第十四章 整式的乘法与因式分解综合训练 2024—2025学年人教版数学八年级上册

整式的乘法与因式分解综合训练 一、选择题： 1.下列各式中，计算结果为的是  (    ) A. B. C. D. 2.下列各式是完全平方式的是(    ) A. B. C. D. 3.为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 4.已知，，则等于  (    ) A. B. C. D. 5.若，则的值为    ． A. B. C. D. 6.若为正整数，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.若，则的值为  (    ) A. B. C. D. 8.如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是(    ) A. B. C. D. 9.若有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是(    ) A. B. C. D. 11.下列计算错误的是(    ) A. B. C. D. 12.若计算的结果中不含有项，则的值为  (    ) A. B. C. D. 13.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 14.若有理数，满足，则的值等于  (    ) A. B. C. D. 15.计算的结果为  (    ) A. B. C. D. 16.一种计算机每秒可做次运算，则它工作秒运算的次数为  (    ) A. B. C. D. 17.若，则等于  (    ) A. B. C. D. 18.如果一个三角形的底边长为，底边上的高为，那么这个三角形的面积为  (    ) A. B. C. D. 19.已知，，则等于    ． A. B. C. D. 20.如图，现有，两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为(     ) A. B. C. D. 21.计算的结果为(     ) A. B. C. D. 22.已知，，，那么，，的大小关系为     ． A. B. C. D. 23.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是(     ) A. B. C. D. 二、填空题 24.已知，，则          ． 25.计算的结果是          ． 26.已知，则的值是          ． 27.已知，则的值是          ． 28.已知，，是的三边，，则的形状是          ． 29.关于的二次三项式是一个完全平方式，则            ． 30.若，，则的值为          ． 31.定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，化简          ． 32.用科学记数法表示：          ． 三、计算题：本大题共8小题，共48分。 33.分解因式： ； (3) ； (4) 34.分解因式： ； ． 35.计算： ； ． 36.把下列各式分解因式： ； ； ． 37.把下列多项式分解因式： ； ； ； ； ； ； ． 38.计算： ． 39.计算： ； ． 40.计算： ． 四、解答题： 41.已知，，求下列式子的值： ； ． 42.先化简，再求值：，其中． 43.若，求的值． 44.先化简，再求值：，其中，． 45.已知，求下面各式的值：；  ． 已知，求和的值． 46.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如图： 求捂住的多项式 若，，求捂住的多项式的值． 47.先化简，再求值： ，其中，． 48.先化简，再求值：，其中． 49.证明能被整除． 50.先化简，再求值：，其中，； 已知，求，的值． 51.已知是一个多项式，单项式等于，某同学计算时，把误写成，得出的结果是，求． 52.阅读下面的解答过程： 求的最小值． 解：． 因为，即的最小值是， 所以的最小值是． 仿照上面的解答过程，求的最小值和的最大值． 53.计算：． 54.阅读下列材料并完成问题： 材料一：将一个形如的二次三项式分解因式时，若能满足且，则可以把因式分解成例如： ； ． 根据材料一，把和分解因式． 材料二：阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”如图； 第三步：发现第个“交叉相乘之和”的结果等于一次项，即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： 将多项式进行因式分解，可以表示为________； 若可分解为两个一次因式的积，请画出“十字图”，并求整数的所有可能值． 材料三：分解因式：． 解：将看成一个整体，令， 则原式． 再将还原，得原式． 上述解题用到了“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你利用上述方法解答下列问题： 分解因式：； 分解因式：． 55.先观察下面的解题过程，然后解答问题： 化简：． 解：原式 ． 化简：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 整式的乘法与因式分解综合训练答案解析 一、选择题：1.下列各式中，计算结果为的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】  解：，故错误； B.，故正确； C.，故错误； D. ，故错误． 故选B． 2.下列各式是完全平方式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  3.为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  4.已知，，则等于  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】 解：，将，代入，可得 ， 则， 所以， 5.若，则的值为    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解答】 解：， ，， 解得，， ． 6.若为正整数，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】 解：，故选D． 7.若，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】 解：， ． 故选B． 8.如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  9.若有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：有意义，则， 解得：． 10.下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  11.下列计算错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  12.若计算的结果中不含有项，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  13.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，故选项A不合题意； ，故选项B不合题意； ，故选项C不合题意； ，故选项D符合题意． 14.若有理数，满足，则的值等于  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】 解：， ，即， ，解得，， ， 15.计算的结果为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  16.一种计算机每秒可做次运算，则它工作秒运算的次数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  17.若，则等于  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解： ， ， 解得． 故选：． 18.如果一个三角形的底边长为，底边上的高为，那么这个三角形的面积为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  19.已知，，则等于    ． A. B. C. D. 【答案】C  【解答】 解：，， ，即，解得：． 20.如图，现有，两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】解：依题意，  ，   类卡片的面积为  ， 需要  类卡片张数为  ， 21.计算的结果为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】 解： ． 22.已知，，，那么，，的大小关系为    ． A. B. C. D. 【答案】B  23.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； B.，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意； C.，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意； D.，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意． 故选：． 2、 填空题： 24.已知，，则          ． 【答案】  【解析】解：，将，代入，可得： ， 则， 所以， 25.计算的结果是          ． 【答案】  26.已知，则的值是          ． 【答案】  【解答】 解： 27.已知，则的值是          ． 【答案】  28.已知，，是的三边，，则的形状是          ． 【答案】等腰三角形  【解析】解：可变为， ， 因为，，为的三条边长， 所以，的关系要么是，要么， 当时，，，不合题意； 当时，，，不合题意． 那么只有一种可能． 所以此三角形是等腰三角形， 29.关于的二次三项式是一个完全平方式，则            ． 【答案】  【解答】 解：关于的二次三项式是一个完全平方式， ， ． 故答案为：． 30.若，，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：，， ， ， ， ， 31.定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，化简          ． 【答案】  32.用科学记数法表示：          ． 【答案】  三、计算题：33.分解因式： ； ； 【答案】(1)解：x2-3x-4=​​​​​​​(x+1)(x-4)；  (2)解：2mx2-4mxy+2my2=2m=2m(x-y)2  (3)解：-2a2+4a-2=  (4)解：n2(m-2)-n(2-m)=.  34.分解因式： ； ． 【答案】(1)解：原式＝a2(a2-9b2)  ＝a2(a+3b)(a-3b)．  (2)原式＝(3a+2b+2a-b)(3a+2b-2a+b)  ＝(5a+b)(a+3b)．  35.计算： ； ． 【答案】(1)6x15  (2)-7x9  36.把下列各式分解因式： ； ； ． 【答案】(1)-y2(x-3)2  (2)(x+3)(x+6)  (3)2n(6m+5n)  37.把下列多项式分解因式： ； ； ； ； ； ； ． 【答案】(1)（x－2）（x－6）  (2)（x＋3）（x＋5）  (3)（x－2y）（x＋4y）  (4)（a＋b）（a＋3b）  (5)（x－3）（x＋1）（x－4）（x＋2）  (6)x（x＋y）（x－6y）  (7)（x＋2）（x－5）  38.计算： ． 【答案】解：． ．   39.计算： ； ． 【答案】(1)解：原式＝(60-1)(60+1)  ＝602-12  ＝3599；  (2)解：原式＝(100+3)2  ＝1002+2×3×100+32  ＝10000+600+9  ＝10609．  40.计算： ． 【答案】解：   原式 原式 ． 四、解答题： 41.已知，，求下列式子的值： ； ． 【答案】(1)解：∵a+b=4，ab=2， ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=16． ∴a2+b2=16-2ab=16-4=12．  (2)解：∵a+b＝4，ab＝2， ∴(a-b)2=.  42.先化简，再求值：，其中． 【答案】解：原式 ， 当时，原式．  43.若，求的值． 【答案】解：由幂的运算性质，， ，，．  44.先化简，再求值：，其中，． 【答案】解：原式 当，时，原式．  45.已知，求下面各式的值：；  ． 已知，求和的值． 【答案】(1)①∵，∴  ②∵，∴．∴  (2)∵易知x≠0，∴x2+3x-1＝0的两边同时除以x，得．∴．∴​​​​​​​  46.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如图： 求捂住的多项式 若，，求捂住的多项式的值． 【答案】解：设捂住的多项式为， 则． ，， ．   47.先化简，再求值： ，其中，． 【答案】解： ． 当，时， ．  48.本小题分 先化简，再求值：，其中． 【答案】解：原式            ． 当时， 原式         ． 49.本小题分 证明能被整除． 【答案】证明： ， 因为是的整数倍， 所以能被整除．  50.先化简，再求值：，其中，； 已知，求，的值． 【答案】解：原式 当，时，原式． 解：因为， 所以，解得：．  51.已知是一个多项式，单项式等于，某同学计算时，把误写成，得出的结果是，求． 【答案】解：根据题意得：， ， ， 则 ．  52.阅读下面的解答过程： 求的最小值． 解：． 因为，即的最小值是， 所以的最小值是． 仿照上面的解答过程，求的最小值和的最大值． 【答案】解：， ， ． 则的最小值是． ， ， ， 的最大值是．  53.计算：． 【答案】解：原式， ， ．  54.阅读下列材料并完成问题： 材料一：将一个形如的二次三项式分解因式时，若能满足且，则可以把因式分解成例如： ； ． 根据材料一，把和分解因式． 材料二：阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”如图； 第三步：发现第个“交叉相乘之和”的结果等于一次项，即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： 将多项式进行因式分解，可以表示为________； 若可分解为两个一次因式的积，请画出“十字图”，并求整数的所有可能值． 材料三：分解因式：． 解：将看成一个整体，令， 则原式． 再将还原，得原式． 上述解题用到了“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你利用上述方法解答下列问题： 分解因式：； 分解因式：． 【答案】(1)x2-6x+8＝(x-2)(x-4)．  x2+7x-8＝(x-1)(x+8)．  (2)①(2x-1)(x-2) ②“十字图”如下： 整数p的所有可能值为16，8，-8，-16．   (3)①令x-y＝A，  则原式＝A2+4A+3＝(A+1)(A+3)，  所以(x-y)2+4(x-y)+3＝(x-y+1)(x-y+3)． ②令m2+2m＝B，  则原式＝B(B-2)-3  ＝B2-2B-3  ＝(B+1)(B-3)，  所以原式＝(m2+2m+1)(m2+2m-3)  ＝(m+1)2(m-1)(m+3)．   55.先观察下面的解题过程，然后解答问题： 化简：． 解：原式 ． 化简：． 【答案】解：原式．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$