习题课圆锥曲线的应用专题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

圆锥曲线的应用 第三章 圆锥曲线的方程 习题课 圆锥曲线的应用 课前检测 1. 已知椭圆的离心率为，点，在椭圆上运动，当直线过椭圆的右焦点并垂直于轴时，的面积为为坐标原点 ，则椭圆的长轴长为( ) . A.2 B.4 C. D. 【解析】 将代入，可得，即 ， 所以解得所以椭圆的长轴长为2𝑎=4 B 2 课前检测 2. 已知若，分别是双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于，的一点，则 直线𝑃𝐴，𝑃𝐵 的斜率之积为( ) . A. B. C. D. 【解析】，B是双曲线 的左、右顶点， ， . 设，代入双曲线方程得 ， ， 故直线，的斜率之积为 . C 3 课前检测 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为， ，长轴长为4，点 在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是_ _______. 【解析】由题意可知，所以椭圆的标准方程为 . 因为点在椭圆内部，所以，可得 ， 又，所以，所以，，则 ， 的离心率的取值范围是， . 4 课前检测 4.如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线𝑙 与抛物 线交于，两点，且，，为坐标原点 . (1)求抛物线的方程. (2)求证：直线𝑙 过定点. 【解析】(1) 由题意可得，得 ，故抛物线的方程为 . (2) 设直线的方程为 ，代入抛物线方程 中，消去得 ，则 ，， 所以 ， 所以，解得或 （舍去）， 故直线的方程为，即直线过定点 . 5 一、圆锥曲线的最值问题 例题1 已知抛物线的焦点 到准线的距离为2. (1)求𝐶 的方程; (2) 已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线 斜率的最大值. 【解析】(1) 抛物线的焦点为,，准线方程为 ，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为 . (2)(轨迹方程+基本不等式法)设 ，则，所以 ， 由点在抛物线上可得，即 ， 据此整理可得点的轨迹方程为 ，所以直线的斜率 . 当时， .当时， ， 当时，，此时，当且仅当 ， 即时，等号成立；当时， .综上，直线斜率的最大值为 . 6 反思感悟 方法总结 最值问题的基本解法有几何法和代数法 (1)几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识来解决问题的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)； (2)代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值来解决问题的． 7 新知运用 跟踪训练1 已知椭圆的焦距为，离心率为 . (1)求椭圆𝐶 的标准方程； (2)若点𝐴(0,1)，点𝐵在椭圆𝐶上，求线段𝐴𝐵 长度的最大值. 【解析】(1) 依题意，得，离心率 ， 所以 ，所以椭圆的标准方程为 . (2)设，则，有 ， 所以 ，由两点间的距离公式，得 ， 因为， 所以当，时，线段𝐴𝐵 的长度最大，最大值为 . 8 二、定点、定值问题 例题2 已知抛物线经过点 . (1)求抛物线𝐶 的方程及其准线方程. (2) 设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点， ，直线 分别交直线，于点和点.求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点. 【解析】(1) 将点代入抛物线方程得，解得 ，故抛物线方程为 ，其准线方程为 . (2)很明显直线的斜率存在，焦点的坐标为 ，设直线方程为 ，与抛物线方程联立并消去整理可得 ， 故, .设,,,，则, ， 直线的方程为，与联立，从而易得点, ，同理可得点, ，易知以 为直径的圆的圆心坐标为,，圆的半径为 ， 又， ，则圆的方程为 ，令整理可得，解得, ， 即以为直径的圆经过轴上的两个定点, . 9 反思感悟 方法总结 (1)解决定值问题的方法： ①首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明定值，即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关； ②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值. (2)直线过定点问题，一般地，设动直线方程(斜率存在)为𝑦=𝑘𝑥+𝑡 ，由题设条件将𝑡用𝑘表示为𝑡=𝑚𝑘+𝑛，得𝑦−𝑛=𝑘(𝑥+𝑚)，故动直线过定点(−𝑚,𝑛) . 10 新知运用 跟踪训练2 已知椭圆过点，且. (1)求椭圆𝐶 的方程. (2)过点的直线交椭圆于点,,直线,分别交直线于点, .求的值. 【解析】(1) 由题意可得解得 故椭圆方程为 . (2) 显然直线的斜率必存在，故可设，，直线的方程为 ，与椭圆方程联立，消去可得 ，即 ，由，得 ,则, .直线的方程为 ， 令，可得 ， 同理可得 . ，而 ，故,即，从而 . 11 三、圆锥曲线中的证明问题 例题3 已知曲线上的任意一点到定点的距离比它到定直线 的距离少1． (1)求曲线𝐶 的方程． (2)已知𝐴(−1,0)，过点𝐹作直线𝑙与曲线𝐶交于𝑀，𝑁两点.求证：直线𝐴𝑀，𝐴𝑁关于𝑥 轴对称． 【解析】(1) 因为曲线上的任意一点到定点的距离比它到定直线的距 离少1，所以点到定点的距离和它到定直线的距离相等，所以曲线 为抛物线且 ，故曲线的方程为 ． (2)由于直线不与轴重合，可设，， ， 由消去整理得 ， 因此， ． 因为 ， 所以，即 ， 故直线，关于轴对称． 12 反思感悟 方法总结 解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 13 新知运用 跟踪训练3 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为 ，抛物线上一点的横坐标为2，且 . (1)求抛物线的方程. (2)过点𝑀(8,0)作直线𝑙交抛物线于𝐵，𝐶两点，求证：𝑂𝐵⊥𝑂𝐶 . 【解析】(1) 由题意可设抛物线方程为，则， ，因为点 的横坐标为2，由抛物线的对称性，不妨设点在轴上方，所以 ， 所以，， ，所以， 解得 ，故抛物线的方程为 . (2)显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， ，联立得方程组消去可得 ， 则，，所以 ， 所以，故 . 14 随堂检测 1. 若为椭圆 上位于第一象限内的一点，过点作轴的垂线，垂足为 ， 为坐标原点，则的面积的最大值为( ) . A. B. C.3 D. 2. 因为正三角形内角的余弦值为，所以有人将离心率为的椭圆称为“正椭圆”.已知“正椭圆”的上、下顶点分别为，，且“正椭圆”上有一动点(异于椭圆的上、下顶点)，若直线，的斜率分别为，，则 ( ) . A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线在第一象 限的交点为，直线与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则___；周长的取值范围为_______. A C 15 随堂检测 4. 设抛物线的顶点为，焦点为.过点且斜率为的直线与有两 个不同的交点，，过点作平行于的对称轴的直线交的准线于点 . (1)求抛物线𝐶 的方程及其准线方程. (2) 求证：，， 三点共线. 【解析】因为过点且斜率为的直线与有两个不同的交点 ， ，所以，解得 ，所以抛物线的方程为，其准线方程为 . (2)因为过点作平行于的对称轴的直线交的准线于点，所以 ，因为抛物线的方程为 ，所以焦点为 ，所以直线的方程为 ， 联立方程组整理得 ，解得，，即， ， 所以， ， 因为，且，有公共点 ， 所以，，三点共线. 16 课堂小结 1.知识清单： (1)圆锥曲线的最值问题； (2)定点、定值问题； (3)圆锥曲线中的证明问题. 17 $$