 教材挖掘拓展二：向量三角形不等式 【链接教材】向量三角形不等式：，此不等式适用于求向量模的最值或范围. 【应用1】(2024·济南模拟)已知单位向量e1,e2,…,e2 024,则|e1+e2+…+e2 024|的最大值是　　　　,最小值是　　　　.  【解析】当单位向量e1,e2,…,e2 024方向相同时,|e1+e2+…+e2 024|取得最大值,|e1+e2+…+e2 024|=|e1|+|e2|+…+|e2 024|=2 024;当单位向量e1,e2,…,e2 024首尾相连时,e1+e2+…+e2 024=0,所以|e1+e2+…+e2 024|的最小值为0. 答案:2 024　0 【应用2】已知点A，B，C在以原点O为圆心的单位圆上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为 (　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】　由题意，AB⊥BC，AC为直径，所以|＋＋|＝|2＋|≤4＋||≤4＋3＝7，当且仅当点B为(－1，0)时，|＋＋|取得最大值7.故选B 教材挖掘拓展三：利用平行四边形对角线定理 【链接教材】（必修二P39例2） 平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.（注意：这是必修五教材上的一个例题证明）即：，该定理适用于求模的值或最值。运用的关键是：（1）利用，己知中的三个量的值，求第四个值。（2）利用平行四边形对角线定理构造等式解决模的最值或范围问题。 【应用1】已知共面向量满足，，且；若对每一个确定的向量，记（）的最小值，则当变化时，的最大值为 （　　） A. B. 2 C. 4 D. 6 【解析】如图，设∵，∴M为BD的中点，∴S△ABD=•3•2=3，∵，∴AD=BD，设AB=c，AD=b， ∴在▱ABCD中，2[（AB）2+（AD）2]=AC2+BD2，∴b2+2c2=36，①， ∵S△ABD=•c•==•c•，将①代入可得，S△ABD=•c•＝•c•∴3＝•c•， ∴＝•c•，当且仅当c2=8时取等号，故选B． 教材挖掘拓展四：用极化恒等式解平面向量问题 极化恒等式：. 三角形模型中：如图，在中，D为BC中点，. 平行四边形模型：如图，在平行四边形ABCD中， . 极化恒等式适用于不容易直接求的数量积的计算（不易找基底或不好建系）或涉及数量积的最值与范围问题。破解这类题的常用的方法： ①转化为容易计算的线段长度问题； ②利用极化恒等式将多变量转化为单变量，再利用数形结合、函数等求出单变量的最值与范围。 ③向量的起点为动点或起点终点都为动点，常选择一个点或线段长度是固定的，则将动点问题进行了转化成线段长度或轨迹问题解决。 【应用1】在圆的内接四边形ABCD中,AD=2,CD=4,BD是圆的直径,则= 【答案】-12 【解析】法一　由题知∠BAD=∠BCD=90°,AD=2,CD=4,所以= ==||||cos∠BDA-||||cos∠BDC=||2-||2=4-16=-12. 法二　如图所示,因为BD是直径,所以AB⊥AD,CB⊥CD.由平面四边形对角线向量定理,可得= 22-42=-12,即=-12.故答案为-12. 教材挖掘拓展五：3个工具的应用：　单位圆·向量·三角函数 【链接教材】人教A版必修第一册P215图5.5－1、必修第二册P35例12 关于两角差的余弦公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，在单位圆中，利用旋转对称与两点间的距离公式给出了证明．学习了向量知识后，在单位圆中，利用向量工具再次作了如下的证明． 【链接教材】（必修第二册P35例12）用向量方法证明两角差的余弦公式. 证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则，. 由向量数量积的坐标表示，有. 设与的夹角为，则. 所以. 另一方面，由图6.3-20（1）可知，；由图6.3-20（2）可知，.于是，.所以. 于是. 以上内容说明，单位圆、向量、三角函数是和谐统一的整体，体现了知识的互联互通． 【应用1】(2023·全国甲卷) 向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为,所以,即,即,所以.如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高,所以, , .故选:D. 【应用2】(2023·全国甲卷T12)己知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 教材挖掘拓展六：三角形四心问题 【链接教材】　(人教A版必修第二册P61T15)已知△P1P2P3，向量，，满足条件＋＋＝0，||＝||＝||.求证：△P1P2P3是等边三角形． [证明]　因为＋＋＝0，所以＋＝－， 所以(＋)2＝(－)2， 即||2＋||2＋2||||cos ，＝||2. 又||＝||＝||，所以cos〈，〉＝－， 又〈，〉∈[0，π]，所以，＝. 同理〈，〉＝〈，〉＝. 故||＝||＝||，即P1P2＝P2P3＝P1P3， 所以△P1P2P3为等边三角形． 【链接教材】（必修二P52习题6.4复习巩固T1） 若非零向量与满足，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】， 的角平分线与垂直， ，， ，， 为等边三角形．故选：D． 【链接教材】（必修二P52习题6.4复习巩固T2）已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 【答案】C 【解析】，则点O到的三个顶点距离相等， O是的外心. ，， 设线段AB的中点为M，则，由此可知N为AB边上中线的三等分点(靠近中点M)，所以N是的重心. ，. 即，同理由，可得. 所以P是的垂心.故选：C. 【拓展】关于四心的向量关系式： （1）O是的外心； （2）O是的重心； 变式：为△ABC的重心(P是平面上任意点). （3）O是的垂心； （4）O是的内心.(其中 为的三边) （5）设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心; （6）设，则向量必平分∠BAC的邻补角 （7）设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心 （8）△ABC的外心、重心、垂心共线，即∥ 证明： ( 图 )设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心. （1）若为的外心，为垂心求证：。作直经，连，,有，，，，，故，，故是平行四边形， 故 （2）若为的外心，G为重心求证： 证明 ∵G是△ABC的重心∴==，即 由此可得.(反之亦然(证略)) 由（1），由（2）∴，所以O、G、H三点共线． 【应用1】设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，满足（）.( )=0,则P点的轨迹一定过△ABC的( ). A. 重心 B、外心 C、内心D、垂心 析:由题意=0,即PA⊥BC,P必过垂心,选D 【应用2】已知分别为的三个内角的对边，，且，为内一点，且满足，则 . 【解析】， ，，，满足，所以为的重心,取BC中点为D，则，， ， . 教材挖掘拓展七：妙用奔驰定理快速解平面向量问题 奔驰定理：如图，已知O是内一点，则. 特殊情况： 当点O为三角形的重心时： 当点O为三角形的外心时，； 当点O为三角形的内心时：. 奔驰定理适用于题干中有或能表示出类似破解此类题的关键是： 【应用1】若外接圆圆心为O，半径为8，，则方向上的投影为____. 【解析】方法一（奔驰定理） ∵，∴由奔驰定理得=3：2：2, 且O与A位于BC两侧，，， 方向上的投影为. 方法二（几何法） 设BC中点为D，∵， ∴，且平分BC，. 【关键提醒】注意奔驰定理中，向量系数都为正数时，点O在内，否则点O在外.当所有向量系数有负数时，仍然满足系数绝对值之比为对应面积之比. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 教材挖掘拓展6 平面向量 教材挖掘拓展一：向量共线定理的推论 【链接教材】向量共线定理的推论：已知，则A、B、C三点共线，反之亦然，其前提是不共线（基底） 【应用1】分别为等差数列{}，{}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且则实数的取值为 （ ） A. B. C. D. 【应用2】（安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考（10月）改编）已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若.过点任意作一条动直线交射线于两点，，则的最小值为 教材挖掘拓展二：向量三角形不等式 【链接教材】向量三角形不等式：，此不等式适用于求向量模的最值或范围. 【应用1】(2024·济南模拟)已知单位向量e1,e2,…,e2 024,则|e1+e2+…+e2 024|的最大值是　　　　,最小值是　　　　.  【应用2】已知点A，B，C在以原点O为圆心的单位圆上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为 (　　) A．6 B．7 C．8 D．9 教材挖掘拓展三：利用平行四边形对角线定理 【链接教材】（必修二P39例2） 平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.（注意：这是必修五教材上的一个例题证明）即：，该定理适用于求模的值或最值。运用的关键是：（1）利用，己知中的三个量的值，求第四个值。（2）利用平行四边形对角线定理构造等式解决模的最值或范围问题。 【应用1】已知共面向量满足，，且；若对每一个确定的向量，记（）的最小值，则当变化时，的最大值为 （　　） A. B. 2 C. 4 D. 6 教材挖掘拓展四：用极化恒等式解平面向量问题 极化恒等式：. 三角形模型中：如图，在中，D为BC中点，. 平行四边形模型：如图，在平行四边形ABCD中， . 极化恒等式适用于不容易直接求的数量积的计算（不易找基底或不好建系）或涉及数量积的最值与范围问题。破解这类题的常用的方法： ①转化为容易计算的线段长度问题； ②利用极化恒等式将多变量转化为单变量，再利用数形结合、函数等求出单变量的最值与范围。 ③向量的起点为动点或起点终点都为动点，常选择一个点或线段长度是固定的，则将动点问题进行了转化成线段长度或轨迹问题解决。 【应用1】在圆的内接四边形ABCD中,AD=2,CD=4,BD是圆的直径,则= 教材挖掘拓展五：3个工具的应用：　单位圆·向量·三角函数 【链接教材】人教A版必修第一册P215图5.5－1、必修第二册P35例12 关于两角差的余弦公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，在单位圆中，利用旋转对称与两点间的距离公式给出了证明． 【链接教材】（必修第二册P35例12）用向量方法证明两角差的余弦公式. 【应用1】(2023·全国甲卷) 向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【应用2】(2023·全国甲卷T12)己知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ） A． B． C． D． 教材挖掘拓展六：三角形四心问题 【链接教材】　(人教A版必修第二册P61T15)已知△P1P2P3，向量，，满足条件＋＋＝0，||＝||＝||.求证：△P1P2P3是等边三角形． 【链接教材】（必修二P52习题6.4复习巩固T1） 若非零向量与满足，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【链接教材】（必修二P52习题6.4复习巩固T2）已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心 【拓展】关于四心的向量关系式： （1）O是的外心； （2）O是的重心； 变式：为△ABC的重心(P是平面上任意点). （3）O是的垂心； （4）O是的内心.(其中 为的三边) （5）设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心; （6）设，则向量必平分∠BAC的邻补角 （7）设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心 （8）△ABC的外心、重心、垂心共线，即∥ 【应用1】设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，满足（）.( )=0,则P点的轨迹一定过△ABC的( ). A. 重心 B、外心 C、内心 D、垂心 【应用2】已知分别为的三个内角的对边，，且，为内一点，且满足，则 . 教材挖掘拓展七：妙用奔驰定理快速解平面向量问题 奔驰定理：如图，已知O是内一点，则. 特殊情况：当点O为三角形的重心时： 当点O为三角形的外心时，；当点O为三角形的内心时：. 奔驰定理适用于题干中有或能表示出类似破解此类题的关键是： 【应用1】若外接圆圆心为O，半径为8，，则方向上的投影为____. 学科网（北京）股份有限公司 $$