第4节 空间向量的应用讲义-2025届高三数学一轮复习

第4节 空间向量的运用 【知识梳理】 （一）空间向量的相关概念 （1）空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量． （2）空间向量基本定理： 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得； 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底； 与（不共线）共面存在实数对，使；若空间中四点共面，为空间中任意一点，则满足，且． （二）空间向量的相关运算 若空间向量； （1）向量模长：； （2）向量的加减：； （3）向量的平行； （4）向量的平行：若； （5）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．向量的夹角公式． （三）法向量的求解与简单应用 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 几点注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． •第一步：写出平面内两个不平行的向； •第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则；若，即，则． ②直线与平面的位置关系： 直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则；若，即，则． （3）平面与平面的位置关系：平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 考点一 空间向量 【典型例题】 1.已知，，且，则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.若向量，，且，则实数的值是（ ） A．0 B．1 C． D． 3.已知空间向量，，，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4.已知直线的方向向量为，，，若点，1，为直线外一点，，1，为直线上一点，则到直线上的距离为　 　． 5.设平面内两个向量的坐标分别为，，则下列向量中是平面的法向量的是（ ） A． B． C． D． 【过关检测】 给出下列命题：①直线的方向向量为，，，直线的方向向量，1，，则与垂直；②直线的方向向量，1，，平面的法向量，，，则； ③平面、的法向量分别为，1，，，0，，则； ④平面经过三点，0，，，1，，，2，，向量，，是平面的法向量，则． 其中真命题的是　 ．（把你认为正确命题的序号都填上） 考点二 空间中的夹角问题 用空间向量求解立体几何问题的步骤比较流程化，常分四步： ①建立空间直角坐标系，写出点的坐标； ②计算直线的方向向量、平面的法向量； ③根据问题，选择合适的公式计算； ④把向量运算的结果翻译成几何问题的答案. 角度1 线线角 【方法原理】 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法： 法一 平移法：将异面直线平移到同一平面内（平移方法同线面平行证明的方法法一（A型平行）、法二（“□”型平行）相同），放在同一三角形内解三角形． 法三 空间向量法：设直线的方向向量为，，其夹角为，则（其中φ为异面直线所成的角），具体见空间向量数量积章节． 【典型例题】 1.（2021•全国乙卷）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 2.（2022•全国甲卷）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ） A． B．AB与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 3.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【过关检测】 1.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 2.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 角度2 线面夹角 【方法原理】 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 法一 常规法：过平面外一点做平面，交平面于点； 连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形． 即 （其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 法二 空间向量法：如图所示，设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为φ，两向量与的夹角为θ，则有，或者 【典型例题】 1.如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 2.如图，在三棱台中，平面平面，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【过关检测】 1.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．若，求直线与平面所成角的正弦值． 2.如图，几何体中，和均为等边三角形，平面平面，，，，为中点． （1）证明：、、、四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 3.如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点．求直线与平面所成角的正弦值． 角度3 二面角 【方法原理】 ①二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角 或者是二面角） 图1 图2 二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 ． 法一 定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图2在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二 三垂线法：在面或面内找一合适的点,作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图3，具体步骤： Step1：找点做面的垂线；即过点,作于; Step2：过点（与step1中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接; Step3：计算；为二面角的平面角，在中解三角形． 法三 射影面积法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（,如图4）求出二面角的大小； 法四 补棱法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法四的摄影面积法解题，此处不做过多展开； 法五 垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． 例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角，如图5． 此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了． 法六 空间向量法：①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈，〉即为所求二面角的平面角；②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图6所示，二面角，平面的法向量为，平面的法向量为，〈，〉，则二面角的大小为或． 【典型例题】 1.如图所示，四棱锥中，平面，， ，． （1）在棱上是否存在一点，使得平面，请证明你的结论； （2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 2.（2024•北京）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，． （1）若为线段的中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 3.如图，已知在正三棱柱中，，，为边的中点． （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的大小． 【过关检测】 1.（2023•新高考Ⅱ多选）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则　　 A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 2.（2023•乙卷）已知为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为　　 A． B． C． D． 3.如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 4.如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将△沿对折至△，使得． （1）证明：； （2）求面与面所成的二面角的正弦值． 5.如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，． （1）证明：平面； （2）若圆锥的侧面积为，求二面角的余弦值． 6.如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，，． （1）证明：； （2）若四棱台的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 考点三 距离问题 角度1 异面直线间的距离 【方法原理】异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 法一 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为， 这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离． 则，即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 法二 空间向量法：如图所示，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的 角为，两向量与的夹角为，则有． 【典型例题】 （2020•天津卷）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【过关检测】 1.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为　　． 2.将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C，点E，F分别为AC，BD的中点，当二面角A﹣BD﹣C是直二面角时，AC与BD间的距离为_____. 角度2 点面、面面间的距离 【方法原理】（一）求解空间中的距离 （二）点到平面的距离 为平面外一点(如图)，为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．如图所示： ，所以． 【总结】点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值． 【典型例题】 如图所求，已知四边形、和都是边长为的正方形，点、分别是和 的中点．求： （1）点到平面的距离； （2）异面直线与的距离． 【过关检测】 如图，在直三棱柱中，，且，点为线段上的动点．当为线段中点时，求点到平面的距离. 巩固练习1 1.（2020·新高考1卷）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点处的水平面所成角为（ ） A． B． C． D． 2.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ） A．8 B． C． D． A． B． C． D． 3.已知平面的法向量为，，，点，3，在平面内，则点，1，到平面的距离为，则（ ） A． B． C．或 D． 4.（2021•新高考1卷•多选）在三棱柱中，底面，，，，是的中点，、分别为、△所在平面上的点，且，正确的是（ ） A． B．直线与底面所成的角为 C．异面直线与所成角的最大值为 D．三棱锥的外接球的体积为 5.如图，三棱锥中，，平面． （1）求证：平面平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 6.如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，． （1）证明：． （2）已知平面平面，点满足，求二面角的余弦值． 7.如图，在三棱锥中，平面平面，且，． （1）证明：平面． （2）若，点满足，求二面角的大小． 8.如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点作于点，连接． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，求平面与平面所成角的正弦值． 9.如图，在三棱锥中，为等边三角形，，． （1）证明：． （2）若，求二面角的余弦值． 10.如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，，分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求平面与平面所成角的余弦值． 11.如图，为菱形，，，将菱形沿旋转至，使得，为线段上一动点． （1）求证：平面； （2）当为中点时，求平面与平面所成角的余弦值． 12.如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点，，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 13.如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥，且． （1）求翻折后线段的长； （2）点满足，求与平面所成角的正弦值． 14.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 15.如图，在三棱台中，，平面平面，． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$