精品解析：贵州省铜仁市沿河土家族自治县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

秘密★启用前 沿河土家族自治县2024－2025学年度第一学期期中学科素养提升训练 八年级数学试题 （考试时间为120分钟 满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列是分式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列运算正确的是（　　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，是的一条中线，是的一条角平分线，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 6. 下列命题中，假命题是（ ）． A. 对顶角相等 B. 已知直线a，b，c，若，则 C. 互补的角是邻补角 D. 同角的余角相等 7. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩为原来的大3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 8. 如图，在中，已知是边上的中线，点E是的中点，且，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知时，分式无意义，则□所表示的代数式是（ ） A. B. C. D. 10. 某中学开展“徒步研学”活动，小新和王老师同时从学校出发到离学校9千米的公园开展研学活动，他们的路线一致，小新随班步行，王老师由于要带班级饮用水需乘车，已知车的速度是步行速度的倍．王老师比小新早80分钟到达目的地，设小新步行速度为x米/分钟，则依题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，对于，小颖作如下操作：①分别以A、C为圆心，大于长为半径在的两侧画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线交于E、F两点；连接，恰好，已知于D，周长为16，，则长为（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 10 12. 如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 因式分解：__________ 14. 如图，、相交于点C，且，在不添加任何辅助线的前提下，只添加一个条件就能证明，你添加的条件是__________________．（写出一个条件即可） 15. 若关于的分式方程有增根，则的值是_________． 16. 如图，为等腰直角三角形，在的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是______． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算与求值： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 如图，在正方形网格上有一个，、、均为小正方形的顶点． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 20. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 沿河沙子“空心李”，曾荣获中国国家地理标志产品称号，成为沿河土家族自治县沙子街道果农的致富果．小明的爸爸种植了100棵空心李树，今年已进入收获期，小明帮爸爸分析收成情况．收获时，小明随机选取了部分空心李树作为样本，对所选取的每棵树上的空心李产量进行统计，A类：棵，B类：棵，C类：棵，D类：棵，分析数据并绘制了如下统计图． 平均数 中位数 众数 a b c 解决问题： （1）补全条形统计图； （2）填空： 上述表中_________，_________； （3）求表中a的值，并估算小明的爸爸种植的这100棵核桃树的总产量． 22. 对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 23. 如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题． （1）_________；_________；（用含t的代数式表示） （2）如图①，点P与点Q运动的过程中，能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理． （3）如图②，点D是的中点，连接、，点P、点Q在运动过程的某一时刻与全等，求此时的长． 24. 某开发公司生产的1920件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙厂单独加工完这批产品比甲厂单独加工完这批产品多用20天，而乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的，公司需付甲厂加工费用每天120元，需付乙厂加工费用每天80元． （1）设甲每天加工的数量为x个，则乙每天加工的数量为_________个； （2）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？ （3）公司制定产品加工方案如下：方案一：由甲单独完成；方案二：由乙单独完成；方案三：由甲、乙两个厂家合作完成；无论哪种方案，在加工过程中公司都将派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天20元的午餐补助费．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 25. 【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有________；线段和的数量关系是________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 沿河土家族自治县2024－2025学年度第一学期期中学科素养提升训练 八年级数学试题 （考试时间为120分钟 满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列是分式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，一般的，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义对每个选项进行判断即可． 【详解】解：A、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意； B、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意； C、分母中有字母，是分式，故本选项符合题意； D、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边之间关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先根据三角形三边之间关系求出第三条边的范围，再看四个选项中哪一个符合条件即可． 【详解】解：设第三边长为，由题意得：， ， A，B，C，D四个选项中只有D选项符合， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后即可求解． 【详解】A、与不是同类项，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 4. 如图，已知，是的一条中线，是的一条角平分线，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，故A，B，D正确； 无法判断，故C不正确． 故选C． 5. 我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示形式即可得． 【详解】解： 故选：A． 6. 下列命题中，假命题是（ ）． A. 对顶角相等 B. 已知直线a，b，c，若，则 C. 互补的角是邻补角 D. 同角的余角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判定，掌握对顶角的性质，平行线的判定，邻补角的定义，余角的性质等知识是解题的关键． 根据对顶角相等，平行性的性质，邻补角的定义，同角的余角相等的知识进行判定即可求解． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意； B、已知直线a，b，c，若，则，是真命题，不符合题意； C、两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这两个叫互为邻补角，故原命题是假命题，符合题意； D、同角的余角相等，是真命题，不符合题意； 故选：C ． 7. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩为原来的大3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，已知是边上的中线，点E是的中点，且，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积． 根据三角形中线的性质可得，． 【详解】∵在中，是边上的中线， ∴ ∵点E是的中点 ∴ ∴阴影部分面积是． 故选：B． 9. 已知时，分式无意义，则□所表示的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分母为零分式无意义可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，分式无意义， ∴， 故选：A． 10. 某中学开展“徒步研学”活动，小新和王老师同时从学校出发到离学校9千米的公园开展研学活动，他们的路线一致，小新随班步行，王老师由于要带班级饮用水需乘车，已知车的速度是步行速度的倍．王老师比小新早80分钟到达目的地，设小新步行速度为x米/分钟，则依题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解决问题的关键．设小新步行速度为米/分钟，则王老师的速度是米/分钟，根据王老师比小新早80分钟到达目的地，列方程即可． 【详解】解：设小新步行速度为x米/分钟，则依题意可列出方程为 故选：C． 11. 如图，对于，小颖作如下操作：①分别以A、C为圆心，大于长为半径在的两侧画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线交于E、F两点；连接，恰好，已知于D，周长为16，，则长为（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质．由作图痕迹知直线是线段的垂直平分线，推出，根据等腰三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：由作图痕迹知直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵周长为16，， ∴，即， ∴， 故选：A． 12. 如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】通过证明，可判断①正确；通过证明，推出，，可判断③正确；通过证明为等边三角形，可判断②正确；通过，可判断④错误；在上取点H，令，构造等边三角形，证明，推出，可判断⑤正确． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，，， ， ， 又，， ， ，故①正确； ， ，即， 又，， ， ，，故③正确； ，， 为等边三角形， ， ，故②正确； ， ， ， ， ，故④错误； 如图，在上取点H，令， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， 又，， ， ， ， 故⑤正确， 综上可知，正确的有①②③⑤， 故选C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质等，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如图，、相交于点C，且，在不添加任何辅助线的前提下，只添加一个条件就能证明，你添加的条件是__________________．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先根据对顶角相等可得，再根据定理即可得出答案． 【详解】解：由对顶角相等得：， 由定理可知，添加能证明， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．去分母后代入增根即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，原方程有增根，那么或，即 将代入，可得 解得 故答案为：． 16. 如图，为等腰直角三角形，在的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是______． 【答案】##117度 【解析】 【分析】作点A关于直线的对称点，连接并延长交于点，交于点D，则点就是使的值最大的点，，连接，根据题意得出，再由等角的余角相等及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接并延长交于点，交于点D，则点就是使的值最大的点，，连接， 为等腰直角三角形， ，， ∵ ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及等角的余角相等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算与求值： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和分式的化简求值， （1）先化简绝对值，计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加减即可； （2）先将括号里的异分母分式化简为同分母分式，再进行加减运算，然后计算乘除；最后利用整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 当时，原式 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程， （1）原方程化简得：，解方程并检验即可求解． （2）方程两边同乘最简公分母，得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【小问1详解】 解： ∴ 即 ∴ ∵ ∴ 解得： 检验：把代入原方程，得左边右边，因此是原方程的解． 【小问2详解】 方程两边同乘最简公分母，得 解得 检验：把代入最简公分母得，所以是原方程的增根． 因此原方程无解． 19. 如图，在正方形网格上有一个，、、均为小正方形的顶点． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1） 解：分别标出、、关于的对称点、、，然后依次连接得到，如下图为所求： （2）3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，利用网格求解三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别标出、、关于的对称点、、，然后依次连接得到； （2）借助网格，可知知道以为底时，高为2，从而计算出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为： 故答案为：3 20. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明： 即 在和中， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理； （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 又 21. 沿河沙子“空心李”，曾荣获中国国家地理标志产品称号，成为沿河土家族自治县沙子街道果农的致富果．小明的爸爸种植了100棵空心李树，今年已进入收获期，小明帮爸爸分析收成情况．收获时，小明随机选取了部分空心李树作为样本，对所选取的每棵树上的空心李产量进行统计，A类：棵，B类：棵，C类：棵，D类：棵，分析数据并绘制了如下统计图． 平均数 中位数 众数 a b c 解决问题： （1）补全条形统计图； （2）填空： 上述表中_________，_________； （3）求表中a的值，并估算小明的爸爸种植的这100棵核桃树的总产量． 【答案】（1） 补全统计图如下： （2）65；60 （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数，众数，中位数，用样本估计总体，扇形统计图与条形统计图信息相关联： （1）用产量为的核桃树数量除以其数量占比求出选取的核桃树，进而求出产量为的核桃树，进而补全统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）先根据加权平均数的定义求出a的值，进而求出总产量即可． 【小问1详解】 解：棵， ∴一共选取了20棵核桃树， ∴产量为的核桃树有棵； 【小问2详解】 解：∵产量为的核桃树最多， ∴众数， 将这20棵核桃树的产量从低到高排列，处在第10名和第11名的产量分别是、， ∴中位数， 故答案为：65；60； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， ∴估算小明的爸爸种植的这100棵核桃树的总产量为． 22. 对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】（1） 解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 23. 如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题． （1）_________；_________；（用含t的代数式表示） （2）如图①，点P与点Q运动的过程中，能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理． （3）如图②，点D是的中点，连接、，点P、点Q在运动过程的某一时刻与全等，求此时的长． 【答案】（1）； （2）能， （3）cm 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，几何动点问题，解题的关键是： （1）根据路程=速度×时间即可求解； （2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出方程，可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 故答案为：，； 【小问2详解】 解∶能， 理由如下：∵是等边三角形． ∴， ∴当时，是等边三角形． 即 解得 因此当时，是等边三角形； 【小问3详解】 解：设点P、点Q运动t秒后，与全等． 由题意可得，， ∵是等边三角形，点D是的中点 ∴，， ①当时，， 即， 解得， ∴； ②当，时，， 即， 这两个方程组无解且不符合题意，故不满足， 综上，当时，． 24. 某开发公司生产的1920件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙厂单独加工完这批产品比甲厂单独加工完这批产品多用20天，而乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的，公司需付甲厂加工费用每天120元，需付乙厂加工费用每天80元． （1）设甲每天加工的数量为x个，则乙每天加工的数量为_________个； （2）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？ （3）公司制定产品加工方案如下：方案一：由甲单独完成；方案二：由乙单独完成；方案三：由甲、乙两个厂家合作完成；无论哪种方案，在加工过程中公司都将派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天20元的午餐补助费．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 【答案】（1） （2）甲每天加工的数量为48个，则乙每天加工的数量为32个 （3）解：既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作完成， 方案一：甲单独加工完成需要（天） 费用为：元 方案二：乙单独加工完成需要（天） 费用为：元 方案三：乙合作完成需要（天） 费用为：元 所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作完成． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，有理数混合运算的应用，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲每天加工新产品件，根据乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的求解即可； （2）根据题意列分式方程求解即可； （3）分三种情况分别计算后比较即可． 【小问1详解】 解：设甲每天加工新产品件， ∵乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的 ∴乙每天加工的数量为个； 【小问2详解】 解：根据题意得： 解得： 检验：把代入，符合题意 则 答：甲每天加工的数量为48个，则乙每天加工的数量为32个； 【小问3详解】 略 25. 【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有________；线段和的数量关系是________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，，，直接写出的长． 【答案】 （1）， （2），理由如下： 在和中， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得，进而证得，根据全等三角形的性质证得； （2）根据题意可得，进而证得，根据全等三角形的性质证得和，利用三角形外角和定理证得，进而证得； （3）作、，连接、，证得 是等边三角形，得到、，进而证得、、三点共线，则，然后证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得，求解的长度即可． 【详解】（1）解： 在和中， ， 故答案为：，； （2）略 （3）作、，连接、，如图： 是等边三角形 、 、、三点共线 在和中 、 答：的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $