2024-2025学年人教版八年级数学上册 点拨训练第15章 第04讲 分式的乘除

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第15章 第04讲 分式的乘除 学习目标 1.掌握分式的乘除运算法则. 2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算． 重点：分式的乘除法法则的运用. 难点：进行分式的乘除运算. 老师告诉你 1. 乘法、除法是同级运算，进行分式乘除混合运算时，应按照从左到右的顺序进行运算； 2. 对于除法运算，要先将除法转化为乘法，注意“一变一倒”：即变除号为乘号时，把除式的分子、分母颠倒位置，并注意除式是整式时，可以把整式看成分母为1的式子进行运算。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 、分式的乘法 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，. 【新知导学】 例1-1．计算 的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 例1-2．计算的结果是（　　） A． B． C． D．x 【对应导练】 1．计算：　 　． 2．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 3．先化简 ，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 4． =　 　。 知识点2 、分式的除法 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，. 【新知导学】 例2-1．计算：． 例2-2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【对应导练】 1．若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A． B． C． D． 2．化简：． 3．先化简，再求值：，其中． 知识点3 、分式的乘除混合运算 （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式. （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 【新知导学】 例3-1．化简 结果为（　　） A． B． C． D．1 【对应导练】 1．计算分式结果是（　　） A．-1 B．1 C． D． 2．计算 （1） （2）； （3） 3．计算：； 二、题型训练 1.利用分式乘除法则化简求值 1．先化简，再求值． ，其中x＝- ． 2．先化简： ，再选择一个恰当的x值代入求值． 2.分式乘除混合运算的应用 3．某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（　　） A． B． C． D． 4．化简： ÷ • ． 5．某人从A地步行到B地时，速度为a，再从B地原路返回到A地时，速度为b，则他自A地到B地再返回A地的平均速度为（　　） A． B． C． D． 3.利用分式乘除法则巧计算 （1）巧用分配律 6．先化简，再求值 ，其中x满足 ． （2）巧用结果化简 7．先化简再求值：，其中． （3）巧用整体思想 8． 已知，则的值为（　　） A． B． C．4 D．－4 三、课堂达标 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．已知，则与的积为1的是（　　） A． B． C． D． 2．小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　） A． B． C． D． 3．若，则M为（　　） A． B． C． D． 4．下面是某同学化简分式的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的序号为（　　） ． A． B． C． D． 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 6．现有A，B两个圆，A圆的半径为(a>6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的(　　) A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 7．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 8．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．计算：　 　 ． 10．计算的结果是　 　. 11．计算：　 　． 12．计算： 　 　 . 13．计算 　 　. 三、解答题（每小题8分，共48分） 14．已知，，．求值： （1）； （2）． 15．计算： （1）； （2）． 16．阅读下列 材料，并解答总题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设 则 = ∵对于任意上述等式成立 ∴， 解得， ∴ 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为　 　； （2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数=　 　． 17．化简： （1） （2）化简代数式：，再从，，2，3，中选取一个喜欢的数值代入，并求出代数式的值． 18．（1）若，化简A； （2）若a满足，求A值. 19．“杂交水稻之父”袁隆平团队示范基地的“水稻1号”的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”的试验田是边长为（a-1）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了1000千克． （1）试说明哪种水稻的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第15章 第04讲 分式的乘除（解析版） 学习目标 1.掌握分式的乘除运算法则. 2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算． 重点：分式的乘除法法则的运用. 难点：进行分式的乘除运算. 老师告诉你 1. 乘法、除法是同级运算，进行分式乘除混合运算时，应按照从左到右的顺序进行运算； 2. 对于除法运算，要先将除法转化为乘法，注意“一变一倒”：即变除号为乘号时，把除式的分子、分母颠倒位置，并注意除式是整式时，可以把整式看成分母为1的式子进行运算。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 、分式的乘法 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，. 【新知导学】 例1-1．计算 的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】 = = . 故答案为：A. 【分析】利用分式的乘除法的性质化简即可。 例1-2．计算的结果是（　　） A． B． C． D．x 【答案】A 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】， 故答案为：A. 【分析】利用分式的乘法的计算方法分析求解即可. 【对应导练】 1．计算：　 　． 【答案】 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解：， 故答案为：2a. 【分析】根据分式的乘法法则计算求解即可。 2．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解： ， 故答案为：D． 【分析】利用分式的乘法法则计算求解即可。 3．先化简 ，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】解：原式= = = 当x=2时，原式= . 【知识点】分式的约分；分式的乘除法 【解析】【分析】根据分式化简，然后约分代入数值带出答案即可 4． =　 　。 【答案】-x2y 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】 =﹣x（x﹣y）• =-x2y． 【分析】考查了简单的分式计算． 知识点2 、分式的除法 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，. 【新知导学】 例2-1．计算：． 【答案】解： ． ​​​​​​ 【知识点】分式的乘除法 【解析】【分析】本题考查分式的除法运算．先把除法运算转化为乘法运算可得：原式=，再进行约分可求出答案． 例2-2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的除法 【解析】【解答】解： = = 故答案为：B. 【分析】先将分数的除法转换为乘法，再利用分式的乘法的计算方法分析求解即可. 【对应导练】 1．若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】A、当“□”为时，不是整式，∴A不符合题意； B、当“□”为时，不是整式，∴B不符合题意； C、当“□”为时，不是整式，∴C不符合题意； D、当“□”为时，是整式，∴D符合题意； 故答案为：D. 【分析】将各选项分别代入代数式，再利用分式的除法的计算方法逐项分析判断即可. 2．化简：． 【答案】解： ． 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的乘除法 【解析】【分析】 先利用完全平方公式和平方差公式将式子变形，再将除法转化为乘法，最后约分即可得到答案． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】解：， 当时，代入得： 原式． 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的乘除法；分式的化简求值 【解析】【分析】先利用分式的除法法则将原式变形，再利用完全平方公式和平方差公式进行化简，最后带入的值计算即可 知识点3 、分式的乘除混合运算 （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式. （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 【新知导学】 例3-1．化简 结果为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解：原式 . 故答案为：B. 【分析】首先将除法化为乘法，然后根据分式的乘法法则进行化简. 【对应导练】 1．计算分式结果是（　　） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】， 故答案为：B. 【分析】先将除法转换为乘法，再利用分式的乘法计算方法分析求解即可. 2．计算 （1） （2）； （3） 【答案】（1）解：- （2）解：4 （3）解： 【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算 【解析】【解答】解：（1）原式= = = (2)原式= = = =4； (3)原式= = = = =； 【分析】(1)先计算乘方，再根据分式的乘除运算即可求解； （2）先将分母进行因式分解，再计算括号，最后根据分式的除法运算即可求解； （3）根据分式的混合运算，先计算除法运算，再计算减法运算即可求解. 3．计算：； 【答案】解： 【知识点】分式的乘除法 【解析】【分析】根据分式的乘法，除法运算法则，正确进行运算，即可得出答案。 二、题型训练 1.利用分式乘除法则化简求值 1．先化简，再求值． ，其中x＝- ． 【答案】解：原式 当 时，原式 【知识点】分式的乘除法 【解析】【分析】先将分子分母能分解因式的先分解因式，再约分化简，然后代入求值。 2．先化简： ，再选择一个恰当的x值代入求值． 【答案】解：解：原式= = =﹣x+1。 当x=2时，原式=﹣2+1=﹣1。 【知识点】平方差公式及应用；分式的乘除法 【解析】【分析】将分式通过通分，利用平方差公式，最后约分，化为最简，再将x赋值，代入计算出结果。 2.分式乘除混合运算的应用 3．某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解：由， 故选：D． 【分析】根据题意列出算式，应用平方差公式，再进行约分化简即可 4．化简： ÷ • ． 【答案】解：原式= • • =（a﹣1）• =a+1 【知识点】分式的乘除法 【解析】【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果． 5．某人从A地步行到B地时，速度为a，再从B地原路返回到A地时，速度为b，则他自A地到B地再返回A地的平均速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的乘除法；用代数式表示实际问题中的数量关系 【解析】【解答】设AB之间的距离为S， ∵从A地步行到B地时，速度为a， ∴从A地步行到B地时，时间为：， ∵从B地原路返回到A地时，速度为b， ∴从B地原路返回到A地时，时间为：， ∴自A地到B地再返回A地的平均速度为， 故答案为：D. 【分析】先利用“时间=路程÷速度”求出从A地步行到B地的时间和从B地原路返回到A地的时间，再利用“速度=路程÷时间”列出算式求出自A地到B地再返回A地的平均速度即可. 3.利用分式乘除法则巧计算 （1）巧用分配律 6．先化简，再求值 ，其中x满足 ． 【答案】解：原式= = =x2﹣3﹣2x+2 =x2﹣2x﹣1 由x2﹣2x﹣3=0，得x2﹣2x=3，∴原式=3﹣1=2. 【知识点】分式的乘除法 【解析】【分析】依据已知条件可得到x2﹣2x=3，然后将除法转化为乘法，然后再按照乘法分配律进行计算，然后，再去括号，合并同类项，最后将x2﹣2x=3整体代入求解即可. （2）巧用结果化简 7．先化简再求值：，其中． 【答案】原式 ， 当时，原式． 【知识点】完全平方公式及运用；分式的乘除法；求代数式的值-化简代入求值 【解析】【分析】根据完全平方式将第二个分式分子括号展开，合并同类项，再根据分式的除法进行化简，再将代入原式即可求出答案. （3）巧用整体思想 8． 已知，则的值为（　　） A． B． C．4 D．－4 【答案】C 【知识点】分式的通分；分式的化简求值 【解析】【解答】∵ ∴ ∴ ∴ =4 故答案为 ： C 【分析】本题考查分式的化简求值（分式通分和倒数），常用方法有直接代入，变形后整体带入等。所给等式不能直接求出未知数值，则考虑变形后，整体代入来解题。 三、课堂达标 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．已知，则与的积为1的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解：∵，，∴与的积为1的是． 故选：A． 【分析】根据分式的乘法运算法则求解即可 2．小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式的约分；分式的乘除法 【解析】【解答】解：，. 故答案为：A. 【分析】根据被除数=商除数，可得，再通过分式的约分、整理即可得到答案. 3．若，则M为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解：M=。 故答案为：B。 【分析】根据除法算式各部分之间的关系，可得出M=，然后根据分式除法法则，正确计算即可得出答案。 4．下面是某同学化简分式的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的序号为（　　） ． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】 故C正确，A、B、D错误； 故答案为： C 【分析】分式除法化简，除法转化为乘法，分子分母分别分解因式，约分化简。 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】. 故答案为：C． 【分析】利用分式乘法运算法则计算求解即可. 6．现有A，B两个圆，A圆的半径为(a>6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的(　　) A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解：由题意得：A圆的面积为，B圆的面积为， π（）2÷[π（）2]=． ∴ A圆的面积是B圆面积的倍 . 故答案为：B． 【分析】根据圆的面积公式分别表示出A、B两个圆的面积，进而用A圆面积除以B圆面积，列式求解即可． 7．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】首先将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行计算． ∴原式= 【分析】首先将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行计算。 8．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解：原式． 故答案为：D． 【分析】利用分式的除法计算方法求解即可。 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．计算：　 　 ． 【答案】 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解：. 故答案为：. 【分析】分式的除法，除以一个不为零的数等于乘上这个数的倒数，再运用分式的乘法法则计算即可. 10．计算的结果是　 　. 【答案】 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解： = = 故答案为： 【分析】根据分式的乘除运算即可求出答案. 11．计算：　 　． 【答案】 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解： = = 故答案为：． 【分析】利用分式的乘除法则计算求解即可。 12．计算： 　 　 . 【答案】 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】 . 故答案是： 【分析】利用分式的除法计算方法求解即可。 13．计算 　 　. 【答案】 【知识点】分式的乘除法 【解析】【解答】解： ， ， ， ， 故答案为： . 【分析】首先利用平方差公式以、完全平方公式及提取公因式法对分式的分子、分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，接下来进行约分即可. 三、解答题（每小题8分，共48分） 14．已知，，．求值： （1）； （2）． 【答案】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：由题意知， ． 【知识点】平方差公式及应用；分式的通分；完全平方式 【解析】【分析】解：（1）将m、n直接带入m2+n2，再运用完全平方公式计算即可； （2）将原式通分后代入m、n的值，再运用完全平方公式和平方差公式计算即可. 15．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）解： ． （2）解： ． 【知识点】分式的乘除法；分式的混合运算 【解析】【分析】（1）利用分式的乘除法的计算方法方法和步骤（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）分析求解即可； （2）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可. （1）解： ． （2）解： ． 16．阅读下列 材料，并解答总题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设 则 = ∵对于任意上述等式成立 ∴， 解得， ∴ 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为　 　； （2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数=　 　． 【答案】（1） （2）16、4、2、-10 【知识点】多项式乘多项式；分式的值；分式的乘除法；分式的加减法 【解析】【解答】解：（1） 由分母x－1，可设 则 = ∵对于任意上述等式成立 ∴， 解得， ∴ 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 故答案为： （2） ， ∴ ∴ ∴. 当的值为整数时，的值也是整数， 所以x-3的值可以取13，1，-1，-13， 从而x=16、4、2、-10. 故答案为：16、4、2、-10. 【分析】（1）按照给的例题步骤设，求出a和b的值，然后计算化简即可. （2）按照例题的步骤设，求出a和b的值，然后代入得拆分后的形式，根据题意，当的值为整数时，分母只能取13，1，-1，-13，从而可得对应的x的取值. 17．化简： （1） （2）化简代数式：，再从，，2，3，中选取一个喜欢的数值代入，并求出代数式的值． 【答案】（1）解： ； （2）解： = ， 要使分式有意义，则且且， 不能为2，，3， 当时，原式． 【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值 【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算的计算方法求解即可； （2）先利用分式的混合运算的计算方法化简，再将x的值代入计算即可。 18．（1）若，化简A； （2）若a满足，求A值. 【答案】（1）解： ； （2）解：满足， ，即或， 根据（1）的化简过程可知，则得， . 【知识点】分式的乘除法；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）对第二个分式的分子、分母进行分解，将除法化为乘法，再根据分式的乘法法则即可对原式进行化简； （2）利用因式分解法可求出a的值，然后由分式有意义的条件选取一个a值代入计算即可. 19．“杂交水稻之父”袁隆平团队示范基地的“水稻1号”的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”的试验田是边长为（a-1）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了1000千克． （1）试说明哪种水稻的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】（1）解：∵“水稻1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”小麦的试验田是边长为（a−1）米的正方形， ∴“水稻1号”小麦的试验田的面积＝a2−1； “水稻2号”小麦的试验田的面积＝（a−1）2， ∵a2−1−（a−1）2＝a2−1−a2＋2a−1＝2（a−1）， 由题意可知，a＞1， ∴2（a−1）＞0， 即a2−1＞（a−1）2， ∵两块试验田的水稻都收获了1000千克， ∴“水稻2号”小麦的试验田小麦的单位面积产量高； （2）解：∵“水稻1号”小麦的试验田的面积＝a2−1； “水稻2号”小麦的试验田的面积＝（a−1）2，两块试验田的小麦都收获了1000千克， ∴“水稻2号”小麦的试验田小麦的单位面积产量高， ∴=． 答：单位面积产量高是低的倍． 【知识点】分式的乘除法 【解析】【分析】（1）分别求出两种水稻的单位面积产量，再比较即可； （2）利用“水稻2号” 单位面积产量除以“水稻1号” 单位面积产量即得结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$