广东省卓越联盟学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题

卓越联盟学校2024-2025学年度第一学期 高二年级 数学科 第一次联考 （全卷共4页，考试时间：120分钟） 命题人：谭琼珍 审题人：张秋月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 3. 已知动点在所在平面内运动，若对于平面ABC外的一点，有，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 4. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，圆上恰有个点满足，则可以为（ ） A. B. C. D. 7. 、分别是双曲线左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且．已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 10. 方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程表示椭圆 B. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C. 当时，方程表示圆 D. 当或时，方程表示双曲线 11. 如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱上靠近点的三等分点，则下列结论正确的有（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短路程为 B. 若，点的运动轨迹是线段 C. 若，则点在侧面内运动路径长度为 D. 当点与点重合时，三棱锥的体积最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，，若，则实数________． 13. 人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程．利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______． 14. 已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是． （1）求的值； （2）若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率． 16. 如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面． （1）求证：点为线段的中点； （2）求点到平面的距离． 17. 已知圆，是圆上的一个动点，点，是线段的中点，为坐标原点． （1）求动点的轨迹方程； （2）当时，求直线的方程及线段的长度． 18. 如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． （1）证明：在翻折过程中总有平面平面； （2）若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求“共轭点对”中点所在直线的方程； （3）设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 卓越联盟学校2024-2025学年度第一学期 高二年级 数学科 第一次联考 （全卷共4页，考试时间：120分钟） 命题人：谭琼珍 审题人：张秋月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 由已知为三棱台， 则， 又，，且点为中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 平面，且，，平面， 平面平面， 平面平面，平面平面， ， 为中点； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）， 【18题答案】 【答案】（1） 折叠前，四边形是菱形，所以， 由分别是边的中点，所以，故， 折叠过程中且都在面， 所以面，故面，面， 所以面面. （2）存在，为上靠近的三等分点，理由如下： 当面面时，由面面，面，， 所以面，又面，故， 综上，可建立如下空间直角坐标系，则， 所以，设， 则， 所以，则，， 设面的法向量为，则， 取，则，而面的一个法向量为， 若面与面的夹角为，则，解得， 所以为上靠近的三等分点，满足题设要求． 【19题答案】 【答案】（1） ； （2） ； （3） 由（2）知，直线：，由，解得或， 则，， 设点，，则，两式相减得， 又，于是，则，有，线段PQ被直线l平分， 设点到直线的距离为d，则四边形的面积， 而，则有， 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值， 由消去y得， 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $