精品解析：吉林省长春市赫行教育集团2024-2025学年九年级上学期教学质量监测数学试题

赫行教育集团2024-2025学年第一学期教学质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果式子有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算或运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 5. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，已知点A，B分别是反比例函数y=（x＜0），y=（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO=，则k的值为（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 计算：=________． 10. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 11. 如图，直线，分别交直线、于点、、、、、．若，，则的长为_________． 12. 如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为________． 13. 如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为_____________. 14. 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论： ①∠AFC=120°； ②△AEF是等边三角形； ③AC=3OG； ④S△AOG=S△ABC 其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都选上） 三、解答题： 15. 计算： 16. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 17. 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月份游客人数为万人，月份游客人数为万人．求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率． 18. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图．要求： （1）如图①，在边上找点E，使得． （2）如图②，在网格中找格点E（一个即可），画出，使得． （3）如图③，C为格点，在边上找点E，使得． 19. 如图， 在中，， 点为边边延长线的一点， 使， 过点作，交边的延长线于点． （1） 求证： （2）若，则的长为 ． 20. 图1是一台手机支架，图是其侧面示意图，，BC可分别绕点，转动，测得，，，，求点到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 21. 在一条直线上依次有，，三个海岛，某巡逻船执行海洋巡逻任务，从岛出发沿直线匀速行驶到岛，保持速度不变，继续行驶到达岛．设该巡逻船行驶（）后，与岛的距离为（km），与的函数关系如图所示． （1）直接写出，两海岛间的距离，并求出函数图象中括号处缺失的数据； （2）求段的关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）在岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，请直接写出该巡逻船能接收到该信号的时长． 22. （1）【定义理解】如图1，在中，E是的中点，P是的中点，就称是的“双中线”，，则______． （2）【类比探究】①如图2，E是菱形一边上的中点，P是上的中点，则称是菱形的“双中线”，若，则______． ②如图3，是矩形的“双中线”，若，求的长． （3）【拓展应用】如图4，是平行四边形的“双中线”，若，，求的长． 23. 如图，在菱形中，，，为正三角形，点分别在菱形的边，上滑动，且点不与点重合，连结，与交于点． （1）的形状为 ； （2）求证：当点在边上滑动时，总有； （3）求四边形周长的最小值； （4）在不添加辅助下的情况下，图中始终与相似的三角形有 个，并直接写出与相似比为时线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连接． （1）如图，判断三角形的形状，并说明理由． （2）在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间． （3）在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赫行教育集团2024-2025学年第一学期教学质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 2. 如果式子有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 3. 下列计算或运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了化简二次根式、二次根式的减法及除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式化简规则、二次根式的减法及除法的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，符合题意； C. ，原计算错误，不符合题意； D. ，原计算错误，不符合题意； 故选B． 4. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 【答案】D 【解析】 【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵点F是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键． 5. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握相关定义即可． 6. 如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6， ∴OB=AB=0.8， 在Rt△OCB中，sin∠OBC=， ∴OC=OB•sin∠OBC=0.8sin20°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 8. 如图，已知点A，B分别是反比例函数y=（x＜0），y=（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO=，则k的值为（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A，B分别在反比例函数y= （x＜0），y=（x＞0）的图象上，即可得S△OBD= ，S△AOC=|k|，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求出k的值 【详解】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D， ∴∠ACO=∠ODB=90°， ∴∠OBD+∠BOD=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠BOD+∠AOC=90°， ∴∠OBD=∠AOC， ∴△OBD∽△AOC， 又∵∠AOB=90°，tan∠BAO= ， ∴=， ∴ = ，即 ， 解得k=±4， 又∵k＜0， ∴k=-4， 故选D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 计算：=________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的除法计算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：原式=． 故答案为： 【点睛】本题主要考查的是二次根式的除法计算法则，属于基础题型．理解这个法则是解决问题的关键． 10. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】根据题意得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 11. 如图，直线，分别交直线、于点、、、、、．若，，则的长为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】∵，DE=15， ∴，即， 解得，EF=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 12. 如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似图形的周长比等于相似比解题即可． 【详解】解：∵四边形与四边形的位似比为， ∴四边形与四边形的周长比为． 故答案为：． 13. 如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为_____________. 【答案】25 【解析】 【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米． 根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝502． 解得x＝25． 即此时该小车离水平面的垂直高度为25米． 故答案为：25. 【点睛】考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan（坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理． 14. 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论： ①∠AFC=120°； ②△AEF是等边三角形； ③AC=3OG； ④S△AOG=S△ABC 其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都选上） 【答案】①②④． 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∴∠FCA＝∠OAG， ∵O为AC中点，EF⊥AC， ∴AF＝CF， ∴∠FAC＝∠FCA， ∵点G是AE中点且∠AOG＝30°， ∴OG＝AE＝AG， ∴∠OAG＝∠AOG＝30°， ∴∠FCA＝∠FAC＝30°， ∴∠AFC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，①正确； ∵∠FAE＝30°+30°＝60°，∠AEO＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AFE＝60°， ∴△AEF是等边三角形，②正确； ∵∠OAG＝30°，EF⊥AC， ∴AE＝2OE＝2OG， ∴OA＝OE＝OG， ∴AC＝2OA＝2OG，③不正确； ∵点G是AE中点， ∴S△AOG＝S△AOE， ∵∠AOE＝90°＝∠B，∠OAE＝∠BAC， ∴△AOE∽△ABC，相似比为＝＝＝， ∴＝（）2＝， ∴S△AOG＝S△ABC，④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题： 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 17. 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月份游客人数为万人，月份游客人数为万人．求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率． 【答案】这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用．设这两个月的平均增加率为x，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，可得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． 18. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图．要求： （1）如图①，在边上找点E，使得． （2）如图②，在网格中找格点E（一个即可），画出，使得． （3）如图③，C为格点，在边上找点E，使得． 【答案】（1） 如图，点E即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 如图，点E即为所求．    【解析】 【分析】本题考查了正方形网格上作图，解题的关键是利用正方形和相似三角形的性质来找寻到作图的方法． （1）如图，构造，因，故作网络线与相交于点E． （2）如图，连接与，相交于点E，因矩形的对角线相等且互相平分，所以有，因此有． （3）如图，设Q为边上的格点，连接与，相交于点F，连接交于点E．由可得，则，即，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图， 在中，， 点为边边延长线的一点， 使， 过点作，交边的延长线于点． （1） 求证： （2）若，则的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再结合可得，然后根据两内角对应相等的两三角形相似即可解答； （2）根据，AC=3CD，由相似三角形对应线段成比例可得CH=1，再结合（1）即可求得DH的长度． 【详解】解：（1） 在和中 ； （2）∵DH//AB， ∴ ∵AC=3CD， ∴，即CH=1 ∴BH=BC+CH=3+1=4， 由（1）知，则 ∴DH2=4×1=4， ∴DH=2（负值舍去）． 答：DH的长度为2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键在于灵活运用相似三角形的判定与性质解决问题． 20. 图1是一台手机支架，图是其侧面示意图，，BC可分别绕点，转动，测得，，，，求点到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】点到的距离约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作 垂足为，过 点作，垂足为，过点C作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长和，从而求出，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】过点作垂足为，过点作，垂足为，过点C作，垂足为， 由题意得：，在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ∴点到的距离约为． 21. 在一条直线上依次有，，三个海岛，某巡逻船执行海洋巡逻任务，从岛出发沿直线匀速行驶到岛，保持速度不变，继续行驶到达岛．设该巡逻船行驶（）后，与岛的距离为（km），与的函数关系如图所示． （1）直接写出，两海岛间的距离，并求出函数图象中括号处缺失的数据； （2）求段的关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）在岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，请直接写出该巡逻船能接收到该信号的时长． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，理解题目信息是解题的关键． （1）把到，到间的距离相加即可得到两个港口间的距离，再求出巡逻船的速度，最后利用公式可求出到间的时间； （2）利用待定系数法求一次函数解析式求解即可； （3）信号覆盖范围看作一个直径为的圆，路程除以速度即可得到接收信号的时间． 【小问1详解】 解：由图象可知， 两岛之间的距离为， 两岛之间的距离为， ，，三个海岛在一条直线上, ，两海岛间的距离为； 由图象可知， 巡逻船从岛到岛的时间为， ∴巡逻船的速度为， ∴巡逻船从岛至岛的时间为， 所以函数图象中括号处缺失的数据为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设一次函数解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴段的关于的函数解析式为； 【小问3详解】 解：该巡逻船能接收到该信号的时长为． 22. （1）【定义理解】如图1，在中，E是的中点，P是的中点，就称是的“双中线”，，则______． （2）【类比探究】①如图2，E是菱形一边上的中点，P是上的中点，则称是菱形的“双中线”，若，则______． ②如图3，是矩形的“双中线”，若，求的长． （3）【拓展应用】如图4，是平行四边形的“双中线”，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①，②3；（3）3 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结论； （2）延长交的延长线于点F，，利用证出，从而求出，过点B作，交的延长线于点M，根据直角三角形的性质可得，，利用勾股定理求出，再利用“双中线”，即可求出结论； （3）连接，延长交的延长线于H，利用证出，从而求出，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结论； （4）连接，延长交的延长线于H，利用证出，从而求出，可得到，从而得到，再由平行四边形的性质， 可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结论． 【详解】解：（1）【定义理解】如图1中， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵P是的中点， ∴． 故答案为：． （2）【类比探究】①延长交的延长线于点F， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作，交的延长线于点M， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是菱形的“双中线”， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图3中，连接，延长交的延长线于H． 在矩形中，， ∴，， ∵是矩形的“双中线”， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． （3）【拓展应用】如图4中，连接，延长交的延长线于H， 在平行四边形中，，， ∴，， ∵是平行四边形的“双中线”， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质，平行四边形，菱形和矩形的性质，此题难度较大，掌握直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形，菱形和矩形的性质是解决此题的关键． 23. 如图，在菱形中，，，为正三角形，点分别在菱形的边，上滑动，且点不与点重合，连结，与交于点． （1）的形状为 ； （2）求证：当点在边上滑动时，总有； （3）求四边形周长的最小值； （4）在不添加辅助下的情况下，图中始终与相似的三角形有 个，并直接写出与相似比为时线段的长． 【答案】（1）等边三角形 （2） ∵是等边三角形， ∴，， ∵是正三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）四边形周长的最小值为 （4）；， 【解析】 【分析】本题考查菱形，全等三角形，等边三角形，相似三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据等边三角形的判定，即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，即可； （3）根据全等三角形的性质，则，，得到四边形周长为：，根据，则当时，四边形周长值最小，根据菱形的性质，勾股定理的运用，即可； （4）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【小问1详解】 ∵四边形是菱形， ∴， ∵是对角线， ∴， ∴是等边三角形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴，， ∴四边形周长为： ∵ ∴当时，四边形周长值最小， 四边形是菱形 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形周长为：． 【小问4详解】 ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴图中始终与相似的三角形有个； 当与的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴； 过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 当且相似比为， ∴， 设， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连接． （1）如图，判断三角形的形状，并说明理由． （2）在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间． （3）在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）为直角三角形， 理由如下： ， ， ，， ， ，， ， ，  ， 又， ， ， ， 为直角三角形； （2）点运动的时间为 （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先解方程得出，，再由，即，结合得到，则，然后证明即可判断出的形状； （2）先求出直线的解析式为，延长至点，使，连接，交于点，此时周长最短，然后求出的解析式为，再与直线的解析式联立建立方程组，解方程组即可求出点坐标，再利用勾股定理求得的长，进而得出点运动的时间； （3）由于，分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，；分别求出的长，再分点P在线段上与点P在线段的延长线上两种情况确定点P的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图，延长至点，使，连接，交于点，此时周长最短， 与关于对称， 是的中点， ，， ， 设直线的解析式为， ， ∴的解析式为， 由， 解得：， ， ， ； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或或，理由如下： 分两种情况： ①当时， ，则， 解得：， ， 如图，当点在线段上时，那么，此时点与点重合，即； 如图，当点在线段的延长线上时，此时点P与点C关于点B对称， ，即：； ②当时， ，则， 解得：， 如图，当点在线段上时，过点作轴，则，可得， ， ， ， ，， ， ， 如图，当点在线段的延长线上时，此时点与点关于点B对称， ，即：； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，用待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $