3.3.2 抛物线的简单几何性质-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.3抛物线 第三章 圆锥曲线的方程 课时2 抛物线的简单几何性质 新知探究 探究一:抛物线的简单几何性质 情境设置 1、范围: 抛物线 的范围为 2、对称性: 抛物线关于轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 3、顶点: 定义:抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 即抛物线的顶点. 4、离心率: 抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离之比 ,叫做抛物线的离心率,用表示.由抛物线的定义可知,. 2 新知生成 知识点一 抛物线的简单几何性质 标准方程 图形 范围 , , , , 对称轴 轴 轴 顶点 离心率 3 一、抛物线的简单几何性质 例题1 已知抛物线. (1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、? 的取值范围; (2)以坐标原点为顶点,作抛物线的内接等腰三角形,其中,若焦点是的重心,求的周长. 【解析】(1) 抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、的取值范围分 别为,,直线,轴, . (2) 如图所示.由可知轴,设垂足为 . 因为焦点是的重心,所以 . 因为,所以 ,所以 . 设,代入,得, 所以 或 (舍去), 所以,, , 所以的周长为 . 4 反思感悟 方法总结 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的 过程中又容易忽视这些隐含的条件. 其中应用最广泛的是取值范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解. 另外,要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化. 5 新知运用 跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为? 轴,且与圆 ,两点, ,求抛物线的方程. 【解析】由已知得,抛物线的焦点可能在轴正半轴上,也可能在负半轴上, 故可设抛物线方程为 . 设抛物线与圆的交点为, . 抛物线与圆都关于轴对称, 点与点关于 轴对称, 且,,代入圆 , 得,,或 ,代入抛物线方程,得 , . 所求抛物线方程是或 . 6 新知探究 探究二:直线与抛物线的位置关系 情境设置 问题:若直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线与抛物线相切吗? 【解析】直线与抛物线相切时,只有一个公共点,但是只有一个公共点时, 直线与抛物线可能相切也可能平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 7 新知生成 知识点二 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的交点个数决定于关于的方程组 解的个数,即方程 解的个数. (1)当时,若,则直线与抛物线有两个不同的公共点; 若 ,则直线与抛物线有一个公共点; 若 ,则直线与抛物线没有公共点. (2)当时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点. 8 二、直线与抛物线的位置关系 例题2 设抛物线与过焦点的直线交于,两点,求 的值. 变式:(1)设抛物线与直线交于,两点,求 的值. (2)设抛物线与直线交于,两点,且,求直线过定点. 9 反思感悟 方法总结 若直线,与抛物线交于? ,? 两点,则. 若直线与抛物线交于? ,? 两点,且,则直线一定过定点(,0). 10 新知运用 跟踪训练2 若直线与曲线恰好有一个公共点,试求实数 ? 的取值集合. 【解析】因为直线与曲线恰好有一个公共点, 所以方程组有唯一一组实数解,消去,得 , 整理得 , ① (1)当,即时,方程①是关于的一元一次方程,解得 , 这时,原方程组有唯一解 (2)当,即时,方程①是关于 的一元二次方程. 令,解得或 . 当时,原方程组有唯一解当时,原方程组有唯一解 ,, . 11 新知生成 知识点三 与抛物线有关的弦长问题 1.抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为 . 2.抛物线的焦半径( 是直线 的倾斜角). 3.抛物线的焦点弦:过抛物线的焦点的一条直线与它交于, 两点,且直线的倾斜角为,则 , ; , ; .④, , ⑤以为直径的圆与准线相切;以,为直径的圆与轴相切. 12 三、与抛物线有关的弦长问题 例题3 已知设为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,为的准线,则( ) . A. B. C.以? ? 为直径的圆与? 相切 D. 为等腰三角形 【解析】由题意,易知直线? =−√3 (? −1)过点(1,0) . 对于A,因为直线经过抛物线C的焦点,所以易知焦点坐标为(1,0),所以 ,即 ,故A正确.对于B,不妨设,,,联立方程得消去 ,并整理得,解得, .由抛物线的定义得, ,故B错误.对于C,由以上分析易知,直线? 的方程为? ,,,,以? ? 为直径的圆的圆心坐标为,,半径,所以以为直径的圆与直线? 相切,故C正确.对于D,由两点间距离公式可得,,,又 ,故D错误.故选AC . AC 13 三、与抛物线有关的弦长问题 P137例题4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于两点,求线段的长. 【解析】由题意可知,,焦点的坐标为,准线方程为.如图3.3-4,设两点到准线的距离分别为.由抛物线的定义,可知 于是 因为直线的斜率为1,且过焦点,所以直线的方程为 将(1)代人方程,得,化简,得 所以 所以,线段的长是8. 14 反思感悟 方法总结 直线与抛物线相交的弦长问题:设直线和抛物线相交于? ,两点, 直线的斜率为? . (1)一般的弦长公式: . (2)焦点弦长公式:当直线经过抛物线的焦点时,弦长 . (3)“中点弦”问题的解题策略是点差法. 15 新知运用 跟踪训练3 (1)已知过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点, 如果,那么的值为( ) . A.6 B.8 C.9 D.10 (2) 若抛物线的弦的中点坐标为,,则直线的斜率为( ) . A. B.4 C. D.2 【解析】(1) 由题意得, 过抛物线的焦点作直线交抛物线于 , 两点,,又, . (2) 设,,则 . 所以 , 所以 .故选B. B B 16 随堂检测 1. 若过点的直线与抛物线只有一个公共点,则这样的直线有( ) . A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2. 已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于点 ,,则 ( ) . A.3 B.4 C.5 D.6 3. 已知抛物线,过抛物线焦点的直线与拋物线交于,两点, 则 _. B C 17 随堂检测 4. 已知抛物线的方程为,直线过定点,斜率为,当 与抛物线 (1)只有一个公共点?(2)有两个公共点?(3)没有公共点? 【解析】设直线的方程为,即 . 由得 . (1)直线与抛物线只有一个公共点,等价于方程只有一个根.当时, ,符合题意. 当时,,整理得 , 解得或 .综上可得,或或 . (2)因为直线与抛物线有两个公共点,等价于方程有两个不相等的根, 所以,,即 ,解得且 . (3)因为直线与抛物线没有公共点,等价于方程无解,所以,,即 ,解得或 . 18 课堂小结 1.知识清单: (1)抛物线的简单几何性质; (2)直线与抛物线的位置关系; (3)与抛物线有关的现场问题. 19 $$