经典奥数-优化策略问题17种类型-小升初奥数应用题讲义

小升初经典奥数——优化策略17种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ 小学优化问题‌主要涉及如何通过合理的安排和决策，达到资源的最优配置，从而在有限资源下实现最大效益。 通常解决这类问题要结合实际，联系生活。通过假设、倒推、转化、列举、计算、对比、试错等手段，选择最佳方法。有些问题，从部分思考，再全面解决问题，得到最佳对策。下面我把优化问题划分为三大块，归纳为十五种类型，逐一讲解。 一、运筹问题（六种）。 二、策略问题（六种）。 三、最值问题（五种）。 烙饼问题 用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟(规定正反面各需要1分钟)。问煎5个饼至少需要多少分钟? 【思路导航】计算规律：单独烙熟每张饼时间×饼数÷每锅的可烙数量 ①先将两个饼同时放入锅中一起煎，正反都煎，需要2分钟煎熟； ②剩下3个饼需要优化方法：将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。 2×1+1×2×3÷2=5(分钟) 答:煎5个饼至少需要5分钟。 或2×5÷2=5（分钟） 【小结】 ‌每一次尽可能让锅里按要求放最多张饼，别让锅有空余，这样既没有浪费资源，又节省了时间。 公式：时间=每块饼的时间×饼数÷每锅的可烙数量=（每面时间×2）×饼数÷每锅的可烙数量。（除不尽就用进一法取整数） 1.用一只平底锅煎饼，每次只能放4张饼，两面都要煎，每面需要2分钟。问煎6个饼至少需要多少分钟? 2.用一只平底锅煎饼，每次只能放3张饼，两面都要煎，每面需要2分钟。问煎20个饼至少需要多少分钟? ‌3.用面包机烤面包时，第一面烤2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟，小勤的面包机一次只能放2片，他每天早上吃3片面包，至少需要烤多少分钟? 沏茶问题 妈妈让小红给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要5分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要0.5分钟。为了尽快要让客人喝上茶，最少需要多少分钟? 【思路导航】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。 水壶不洗，不能烧开水，所以洗水壶和烧开水不能同时进行；而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。为此可以这样安排:先洗水壶用1分钟，接着烧开水用5分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就茶。 5+1=6(分钟) 答:最少需要6分钟。 【小结方法】 沏茶问题:要设计一个最合理的方案，使得沏茶时间最短。 合理安排时间的方法： ①定先后顺序；②找同时进行；③计算时间。 要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，把能同时进行的工作安排在同一时间段内进行，但要注意同时进行的两项任务应瓦不干扰。 1.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情:叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语 30分钟，吃早餐 10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟? 2.小红感冒了，吃完药后要赶快休息，她至少要( )分钟就能去休息。 过程 找杯子倒开水 等开水降温 找感冒药 量体温 时间 1分钟 6分钟 1分钟 5分钟 A. 6 B.7 C.8 3.小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，茶1分钟，小明合理安排以上事情，最少要( )使客人尽快喝茶。 A.7分钟 B.8分钟 C.9分钟 排队等候问题 理发室有一位理发室,同时来了5位顾客, 理发室有甲、乙两位理发师,同时来了5位顾客,根据他们要理的发型,分别需要的时间如下：顾客A:10分;顾客B:12分;顾客C:15分;顾客D:20分;顾客E:24分。怎样安排他们的理发顺序,才能使5个人理发及等候所用的时间总和最少?最少等候的时间是多少? 【思路导航】 ①两位理发师的理发时间尽可能接近； ②先安排时间短的。 甲理发师安排：A、B、D； 乙理发师安排：C、E。 时间：（10×3+12×2+20）+（15×2+24）=128（分钟） 【小结】使等候的总时间最少，由应使用时少的人尽可能先理发。 1.六(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短? 2.甲理发店只有一位理发师，同时来了三位顾客，按他们所要理的发型，甲需要20分钟，乙需要15分钟，丙需要30分钟，要使他们等候的时间的总和最少，应按怎样的顺序理发，他们等候的时间的总和最少是多少分钟？ 找次品问题 质量检测人员在检测9个手机芯片时发现有1个不合格(质量稍轻)，如果用天平找次品方法，我们至少称( )次保证找到这块芯片。（知道次品轻重） A.1 B.2 C.3 D.5 【思路导航】采用分三组原则方法，规律是3n-1≤Y≤3n（Y表示数量、n表示次数）；当知道次品的轻重，次数为n；当不知道次品的轻重，次数为n+1。 ①三分法 第一次，把9个手机芯片分成3份:3个、3个、3个，取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有次品的一份(3个)，取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那个，若天平不平衡，则较轻的为次品； 所以用天平至少称2次能保证找出次品。 ②公式法 因为9=32，指数为2，即2次。 正确解答:B 【小结方法】熟练掌握找次品的解答方法:待测物品在使用三分法分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。 ‌一般地，当知道次品是轻的（或重的）用天平称量法找次品，当研究对象的Y个数满足关系式3n-1≤Y≤3n时，最少要称量n次才能保证找出次品；当不知道次品是轻的（或重的）用天平称量法找次品的次数为n+1次。 例如：有81个玻璃球，其中有一个球比其他的球稍重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢? 因为81=34，所以最少要称4次才能保证找出次品。若不知道次品的轻重，至少4+1=5次才能保证找出次品。 1.下列说法中正确的是( )。 ①用天平找次品，最好把所称的物品分成相等的3份，就能保证用最快的速度找出次品。 ②一把钥匙开一把锁。现在有4把钥匙、4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试6次就一定能配好全部的钥匙和锁。 ③用天平找次品时，所称物品的数目与称的次数成倍数关系。 ④有3个零件，其中1个是次品，但是不知道是轻还是重。用天平称，至少称1次就能够找到。 A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 2.有73个零件，其中有一个比其他的零件稍重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢? 3.81个玻璃球，其中有一个球是次品，但不知道次品玻璃球与标准球的轻重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢? 打电话问题 暑假有一个紧急通知，学校办公室李老师需要通知学校老师到学校开会，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每个老师接到通知后马上通知别人，那么，3分钟最多可以通知多少人？ 【思路导航】通知到的总人数为2的倍数，通知到的人数数为2n-1（n为打电话的次数， 且2n-1≥总人数）。 老师首先用1分钟通知第一个学生，第二分钟由老师和1个学生两人分别通知1个学生，现在通知的一共1+2=3个学生第三分钟可以推出通知的一共3+4=7个学生，由此求解。 解:第一分钟:1位老师通知到1个学生； 第二分钟:1位老师和1位同学通知2个学生，一共通知学生:1+2=3(个)； 第三分钟:1位老师和3位同学通知了4个学生，一共通知学生:1+2+4=7(个)。 答:3分钟最多可通知7个学生 或23-1=7（人） 故答案为:7. 【小结】解决此题要明确:已通知的学生人数加上老师是下一次要通知的学生人数. 1.放学后，老师尽快通知美术组25人第二天带美术工具，如果“一传一”的打电话方式，每1分钟通知1个人，通知到每个人至少需要多少分钟? 2.有一棵树，原来有1个树枝，第一年长出1个树枝，第二年每个树枝上分别长出1个树枝，第三年每个树枝上又都分别长出1个树枝。照这样计算，第五年这棵树上一共有多少个树枝? 3.一个青年志愿队共有20人，在完成一次紧急任务时，队长要尽快通知到另外19个青年志愿者。如果用打电话的方式，每1.5分钟能通知1人，那么，要通知到所有的队员，至少要多少分钟? 4.锅炉厂厂办王主任要把一个紧急通知传达给宿舍区的975人。假定用电话联系,每通知1人需1分,而见面可一次通知60人,但需7分。王主任要使通知在最短时间内完成,最少需多少分? 接送问题 小明和小刚乘火车外出旅行,离开车时间只有2小时,他们家离车站12千米,两人徒步每小时只能走4千米,按着这个速度非误车不可,恰好小华骑自行车经过,就先将小明带了9千米让小明自己步行,接着返回原路接小刚:小华在距离他们家3千米处遇到小刚,带着小刚追小明,这样他们三人同时到达车站,你知道他们在开车前几分钟到达车站的吗? 【思路导航】采用数形结合方法分析（如图所示），小华骑自行车行了9×2-3=15（千米）与小刚相遇，所以二人速度比是15:3=5:1，所以小华骑自行车速度为4×5=20（千米/时），再次返回追上小明时，小华比小明多行了6×2=12（千米），所以小明步行路程为12÷（5-1）=3（千米）。小华齐自行车共行驶的路程为6×3+3×2=24（千米），用时为24÷20=1.2（小时），离开车前还有2-1.2=0.8（小时）=48（分钟） V小华：V小刚=（9×2-3）：3=15：3=5:1 V小华=4×5=20（千米/时） S小华=6×3+3×2=24（千米） 时间=24÷20=1.2（时） 离开车时间=（2-1.2）×60=48（分钟） 答：略 【小结】小刚和小明两人速度相同，所步行的路程也相同。路程中两个接送点把路程划分为三段，三段路程的比分别是1：：1=1:2:1。 解决接送问题的基本方法：假设甲和乙两人从 A 点前往 B 点，车在 T1 时刻从 A 点出发。甲先乘车到 C 点，然后步行到 B 点；车返回 D 点接乙，然后乙乘车到 B 点。通过比例法，可以计算出各段距离的比例关系：AD:CD:BC=1::1，其中N是车的速度与人的速度之比值。 ‌优化策略‌： ①分段处理‌：将问题分解成多个小问题，逐一解决。例如，先解决甲乘车的部分，再解决乙乘车的部分‌。 ‌②速度叠加‌：利用速度叠加的原理，通过比例关系简化计算过程‌。 ‌③对称性‌：利用问题的对称性，简化问题的复杂度‌。 1.甲班和乙班学生同时从学校出发去某个公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐个班的学生。为了使两班学生在最短的时间内达到，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离比是多少? 2.甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观,但只有一辆汽车,一次只能乘坐一个班的学生,为了尽快到达飞机场,两个班商定,由甲班先坐车,乙班先步行,同时出发,甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场,汽车那么立即返回接在途中步行的乙班学生.假设甲、乙两班学生步行速度一样,都为5千米/时,汽车的速度为35千米/时.请问:汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生,才能使两班学生同时到达飞机场? 抢牌问题 爸爸和小敏一起做游戏，他们把19张牌放在桌子上然后轮流拿，每人每次只拿1张或2张，谁拿到最后1张就能获胜，你能想办法让小敏保证获胜吗? 【思路导航】抢数的策略:在游戏操作中制定不同的抢数顺序，保证游戏取胜，这就是抢数的策略当总个数不能被每次抢的个数和整除时，这时要先抢，抢余数，再抢倍数，才能保证最后的胜利;当总个数能被每次抢的个数和整除时，这时要后抢，抢个数和的倍数才能保证赢。 小敏和爸爸两人每次每人只拿1张或2张； 抢牌的张数和:1+2=3(张)(周期) 小敏和爸爸两人抢牌19张 19÷3=6……1(张) 有余数，小敏要先抢，抢走余数1张，然后就可以进入周期。爸爸开始拿牌。 无论爸爸拿几张牌，小敏和爸爸拿牌总和都是3张，保证在一个周期里当抢完5组，也就是抢完16张牌后。还剩下3张牌时，如果爸爸拿1张，小敏就拿2张如果爸爸拿2张，小敏就拿1张。最后1张牌肯定是小敏拿，小敏最后获胜 【小结】解决这类问题时，最佳的策略 (1)找周期:周期等于可以抢牌的最大张数+1; (2)总数除以周期，有余数时，抢先拿，拿走余数 (3)总数整除周期时(也就是余数为0),抢后拿,跟随对方,与之组成一个周期的 数。 1.有两幅扑克牌，一副55张，另一副43张，小明和小丽两人轮流在其中任一堆中拿取，取的数量不限，但不能不取而且不能同时从两幅扑克牌里取，规定取得最后一张者为赢，请问如果小丽要先取必胜的策略是怎样的? 2.有两幅扑克牌，都是55张，小明和小丽两人轮流在其中任一堆中拿取，取的数量不限，但不能不取而且不能同时从两幅扑克牌里取，规定取得最后一张者为赢，请问如果小丽要先取必胜的策略是怎样的? 下棋问题 小明和小丽两人下棋，把一个棋子放在如图左下角格内，双方轮流移动棋子(只能向右、向上或向右上移 )一次可以在一个方向移动任意多格，规定不能将棋子直接从左下角移到顶格，谁把棋子走进顶格夺取红旗，谁就获胜，小丽应如何获胜? 【思路导航】棋子可以向右、向上或向右上移动，一次可以在一个方向移动任意多格。 采用倒推法，小丽要想获胜，就要抢占红旗格，就必须让小明走到有黑点的三个格子里，那么小丽后一步就要走到红旗的格子里，因此小丽要抢到A位置。 如果小丽抢到A位置，小明下一步只能走到其中一个有黑点的格子里。 采用倒推法，小丽要抢到A位置，就必须让小明走到有黑点的格子里，那么小丽就要在前一步抢到B位置。如果小丽抢到B位置，小明下一步只能走到其中一个有黑点的格子里。 采用倒推法，小丽要抢到B位置，就必须让小明走到有黑点的格子里，那么小丽就要在前步抢到C位置。如果小丽抢到C位置，小明下一步只能走到其中一个有黑点的格子里。 采用倒推法，小丽要抢到C位置，就必须让小明走到有黑点的格子里，那么小丽就要在前步抢到D位置。如果小丽抢到D位置，小明下一步只能走到其中一个有黑点的格子里。 采用倒推法，小丽要抢到D位置，就必须让小明走到有黑点的格子里，那么小丽就要在前一步抢到E位置。如果小丽抢到E位置，小明下一步只能走到其中一个有黑点的格子里。 位置A、B、C、D、E是制胜点，小丽只要能抢占其中任意一个制胜点，就能最终获胜。 起点是左下方的的格子，小丽先走并且一步走到E，无论小明怎么走，小丽都可以再走到另一个制胜点，最终抢到红旗。 1.在9×9棋盘上，从右上角开始放第-枚棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格，两人交替走，谁先到达左下角，谁为获胜者。你有必胜策略吗? 2.在图的A点有一枚棋子,甲先乙后轮流走棋子，每次必须向上或向右走1步或2步(走2步时可以拐弯)，最终将棋子走到B点者获胜。甲怎样走才能必胜? 报数问题 小明和小芳两人从1开始轮流报数，每人每次至少报1个数，最多报4个数，谁先抢到30谁就能获胜，请你制定获胜的策略帮助小芳赢得比赛吧 ? 【思路导航】小芳根据小明报数的个数来确定自己报数的个数，保证两人报数的个数和是5。若小明报1个数，小芳就报4个数;若小明报2个数，小芳就报3个数;若小明报3个数，小芳就报2个数;若小明报4个数，小芳就报1个数;当抢完5组，也就是25个数后，还剩下5个数时，仍然按照上面的方法，最后一个数30肯定是小芳报，赢得比赛。 每人每次至少报1个数，最多报4个数。抢数的个数和为:1+4=5(周期) 小明和小芳两人抢第30个数字30，数字总个数30。 30÷5=6 没有余数，直接进入周期，小明先报数，小芳要后报数。 【小结】如果没有余数，就得后报数，直接进入周期，方可获胜； 如果有余数，就得先报数余数，然后进入周期方可获胜。 1.小王和小李从1开始轮流报数，每人每次至少报1个数，最多报2个数，谁报到50谁输，请问小王必胜的策略是什么 ? 2.两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过8的非零自然数，把两人报的数累加起来，谁先报完数后累加的和是115，谁就获胜。请你帮助设计一下，先报者为了获胜，该怎么报 ? 3.两个人做一种游戏:轮流报数，必须报不大于6的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是100,谁就获胜。如果你先报数，那么为了获胜，你第一次报几?以后怎样报? 取火柴问题 有47根火柴，两人轮流来取，每次最多取5根,最少取1根,谁最后把火柴取完谁就算胜利了。现在由甲先取，乙应如何取胜? 【思路导航】甲要先取，乙后取，乙获胜的情况只可能是:甲先进入周期，乙后进入周期。 抢数的个数和为:5+1=6(周期) 数字总个数47：47÷6=7……5(根) 有余数，无法进入周期，若再加一根火柴48根，就可以进入周期，一共是8个周期, 那么在这8个周期，只要乙可以保证有一次甲乙两人取数总和是5，其余7次甲乙两人取数总和是6，5+7×6=47，最后一根肯定是由乙取得，乙就可以获胜。 【小结】如果没有余数，就得后取数，直接进入周期，方可获胜； 如果有余数，就得先取掉余数，然后进入周期方可获胜。 1.桌上放着60根火柴,甲、乙二人轮流取,每次取1～3根,规定谁取到最后一根谁获胜。假定双方都采用最佳方法,甲先取,谁一定获胜?给出一种获胜方法。 2.在黑板上写下数2、3、4……2010，甲先擦去其中一个数，如此轮流下去，若最后剩下两个数互质时，甲胜:若剩下两个数不互质，乙胜:那么甲有必胜的策略吗? 放硬币问题 小明和小芳两人轮流向一张圆形桌面上放1分钱的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放而且不能相互重叠，放好的硬币不再移动。谁放最后一枚，使得对方再没地方可以放硬币的时候就赢了，小芳如何放可以赢得比赛? 【思路导航】小明和小芳两个人是在圆形桌子上放的硬币，因为圆形为中心对称图形，所以小芳只需先将第一个硬币放在圆心上。小明不论把硬币放在任何地方，小芳都可以在小明所放硬币的桌面圆心对称的位置放下硬币，只要小明能在桌面找到放下硬币的位置，与这个位置关于圆心对称的地方也一定是空着的，小芳就可以在此放硬币，最后一个位置肯定是小芳放下的硬币，获胜。 【小结】此题主要考查的是中心对称图形的性质在实际问题中的应用。 中心对称图形中，所有的点关于对称中心都能找到对称点。本题中，圆形桌面的圆心就是对称点，若先放者占据了圆形桌面的圆心，则无论对方在什么位置放硬币，都能在圆桌上找到一个与其关于圆心对称的位置再放硬币。 可知若将桌面放满，除圆心外，任何一个硬币总可找到一个与其关于圆心对称的硬币，由此可知除圆心处外，其余硬币数目应为偶数。 1.两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是:每人每次只能放一枚,硬币不许重叠,谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放,谁就获胜。问:先放者如何取胜? 2.10张正面朝下的扑克牌排成一排放在桌子上,两个小朋友做翻牌游戏。规定:每人每次只能翻动一张或两张相邻的牌使之正面朝上,翻过的牌不能再翻,两人轮流翻动,翻动最后一张牌的人获胜。问:怎样做才必定获胜? 田忌赛马 田忌与齐王赛马，双方各有三匹马，分为上、中、下三等。按同等级别比赛，田忌总是输给齐王。现在田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马。请问田忌应如何安排出赛顺序，才能确保至少赢得一场比赛？ 【思路导航】‌ ①初始分析‌： 田忌的上等马＞齐王的中等马，但＜齐王的上等马。 田忌的中等马＞齐王的下等马，但＜齐王的中等马。 田忌的下等马 ＜ 齐王的下等马。 ‌②直接对抗策略‌（若按等级对战，田忌必败）： 田忌上等马 vs 齐王上等马 → 田忌败 田忌中等马 vs 齐王中等马 → 田忌败 田忌下等马 vs 齐王下等马 → 田忌败 ‌③策略调整‌： 田忌上等马 vs 齐王中等马 → 田忌胜（因为田忌上等马＞齐王中等马） 田忌中等马 vs 齐王下等马 → 田忌胜（因为田忌中等马＞ 齐王下等马） 田忌下等马 vs 齐王上等马 → 田忌败（这是必然的，因为田忌下等马 ＜齐王所有马） ‌④结论‌： 通过调整出赛顺序，田忌可以确保赢得前两场比赛，从而至少赢得一场比赛。 【小结】田忌赛马不仅是一个经典的赛马故事，更是一个策略和智慧的象征。它告诉我们：在劣势中找到优势，学会取舍，利用自己的长处去应对对手的短处，可以更容易地取得胜利。此外，这个故事也强调了先谋后战的重要性，即在行动之前进行充分的计划和策略布局，可以事半功倍。 1.一场跳绳比赛，三局两胜，请看参加比赛双方的资料:甲方1分钟跳绳次数:1号30下、2号40下、3号60下；乙方1分钟跳绳次数:1号20下、2号50下、3号55下，请问乙方队员怎样对阵才能赢甲方? 2.森林运动会开始了，采取三局两胜制，乙组要想获胜，应按( )安排比赛顺序。 甲组 猎豹 9.0 秒 鹿 9.5 秒 狗 9.9 秒 乙组 狮子 9.3 秒 羚羊 9.6 秒 兔子 10.0 秒 A.兔子--狗，狮子--猎豹，羚羊--鹿 B.兔子--猎豹，羚羊--狗，狮子--鹿 C.兔子--鹿，羚羊--狗，狮子--猎豹 3.“比大小”的游戏，游戏规则是①对阵3次，出大者赢，赢两次者胜。②)每人每次只出一张牌③第一次谁先出牌,后两次还是谁先。左边三张是小红的，右边三张是小军的。小红先出 9，小军出( )才有可能获胜。 A.8 B.6 C.3 D.无法确定 费用最小化问题 有A、B两辆车要运走一堆79吨的货物，A车每次运7吨，B车每次运2吨，A车每次的运费是140元，B车每次的运费是60元，如何安排车辆使总费用最少，最少是多少元? 【思路导航】A车每次运7吨，A车每次的运费是140元 140-7=20(元)A车每吨的运费是20元, 为了节省费用应尽量选派A车运货。 B车每次运2吨，B车每次的运费是60元 60÷2=30(元) B车每吨的运费是30元, 运走一堆79吨的货物，选派A车运货 79÷7=11(次)……2(吨) A车运货11次，剩下的2吨安排B车运一次。 总费用:11×140+1×60=1600(元) 【小结】费用最少问题（‌物资调运问题‌）：类问题通常涉及如何以最小的成本将物资从一个地方调运到另一个地方。例如，李大叔的机床厂需要将货物从一个仓库集中到另一个仓库，目标是使总运费最少。通过计算不同集中点的总运费，可以选择最省钱的方案。 1.在一条公路上，每隔5000米依次有一个仓库共有五个仓库，一号仓库存15吨货物，二号仓库存20吨货物，五号仓库存40吨货物，其余两个仓库是空的，现在想把所有的货物集中存放到一个仓库中，如果每吨货物运输1千米要1元运费，那么怎么安排总费用最少，最少是多少元? 2.用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎样截法最合算？ 3.有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔，商店中每种笔都是5支一包或者3支一包，不能打开包零售。5支一包红笔61元，蓝笔70元。3 支一包红笔 40 元，蓝笔47元。老师买所需要的笔，最少多少元? 利润最大化问题 某单位向商店订购成本为70元，定价为100元的商品80件，单位订货员向商店经理提出:“如果商店肯降价，那么每降价一元，单位就多订购4件”，作为商店经理，降价多少钱，可以获利最大呢? 【思路导航】这是一道利润问题中的极值问题，解决这种利润问题，我们可以采用方程来解决。 设降价x元，那么没见商品的利润就由原来的100-70=30元变成了 30-x元,而商品的数量则为 80+4x(因为没降一元，多订购4件)，则利润就变成了(30-x)×(80+4x) 我们想要求得(30-x)×(80+4x)的最大值，接下来我们就可以试用一下和定求积的思路注意，和定求积的前提是和是一定的，那么我们发现 30-x与80+4x的和，即为(30-x)+(80+4x)=110+3x，说明和不是一个定值，无法使用和定求积，那么我们要想办法使得(30-x)×(80+4x) 这个式子变成和为一定。 如何处理呢? 我们可以这样处理，80+4x中的4提取出来，则(30-x)×(80+4x)=4(30-x)(20+x) ，想要求原式的最大值，也就是求(30-x)(20+x)的最大值?如何求解呢? 我们可以这样处理，80+4x中的4提取出来，则 (30-x)×(80+4x)=4(30-x)(20+x) 想要求原式的最大值，也就是求(30-x)(20+x)的最大值?如何求解呢?这个时候就可以使用和定求积了，(30-x)+(20+x)=50，是一个定值，可以使用和定求积我们使 30-x=20+x，可以解得x=5,也就是说当x=5的时候，可以获利最大值。 【小结】这就是和定求积解决利润问题的思路，注意，想要使用和定求积这种思路，就一定要保证和是一个定值，在遇到这种问题，我们就要想办法，将原式凑成和为定值的情况，继而使两者相等，就可以求得极值。 通过上述例题我们可以发现，利润最值问题采用均值不等式的思想来求解是非常单的，希望同学们能够多看几遍，充分吸收，做到熟能生巧、举一反三。 1.某商场销售一批名牌衬衫平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，每件衬衫降低( )元时，商场每天盈利最多。 A.12 B.15 C.20 D.25 2.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满当每个房间的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，问房价为多少元时宾馆利润最大? A.260 B.280 C.300 D.340 面积最大值 牧羊人用15段每段长2米的篱笆，一面靠墙围成一个正方形或长方形羊圈，则羊圈的最大面积是（　　）平方米． A .100 B .108 C .112 D .122 【思路导航】 根据题干分析可得，这15段篱笆的长就是围成的长方形羊圈的1条长与2条宽的和，据此可以列举出长与宽的值分别是：宽为1段时，长为15-1×2=13段；宽为2段时，长为15-2×2=11段；宽为3段时，长为15-3×2=9段；宽为4段时，长为15-4×2=7段，宽为5段时，长为15-5×2=5段，宽为6段时，长为15-6×2=3段；宽为7段时，长为15-7×2=1段，又因为长方形的面积=长×宽，据此代入数据，分别求出围成的不同长方形的面积，再比较即可解答问题． ①宽为1段时，长为15-1×2=13段 即宽为2米，长为13×2=26（米） 则面积是26×2=52（平方米） ②宽为2段时，长为15-2×2=11段 即宽为2×2=4（米），长为11×2=22（米） 则面积是22×4=88（平方米） ③宽为3段时，长为15-3×2=9段 即宽为3×2=6（米），长为9×2=18（米） 则面积是：6×18=108（平方米） ④宽为4段时，长为15-4×2=7段 即宽为4×2=8（米），长为7×2=14（米） 则面积为8×14=112（平方米） ⑤宽为5段时，长为15-5×2=5段， 即长与宽都是5×2=10（米），围成的是正方形 则面积是：10×10=100（平方米） ⑥宽为6段时，长为15-6×2=3段 即宽为6×2=12（米），长为3×2=6（米） 则面积是12×6=72（平方米） ⑦宽为7段时，长为15-7×2=1段 即宽为7×2=14（米），长为1×2=2（米） 则面积是14×2=28（平方米） 由上述计算可得，围成的长方形的面积最大是112平方米． 故选：C． 1、用56米长的木栏围成一个长方形，其中一边利用围墙，如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大? 2.用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大? 集合路程最小值问题 街道旁有A、B、C、D、E五栋居民楼(见下图)，现在要建立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮筒应建立在何处? 【思路导航】(原则是少向多靠、两边向中间靠。)所以可参考BC两点。 B点:AB+BC+(BC+CD)+(BC+CD+DE) C点:(AB+BC)+BC+CD+(CD+DE) B点-C点=BC 答:选C点。 1. 在一条公路上,每隔 100千米有一座仓库(见下图),共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.5元,那么集中到哪个仓库运费最少?需多少钱? 2.如果有15名工作人员分散在一条公路上散发传单,问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的地点走到集合地点的路程总和最小? 3.有一个水塔要供应某条公路旁的6个居民点用水(见下图,单位:千米),要安装的水管有粗细两种,粗管足够供应6个居民点用水,细管只能供应1个居民点用水,粗管每千米花费7000元,细管每千米花费 2000元。粗细管怎样互相搭配,才能使费用最省?费用应是多少? 沙漠探险 A，B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米,已知每人最多可以携带一个人 24天的食物和水,如果不准将部分食物存放于途中，那么其中一人最远可以深入沙漠多少千米(要求最后二人返回出发点)? 【思路导航】设A 走x天后返回,A 留下自己返回所需的食物,剩下的转给B。此时,B共有(48-3x)天的食物,由B最多携带24天的食物,知x=8。 剩下的 24天食物,B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回使用。故B可以向沙漠深处走16天。 1.甲、乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走30千米。已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，不准将部分食物存放于途中，问:其中一人最远可以深入沙漠多少千米? (要求最后两人返回出发点) 2.甲、乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走30千米。已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，允许将部分食物存放于途中，问:其中一人最远可以深入沙漠多少千米?(要求最后两人返回出发点) 3.一支摩托车小分队奉命把一个重要的文件送到距小分队驻地300千米以外的指挥部。每辆摩托车装满油最多能行驶 300千米,途中无加油站。为保证顺利完成任务,队长想出个巧妙的方法,用三辆摩托车执行此项任务,恰好有一辆摩托车可以把情报刚好送到指挥部,另外两辆安全返回驻地(三辆摩托车所带的油全部用完)。指挥部距小分队驻地多少千米? 满分：100分 时间：30分钟 1.如果“田忌赛马”齐王第一场出中等马，你认为应该出（ ）应对。 A.上等马 B.中等马 C.下等马 2.乐乐和明明玩卡牌比大小游戏，采取三局两胜制。乐乐的三张牌分别是3、5、7，明明的三张牌分别是2、4、6。乐乐先出7，明明要想获得最后的胜利应该出（ ） A. 2 B.4 C.6 3.爸爸让小强给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上差，最少需要多少分钟？ 4.育才小学赵勇、孙强、李乐三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵勇打针需要5分钟，孙强包纱布需要3分钟，李乐点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学留在卫生室的时间总和最短？ 5.小华在烤炉上烤面包，一次最多只能烤10片，每片都要烤两面，每面都需要1分钟才能烤好。则烤好5片、15片和20片面包分别至少需要多少时间‌？ 6.用3～6这四个数字分别组成两个两位数，使这个两位数的乘积最大。 的规律，3应该放在6的后面，4应该放在5的后面。63×54=3402 7.甲地有59吨货物要运到乙地。大货车的载重量是7吨，小货车的载重量是4吨，大货车运一次耗油14升，小货车运一次耗油9升。运完这批货物至少耗油多少升? 8.服装厂的工人每天可以生产4件上衣或7条裤子。一件上衣和一条裤子为一套。现有66名工人生产，每天最多能生产多少套服装? 9.自行车的前轮轮胎行驶 9000 千米后要报废，后轮轮胎行驶 7000 千米后要报废前后轮可在适当时候交换位置。问一辆自行车同时换上一对新轮胎，最多可行驶多少干米? 10. 甲、乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走30千米。已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，不准将部分食物存放于途中，问:其中一人最远可以深入沙漠多少千米? (要求最后两人返回出发点) 【巩固提升】参考答案 1.用一只平底锅煎饼，每次只能放4张饼，两面都要煎，每面需要2分钟。问煎6个饼至少需要多少分钟? 【思路导航】公式解决：2×2×6÷4=6（分钟） 2.用一只平底锅煎饼，每次只能放3张饼，两面都要煎，每面需要2分钟。问煎20个饼至少需要多少分钟? 【思路导航】公式法：2×2×20÷3≈27（分钟） ‌3.用面包机烤面包时，第一面烤2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟，小勤的面包机一次只能放2片，他每天早上吃3片面包，至少需要烤多少分钟? 【思路导航】公式法：（2+1）×3÷2≈5（分钟） 1.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情:叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语 30分钟，吃早餐 10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟? 【思路导航】至少需要56分钟 安排时间： 叠被子3分钟，洗脸刷牙8分钟，吃早餐10分钟，收碗 擦桌5分钟，以上共计26分钟； 其中，收听广播的30分钟内，可以读外语恰好也是30 分钟，共计30分钟。 所以至少需要56分钟。 2.小红感冒了，吃完药后要赶快休息，她至少要( )分钟就能去休息。 过程 找杯子倒开水 等开水降温 找感冒药 量体温 时间 1分钟 6分钟 1分钟 5分钟 A. 6 B.7 C.8 答案:B 【思路导航】此题不能直接把所有时间相加，应该考虑到哪些项目可以同时进行，哪些不能同时进行，本题中找杯子倒开水与等开水变温不能同时进行，其他可以。 小红应该先找杯子倒开水，然后等开水变温，在等开水变温的同时量体温、找感冒药。最少要1+6=7(分钟) 答:小红应该先找杯子倒开水，然后等开水变温，在等开水变温的同时量体温、找感冒药。最少需要7分钟。 3.小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，茶1分钟，小明合理安排以上事情，最少要( )使客人尽快喝茶。 A.7分钟 B.8分钟 C.9分钟 【思路导航】根据题意，一边烧水，一边洗茶杯和拿茶叶，所以合理安排以上事情，最少是时间是:1+6+1=8(分钟) 故选:B. 1.六(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短? 【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。 这样，三位同学留在卫生室的时间分别是:李佳1分钟，孙勇1+3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟。 2.甲理发店只有一位理发师，同时来了三位顾客，按他们所要理的发型，甲需要20分钟，乙需要15分钟，丙需要30分钟，要使他们等候的时间的总和最少，应按怎样的顺序理发，他们等候的时间的总和最少是多少分钟？ 【思路导航】 要使他们等候的时间的总和最少，则应使需要时间较少的顾客先理，由于15分钟＜20分钟＜30分钟，所以按乙、甲、丙的顺序进行理发，他们等候的时间的总和最少，乙理发用时15分钟，此时甲、丙需等15+15分钟，甲用时20分钟，此时丙等了20分钟，所以等候的时间的总和是15+15+20分钟． 解：15+15+20=50（分钟） 答：要使他们等候的时间的总和最少，应按乙、甲、丙的顺序理发，他们等候的时间的总和最少是50分钟． 故答案为：乙、甲、丙，50． 【小结】明确要使他们等候的时间的总和最少，应使需要时间较少的顾客先理是完成本题的关键． 1.下列说法中正确的是( A )。 ①用天平找次品，最好把所称的物品分成相等的3份，就能保证用最快的速度找出次品。 ②一把钥匙开一把锁。现在有4把钥匙、4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试6次就一定能配好全部的钥匙和锁。 ③用天平找次品时，所称物品的数目与称的次数成倍数关系。 ④有3个零件，其中1个是次品，但是不知道是轻还是重。用天平称，至少称1次就能够找到。 A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 2.有73个零件，其中有一个比其他的零件稍重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢? 【思路导航】因为33≤73≤34，所以最少要称4次才能保证找出次品。 平衡4次:(25，24，24)(9，8，8)(3，3，3)(1，1，1)。 不平衡4次:(25，24，24)(8，8，8)(3，3，2)(1，1，1) 3.81个玻璃球，其中有一个球是次品，但不知道次品玻璃球与标准球的轻重，如果只能用天平来测量，至少要称多少次才能保证找出来呢? 【思路导航】因为81=34，所以最少要称4+1=5次才能保证找出次品。 先测出次品玻璃球是重了还是轻了:分组81÷3=27(27，27，27) ①1次--任取两组过天平，有“平衡”与“不平衡”两种情况。研究“平衡”情况既是“平衡”，就判断出次品在天平外那组中。 ②2 次--任取已过天平一组与天平外那组同称，肯定不平衡。若原天平外那组重些就判断出次品比标准球重，否则，次品就是比标准球轻。研究“不平衡”情况：既是“不平衡”，就判断出次品已在天平中，天平外那组是标准球。 2次--取较重的一组与天平外那组同称，有“平衡”、“不平衡”两种可能。若“平衡”就判断出次品球比标准球轻;若“不平衡”就判断出次品球比标准球重。 综合以上研究得出:最少称2次才能知道次品球在那组中，也才能知道次品球比标准球是重些还是轻些。此时，次品所在组有球27个。因为，27=33，所以最少再称3次才能保证找出次品球来。 一共是2+3=5(次) 1.放学后，老师尽快通知美术组25人第二天带美术工具，如果“一传一”的打电话方式，每1分钟通知1个人，通知到每个人至少需要多少分钟? 【思路导航】 第一分钟老师通知到1个学生，第二分钟最多可通知1+2=3（个）学生，第三分钟最多可通知3+4=7（个）学生，第四分钟最多可通知7+8=15（个）学生，第五分钟最多可通知15+16=31（个）学生。 2×2×2×2×2-1=31（人） 答：通知到每一个人至少要花5分钟。 2.有一棵树，原来有1个树枝，第一年长出1个树枝，第二年每个树枝上分别长出1个树枝，第三年每个树枝上又都分别长出1个树枝。照这样计算，第五年这棵树上一共有多少个树枝? 【思路导航】根据第-年长出一个共2个，第二年分别长出一个共(2×2)个,第三年分别长出-个共(2×2×2)个,所以第五年共有2×2×2×2×2=32(个) ,由此解答即可。 2×2×2×2×2=32(个) 答:第直年这棵树上一共有32个树枝 3.一个青年志愿队共有20人，在完成一次紧急任务时，队长要尽快通知到另外19个青年志愿者。如果用打电话的方式，每1.5分钟能通知1人，那么，要通知到所有的队员，至少要多少分钟? 【思路导航】用打电话的方式，n轮电话所能通知的总人数为2n-1；即第一轮电话，可以通过1人；第二轮电话，共可以通知3人；第三轮电话，共可能通知7人；第四轮电话，共可以通知15人；第5轮电话，共可以通知31人，所以至少要打5轮电话，共7.5分钟。 1.5×5=7.5(分钟) 答：要通知到所有队员至少需要7.5分钟. 4.锅炉厂厂办王主任要把一个紧急通知传达给宿舍区的975人。假定用电话联系,每通知1人需1分,而见面可一次通知60人,但需7分。王主任要使通知在最短时间内完成,最少需多少分? 答案：11分。 【思路导航】打电话,到第11 分共可通知 (1+60)×2×2×2×2-1=975(人) 注:此题中,是先见面通知还是先电话通知并不重要,只要在第4分时已经被通知到的人都被安排一次见面通知即可。如果题目限定绝大多数人没电话,则需要先安排电话通知,到第4分时已经通知到(1+1)×2×2×2-1=15(人),这15人必须有电话,这15人与王主任再去见面通知,共可通知到(15+1)×60+15=975(人)。 1.甲班和乙班学生同时从学校出发去某个公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐个班的学生。为了使两班学生在最短的时间内达到，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离比是多少? 【思路导航】本题考点：相遇问题 、追及问题。 让甲班先坐车再步行，乙班先步行再坐车，两班同时到达目的地最短时间到达，可设甲班先坐车，乙班走路，当汽车把甲班送到C点，甲班学生下车走路，汽车返回在B点处接乙班的学生，根据时间一定，路程的比就等于速度的比可进行解答． 如图所示，AB：（AC+BC）=3:48=1:16，所以AB:BC=2:15 在C点甲班下车走路，汽车返回接第二组，然后汽车与第一组同时到达公园可得：（BC+CD）:CD=48:4=12:1，所以BC:CD=11:2；由AB:BC=2:15和BC:CD=11：2可得AB:BC:CD=22:165:30 甲班步行的距离与乙班步行的距离比是CD:AB=30:22=15:11 答：甲班学生与乙班学生的步行距离之比是15:11。 【小结】明确如要在最短的时间内到达，应使汽车与行人始终在运动，中间不停留且同时到达目的地，并根据汽车与步行的速度比画图得出数量之间的关系是完成本题的关键． 2.甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观,但只有一辆汽车,一次只能乘坐一个班的学生,为了尽快到达飞机场,两个班商定,由甲班先坐车,乙班先步行,同时出发,甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场,汽车那么立即返回接在途中步行的乙班学生.假设甲、乙两班学生步行速度一样,都为5千米/时,汽车的速度为35千米/时.请问:汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生,才能使两班学生同时到达飞机场? 【思路导航】甲、乙两班学生步行速度一样,都为5千米/时,汽车的速度为35千米/时.全程被分成了3部分,甲班走了一部分的路程,速度是5千米/时,乙班走了一部分路程,速度是5千米/时,车走了一部分路程,它的相对速度是〔35﹣5〕÷2,用全程除以它们的速度和,就是车与甲班行走的时间,时间乘上甲班的速度就是相遇时甲班行驶的路程,这一段路程也是飞机场的间隔。 解:24÷[5+5+〔35﹣5〕÷2]×5 =24÷25×5 =4.8〔千米〕 答:汽车应在距机场4.8千米处返回接乙班学生,才能使两班学生同时到达机场。 【小结】这需要一个思维的转换,就是甲班与乙班的步行和坐车间隔 相等了就是最节省时间的形式. 1.有两幅扑克牌，一副55张，另一副43张，小明和小丽两人轮流在其中任一堆中拿取，取的数量不限，但不能不取而且不能同时从两幅扑克牌里取，规定取得最后一张者为赢，请问如果小丽要先取必胜的策略是怎样的? 【思路导航】如果两幅扑克或是两堆火柴不一样多，必须先取得两部分的差,两幅扑克或是两堆火柴形成对称局面，才能拿到最后一张(根)获胜。 小丽要想赢，按照规定，必须取得最后一张。也意味着小明再无牌可取。 55-43=12(张) 小丽抢先从55张扑克牌取走12张，剩下的两幅扑克牌一样多，形成了一个对称的局面。 因为不能同时从两幅扑克牌里取，小明在其中一幅扑克牌中取几张，小丽就在另一幅扑克牌中取相同的张数。小明有扑克牌可以取时，小丽也一定在另一幅扑克中有牌可以取。 小明先将其中一幅扑克牌取完时，小丽也后将另一幅扑克牌取完。小丽取得最后一张，获胜! 2.有两幅扑克牌，都是55张，小明和小丽两人轮流在其中任一堆中拿取，取的数量不限，但不能不取而且不能同时从两幅扑克牌里取，规定取得最后一张者为赢，请问如果小丽要先取必胜的策略是怎样的? 【思路导航】两幅扑克牌一样多，已经是对称局面，小丽要保证拿走最后一张，必须后取,小明先在其中一幅扑克牌中取几张，小丽就在另一幅扑克牌中取相同的张数。最后一张必定是小丽拿走，获胜。 如果两幅扑克或是两堆火柴一样多，已经形成对称局面，必须后取才能拿到最后一张(根)获胜。 1.在9×9棋盘上，从右上角开始放第-枚棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格，两人交替走，谁先到达左下角，谁为获胜者。你有必胜策略吗? 【思路导航】每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格。 采用倒推法，要想获胜就必须先走到红旗格应该把对方逼到有黑点的三个格子里(也就是把对方逼到终点的上、右、右上一格的位置) 要将对方逼进黑点格，就要走进红点格，因此得到第一圈的制胜点(图中红点部分) 采用倒推法，把第一圈的制胜点(图中红点部分)看作是红旗，要想获胜就必须把对方逼到有黑点的格子里(也就是把对方逼到红点格的上、右、右上一格的位置)。 要将对方逼进黑点格，就要进入红点格，因此得到第二圈的制胜点(图中红点部分)。 2.在图的A点有一枚棋子,甲先乙后轮流走棋子，每次必须向上或向右走1步或2步(走2步时可以拐弯)，最终将棋子走到B点者获胜。甲怎样走才能必胜? 【思路导航】从A到B共16步，甲第一次走1步,以后每个回合总保持双方共走3步。 1.小王和小李从1开始轮流报数，每人每次至少报1个数，最多报2个数，谁报到50谁输，请问小王必胜的策略是什么 ? 【思路导航】小王要想赢得比赛，就不能报第50个数，要抢数49，使对方报50。 题目转变为抢49的数学问题。这与前面的方法相同。 抢数的个数和为:1+2=3(周期) 数字总个数49。49÷3=16……1有余数，小王要先抢，抢走1个数，然后就可以进入周期。小李开始报数，小王根据小李报数的个数来确定自己报数的个数，保证两人报数的个数和是3 。在最后一组，按照上面的方法，若小李报1个数，小王报2个数;若小李报2个数，小王报1个数，小王肯定可以抢到报第49个数。小李只能报第50个数，输了比赛。 2.两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过8的非零自然数，把两人报的数累加起来，谁先报完数后累加的和是115，谁就获胜。请你帮助设计一下，先报者为了获胜，该怎么报 ? 【思路导航】规定每次报的数都是不超过8的非零自然数，每个人报的数最大是8，最小是1。根据前面的结论:先报者为了获胜，必须后进入周期，那就要先报余数。 每次报数的和为:8+1=9(周期) 115÷9=12……7 有余数，先报者要先报数字7，就可以进入周期。进入周期后，对方先报，不管他报几，先报者保证两人报数相加和是9。即对方报1，先报者就要报8;对方报2，先报者就要报7。 这样经过12轮后，7+12×9=115，先报者报完数后必先累加到115，赢得了比赛。 3.两个人做一种游戏:轮流报数，必须报不大于6的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是100,谁就获胜。如果你先报数，那么为了获胜，你第一次报几?以后怎样报? 【思路导航】第一次报2,以后对方报几,你就报7与这个数的差。 1.桌上放着60根火柴,甲、乙二人轮流取,每次取1～3根,规定谁取到最后一根谁获胜。假定双方都采用最佳方法,甲先取,谁一定获胜?给出一种获胜方法。 【思路导航】乙一定获胜。乙每次拿火柴，只要保持剩下的火柴数是4的倍数必获胜。 解:60÷(1+3)=15 让乙先取。乙取1个，甲取3个:乙取2个，甲取2两个:乙取3个，甲取1个。这样可以确保甲胜。 2.在黑板上写下数2、3、4……2010，甲先擦去其中一个数，如此轮流下去，若最后剩下两个数互质时，甲胜:若剩下两个数不互质，乙胜:那么甲有必胜的策略吗? 【思路导航】把相邻两数分成一组。 分组：2,(3、4),(5、6),(7、8),(9、10)…（2007，2008),(2009、2010)。 甲先取走2，以后和乙拿同一括号的数即可确保胜利。 1.两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是:每人每次只能放一枚,硬币不许重叠,谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放,谁就获胜。问:先放者如何取胜? 【思路导航】第一枚放在圆桌的中心;以后无论对方放在哪，你只需放在与它关于圆心对称的位置上。 2.10张正面朝下的扑克牌排成一排放在桌子上,两个小朋友做翻牌游戏。规定:每人每次只能翻动一张或两张相邻的牌使之正面朝上,翻过的牌不能再翻,两人轮流翻动,翻动最后一张牌的人获胜。问:怎样做才必定获胜? 【思路导航】先翻者第一次必须翻动中间两张牌,即第5,6两张牌。然后无论后翻者翻动哪张牌,先翻者只要对称地翻即可获胜。 1.一场跳绳比赛，三局两胜，请看参加比赛双方的资料:甲方1分钟跳绳次数:1号30下、2号40下、3号60下；乙方1分钟跳绳次数:1号20下、2号50下、3号55下，请问乙方队员怎样对阵才能赢甲方? 【思路导航】此题的关键是要是要保证乙方有两局要比甲方跳得多，联系田忌赛马的故事就能想到，要用乙方跳绳最少的选手对抗甲方最强的选手，然后，乙方的2号和3号都比甲方的1号和2号略高一些，因此乙方2号对阵甲方1号，乙方3号对阵甲方2号，乙方即可获胜。 第一场 第二场 第三场 甲方 1号30 2号40 3号60 乙方 乙号50 3号55 1号20 获胜方 乙方 乙方 甲方 根据三局两胜，乙方获胜。 田忌赛马问题‌： ‌问题描述‌：如何在比赛中通过策略安排，以较弱的一方战胜较强的一方。 ‌解决方法‌：详细分析双方的情况，寻找所有可能的对策，选择一个利多弊少的最优策略‌‌。 2.森林运动会开始了，采取三局两胜制，乙组要想获胜，应按( )安排比赛顺序。 甲组 猎豹 9.0 秒 鹿 9.5 秒 狗 9.9 秒 乙组 狮子 9.3 秒 羚羊 9.6 秒 兔子 10.0 秒 A.兔子--狗，狮子--猎豹，羚羊--鹿 B.兔子--猎豹，羚羊--狗，狮子--鹿 C.兔子--鹿，羚羊--狗，狮子--猎豹 【思路导航】此题结合田忌赛马的故事进行解答，用乙组的第一名对阵甲组的第二名，用乙组的第二名对阵甲组的第三名，用乙组的第三名对阵甲组的第一名，这样乙组会获得2胜1负，从而获胜。 解:乙组要想获胜，应该按照“兔子--猎豹，羚羊--狗，狮子--鹿”安排比赛顺序。这样兔子负于猎豹，但是羚羊和狮子都会获胜，2胜1负，从而获胜。 故选:B。 【小结】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键。 3.“比大小”的游戏，游戏规则是①对阵3次，出大者赢，赢两次者胜。②)每人每次只出一张牌③第一次谁先出牌,后两次还是谁先。左边三张是小红的，右边三张是小军的。小红先出 9，小军出( )才有可能获胜。 A.8 B.6 C.3 D.无法确定 【思路导航】小红第一次出的是9，小军出哪个都比9小，都是输，既然都是输，要拿出最小的3与之对阵，这样剩下的两张都比小红的大，都会赢，根据游戏规则，小军以2:1胜。 解:根据田忌赛马的游戏方法:小红出 9，小军出 3; 小红出 7，小军出 8; 小红出 5，小军出 6。 这样小军以 2:1 获胜。 答:小军出3才有可能获胜。 故选:C。 【小结】类似“田忌赛马”，第一次小红拿出的数最大,小军拿无论拿哪个都是输，只拿出最小，剩下两个大数再与小明比。 1.在一条公路上，每隔5000米依次有一个仓库共有五个仓库，一号仓库存15吨货物，二号仓库存20吨货物，五号仓库存40吨货物，其余两个仓库是空的，现在想把所有的货物集中存放到一个仓库中，如果每吨货物运输1千米要1元运费，那么怎么安排总费用最少，最少是多少元? 【思路导航】每吨货物运输1千米要1元运费 ①货物都运到1号仓库 2号仓库运货所需费用:20×5=100(元)5号仓库运货所需费用:40×(5+5+5+5)=800(元)总费用:100+800=900(元) ②货物都运到2号仓库 1号仓库运货所需费用:15×5=75(元)5号仓库运货所需费用:40×(5+5+5)=600(元) 总费用:75+600=675(元)。 ③货物都运到3号仓库 1号仓库运货所需费用:15×(5+5)=150(元)2号仓库运货所需费用:20×5=100(元)5号仓库运货所需费用:40×(5+5)=400(元)总费用:150+100+400=650(元) ④货物都运到4号仓库: 1号仓库运货所需费用:15×(5+5+5)=225(元) 2号仓库运货所需费用:20×(5+5)=200(元)5号仓库运货所需费用:40×5=200(元) 总费用:225+200+200=625(元) ⑤货物都运到5号仓库 1号仓库所需费用:15×(5+5+5+5)=300(元)2号仓库所需费用:20×(5+5+5)=300(元)总费用:300+300=600(元) 根据比较可知，存放地距离5号仓库越近，费用越低，将货物都集中到5号仓库运费最少， 因为1号仓库有15吨货物，移动一个仓库需要15×5=75(元); 2号仓库有20吨货物，移动一个仓库需要20×5=100(元); 5号仓库有40吨货物，移动一个仓库需要40×5=200(元)，所以尽量使货物多的仓库运送路程短一些，最好都集中到货物多的仓库中。 2.用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎样截法最合算？ 【思路导航】一个10尺长的竹竿应该有三种截法： （1）3尺两根和4尺一根，最省； （2）3尺三根，余一尺； （3）4尺两根，余2尺； 为了省材料，尽量使用方法（1），这样50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，还差50根4尺的，最好选择方法（3），这样所需原材料最少，只需25根即可，这样，至少需要用去原材料75根。 3.有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔，商店中每种笔都是5支一包或者3支一包，不能打开包零售。5支一包红笔61元，蓝笔70元。3 支一包红笔 40 元，蓝笔47元。老师买所需要的笔，最少多少元? 【思路导航】 红笔47=45+2买9包5支装的和1包3支装的需要9×61+40=589元，蓝笔需要9×70+47=677（元） 47=35+12 买7包5支装的和4包3支装的红笔需要7×61+40×4=587元，蓝笔需要7×70+47×4=678（元） 所以红笔按第二种买法，蓝笔按第一种买法，需要587+677=1264（元） 1.某商场销售一批名牌衬衫平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，每件衬衫降低( )元时，商场每天盈利最多。 A.12 B.15 C.20 D.25 【思路导航】 (1)找等量关系，列方程。 本题所求为利润最值问题，结合条件可以得出等量关系:总利润=单件利润x销量分析可得如果售价下降1元在成本不变的情况下利润即下降1元，同时销量会增加2件，这道题可以设每件衬衫的售价下降了x元，商场的总利润为y元，那么可列出方程y=(40-x)×(20+2x)。 (2)凑配定和，求极值。 y=(40-x)×(20+2x)，由前面学习的均值不等式的结论可知，要想求两部分乘积的最大值，需要这两部分的加和为定值，而我们会发现40-x和20+2x的加和并不是常数，所以不为定值，那么就需要未知数在加和后抵消掉，则可将方程变形为y=2×(40-x)×(10+x)，此时40-x与10+x的和为定值，所以当且仅当40-x=10+x，即x=15时，y存在最大值，答案为B. 2.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满当每个房间的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，问房价为多少元时宾馆利润最大? A.260 B.280 C.300 D.340 【思路导航】总收入最多则利润最大，所以需要求出总收入的最大值，通过题干条件可得等量关系为:总收入=房间单价x入住房间数量，房价增加会使入住房间数减少。 此时可设房价增加了x个10元，总收入为y元，可得y=(180+10x)×(50-x)，想求两个部分乘积的最大值，雲要使两部分加和为定值，可将方程变形为y=10x(18+x)x(50-x)，当且仅当18+x=50-x，即x=16时，y取最大值，此时每个房间的价格为180+10×16=340元，故答案为D， 1、用56米长的木栏围成一个长方形，其中一边利用围墙，如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大? 【思路导航】根据题中条件和问题，要使围成的面积最大，我们只有将长的一面靠墙。不妨我们先列个表，来看看长、宽与面积的关系。列表时，我们应该先考虑宽是1米，2米，3米……，再去考虑这时长所对应的米数。(本题列表是小学生最好理解的一种解题策略) 长/米 宽/米 篱笆总长/米 面积/平方米 54 1 56 54 52 2 56 104 50 3 56 150 48 4 56 192 46 5 56 230 44 6 56 264 42 7 56 294 40 8 56 320 38 9 56 342 36 10 56 360 34 11 56 374 32 12 56 384 30 13 56 390 28 14 56 392 26 15 56 390 24 16 56 384 22 17 56 374 20 18 56 360 18 19 56 342 从表中可知，只有当长是宽的2倍时，围成的面积最大。 长的米数：56-2=28(米)，宽的米数：28-2=14(米) 最大的面积是: 28×14=392(平方米) 答:当围成长28米，宽14米时，面积最大，最大面积是392平方米。 2.用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大? 【思路导航】根据题中条件和问题，要使围成的面积最大，我们也只有将长的一面靠墙。不妨我们先列个表，来看看长、宽与面积的关系。列表时，我们也应该先考虑宽是1米，2米，3米……，再去考虑这时长所对应的米数。(本题也是出给小学四年级学生做的，列表是小学生最好理解的一种解题策略) 长/米 宽/米 篱笆总长/米 面积/平方米 13 1 15 13 11 2 15 22 9 3 15 27 7 4 15 28 5 5 15 25 3 6 15 18 从表中可知，也只有当长最近宽的2倍时，围成的面积最大。 宽的米数：15-2=7(米)……1(米) (7+1)÷2=4(米) 长的米数：15-4×2=7(米) 最大的面积。7×4=28(平方米) 答:当围成长7米，宽4米时，面积最大，最大面积是28平方米。 1. 在一条公路上,每隔 100千米有一座仓库(见下图),共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.5元,那么集中到哪个仓库运费最少?需多少钱? 【思路导航】D仓库:8500元。 提示:本题不用一一计算运费，只需比较各点的优劣。例如比较C和D (见右图)，从右向左运的货物，C比D多7000吨千米,从左向右运的货物,C比D少6000吨千米,所以D比C好。事实上,左右两边的货物重量越接近的点越好。 2.如果有15名工作人员分散在一条公路上散发传单,问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的地点走到集合地点的路程总和最小? 【思路导航】15名工作人员为单数，应该选取中间点为集结点。 15÷2=7……1 中间点为:7+1=8所以选择第8名工作人员位置为集合点。 3.有一个水塔要供应某条公路旁的6个居民点用水(见下图,单位:千米),要安装的水管有粗细两种,粗管足够供应6个居民点用水,细管只能供应1个居民点用水,粗管每千米花费7000元,细管每千米花费 2000元。粗细管怎样互相搭配,才能使费用最省?费用应是多少? 【思路导航】四根细管的花费超过一根粗管,所以最后三个居民点用细管。 水塔到C铺粗管,最后三个居民点铺细管,总费用为 297000 元。 1.甲、乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走30千米。已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，不准将部分食物存放于途中，问:其中一人最远可以深入沙漠多少千米? (要求最后两人返回出发点) 【思路导航】甲每走一天都要将食物分成三份:1份去，1份回，1份给乙。 甲:24÷3=8天，所以甲最远走到第8天，把食物给乙，然后返回 乙:(24+8)÷2=16（天） 16×30=480（公里） 2.甲、乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走30千米。已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，允许将部分食物存放于途中，问:其中一人最远可以深入沙漠多少千米?(要求最后两人返回出发点) 【思路导航】思考一下允许将部分食物存放于途中，跟上题的差别是什么?差别是乙在那甲给自己的补给时，拿不动的那部分可以回来再拿。 所以甲每走一天都要将食物分成四份:1份去，1份回，1份给乙去补给，一份给乙回补给。 甲:24÷4=6天，所以甲最远走到第6天，把食物放在途中。 乙:(24+6+6)÷2=18天18x30=540公里 3.一支摩托车小分队奉命把一个重要的文件送到距小分队驻地300千米以外的指挥部。每辆摩托车装满油最多能行驶 300千米,途中无加油站。为保证顺利完成任务,队长想出个巧妙的方法,用三辆摩托车执行此项任务,恰好有一辆摩托车可以把情报刚好送到指挥部,另外两辆安全返回驻地(三辆摩托车所带的油全部用完)。指挥部距小分队驻地多少千米? 【思路导航】三辆摩托车一起出发，行至耗油量的地点下,用一号车的油把二、三号车加满，一号车还剩下的油,在A地等等； 二、三号车从A地往前行驶至耗油量处B停下,用二号车的29车加满，二号车还剩下的油，刚好可返回到A地,然后一、二号车平分箱油，正好安全返回驻地; 三号车从B地以满油箱的油量向前行驶300千米,刚好到达指挥部。所以指挥部距驻地： 300×(1++)=460(千米)。 【经典测试】参考答案 1.如果“田忌赛马”齐王第一场出中等马，你认为应该出（ ）应对。 A.上等马 B.中等马 C.下等马 【思路导航】如果“田忌赛马”齐王第一场出中等马，我认为应该出上等马应对;齐王第二场出下等马，我认为应该出中等马应对;齐王第三场出上等马，我认为应该出下等马应对。 解:如果“田忌赛马”齐王第一场出中等马，我认为应该出上等马应对。 故选:A。 【点评】本题主要考查田忌赛马的应用。 2.乐乐和明明玩卡牌比大小游戏，采取三局两胜制。乐乐的三张牌分别是3、5、7，明明的三张牌分别是2、4、6。乐乐先出7，明明要想获得最后的胜利应该出（ ） A. 2 B.4 C.6 【思路导航】按照从小到大的顺序，明明的三张牌分别比乐乐的三张牌小，明明要想获胜，就需要采取田忌赛马的方法进行应对，乐乐出最大的牌7时，明明就要出最小的牌2，由此求解。 解:明明要想获得最后的胜利，可以按照以下的方法进行出牌: 乐乐 7 5 3 明明 2 6 4 乐乐出7时，明明要出2。 故选:A。 【小结】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关键。 3.爸爸让小强给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上差，最少需要多少分钟？ 【思路导航】经验表明，能同时做的事情，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。 4.育才小学赵勇、孙强、李乐三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵勇打针需要5分钟，孙强包纱布需要3分钟，李乐点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学留在卫生室的时间总和最短？ 【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。 这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李乐1分钟，孙强4分钟，赵勇9分钟，时间总和是1+4+9=14分钟。 5.小华在烤炉上烤面包，一次最多只能烤10片，每片都要烤两面，每面都需要1分钟才能烤好。则烤好5片、15片和20片面包分别至少需要多少时间‌？ 【思路导航】此题主要考查学生对烙饼的题的熟练掌握情况，关键是懂得依据合理安排时间，灵活运用准确解答。 解：依据合理安排时间得，一次最多只能烤10片，每片都要烤两面，每面都需要1分钟能烤好，烤好5片面包需要2分钟，15片面包需要3分钟，20片面包需要4分钟才能烤好。 认真读题可以知道这是一道关于烙饼的题，应该依据合理安排时间，解答即可。 6.用3～6这四个数字分别组成两个两位数，使这个两位数的乘积最大。 【思路导航】解决这个问题应考虑两点： （1）尽可能把大数放在高位 （2）尽可能使两个数的差最小 所以应该把6和5这个数字放在十位，4和3放在个位。根据 “两个因数的差越小，乘积越大”的规律，3应该放在6的后面，4应该放在5的后面。63×54=3402 7.甲地有59吨货物要运到乙地。大货车的载重量是7吨，小货车的载重量是4吨，大货车运一次耗油14升，小货车运一次耗油9升。运完这批货物至少耗油多少升? 【思路导航】14-7=2(升/吨) 9-4=2.25(升/吨) 2＜2.25 尽可能用大货车。59÷7=8(辆)……3(吨) 选8辆大货车和一辆小货车。14×8+9=121(升) 答:运完这批货物至少耗油121升。 8.服装厂的工人每天可以生产4件上衣或7条裤子。一件上衣和一条裤子为一套。现有66名工人生产，每天最多能生产多少套服装? 【思路导航】 66÷(1+)=42(人) 4×42=168(套) 答:每天最多能生产168套服装 9.自行车的前轮轮胎行驶 9000 千米后要报废，后轮轮胎行驶 7000 千米后要报废前后轮可在适当时候交换位置。问一辆自行车同时换上一对新轮胎，最多可行驶多少干米? 【思路导航】把每个车轮可以行使的路程看做“1”，那么前轮每行1千米就使用了，后轮每行1千米就使用了，又由于可以在适当时间交换前后轮胎，所以当同时报废时行程最远是（1+1）÷（ + ）=7875千米． 把每个车轮可以行使的路程看做“1”，如同时报废需行驶：（1+1）÷（ + ）=7875（千米）． 答：这对轮胎最多可行驶7875千米要报废。 【小结】明确两个轮胎同时报废行驶里程最远是完成本题的关键．此题难度较大，把一只新轮胎磨损量看做一个整体“1”问题即可迎刃而解． 10.甲、乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走30千米。已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，不准将部分食物存放于途中，问:其中一人最远可以深入沙漠多少千米? (要求最后两人返回出发点) 【思路导航】甲每走一天都要将食物分成三份:1份去，1份回，1份给乙。 甲:24÷3=8天，所以甲最远走到第8天，把食物给乙，然后返回 乙:(24+8)÷2=16（天） 16×30=480（公里） 学科网（北京）股份有限公司 $$