第13讲线等腰三角形的性质与判定2024-2025学年人教版数学八年级上册

第13讲 等腰三角形的性质与判定 【知识要点】 1. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是轴对称图形 （2） 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） （3） 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边是的高互相重合（三线合一） 2. 判定：一个等腰三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等（等边对等角） 2【考点精讲】 【考点1】等边对等角 例题1．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等边对等角，熟练掌握性质是解题的关键．根据，得，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【针对训练】 1.如图，已知平分，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【分析】本题考查等角对等边，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，进而得到即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 2.如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，垂足为D，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【分析】本题考查了三角形内角和定理、等边对等角、线段垂直平分线的性质，由三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 【考点2】“三线合一” 例题1已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为4，则点F到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【分析】根据等腰三角形的性质：三线合一，可知也是顶角的平分线，然后根据角平分线的性质，即可得到点到直线的距离．本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质解答． 【详解】解：∵是等腰底边上的高， 是顶角的平分线， 点到直线的距离为4， 点到直线的距离为4， 【针对训练】 1.如图，在中，，是边上的中线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ 【考点3】等腰三角形中的分类讨论问题 例题1.若等腰三角形的顶角为，则底角的大小为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“等边对等角”的性质是解题关键． 根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可． 【详解】解：等腰三角形的顶角是， 则底角是． 【针对训练】 1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．2或4 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系和等腰三角形的定义求解即可．三角形三边关系，两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 【详解】解：解：∵一个三角形的两边长分别是2和4，设第三边长为， ∴， 即 又∵这个三角形是等腰三角形， ∴第三边的长可能是2和4， ∴第三边的长只可能是4， 2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当高在三角形的内部时： 由题意，得：，， ∴； 当高在三角形的外部时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 【考点4】等腰三角形的判定 例题1.如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且． 求证：是等腰三角形； 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质． 根据角平分线和平行的性质求出即可； 【详解】（1）证明：是的平分线， ， 又∵， ， ， ， 是等腰三角形； 【针对训练】 1.如图，，都是的角平分线，，相交于点O，且，求证：是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义可得出，．再根据等边对等角得出，进而可得出，即可证明是等腰三角形． 【详解】证明：∵，是的角平分线， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴是等腰三角形． 【达标检测】 1.如图，在中，直线是的垂直平分线，且分别交于点和，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】本题考查中垂线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质结合等边对等角，求出的度数，利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 2．如图，在中，D在上，E在上，且，，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，设则可利用等腰三角形的两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和求，，．最后利用三角形的内角和求出，可得到． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 中，， ∴， 解得， ∴． 3.如图，是的角平分线，且，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质及内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 在上取点E，使得，连接，证得，得到，，根据线段的和差可推出，得到，从而，，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：在上取点E，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 4.如图，在中，，，垂足为D，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，掌握此性质是关键；由，得，则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 5．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查等腰三角形的定义和判定，三角形三边关系，三角形内角和定理．掌握等腰三角形的定义和等角对等边的判定定理是解题关键．由等腰三角形的定义可直接判断A；由三角形三边关系可判断B；根据三角形内角和定理可求出，再根据等角对等边，可判断C；直接由等角对等边可判断D． 【详解】解：A．∵， ∴，即是等腰三角形，故该选项能判定，不符合题意； B．∵， ∴可设，则，， ∴，即此时以为边不能组成三角形， ∴不能判定是等腰三角形，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴能判定是等腰三角形，故该选项不符合题意； D．∵， ∴可设， ∴能判定是等腰三角形，故该选项不符合题意． 6.如图，在中，，边的垂直平分线交于M，点N在上，连接，，，则的周长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等角对等边．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的判定得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于M， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 7.等腰三角形的一边长为14，另一边长为7，则周长为（　　） A．35 B．28 C．21 D．28或35 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；注意：题目给出等腰三角形有两条边长为14和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．等腰三角形两边相等，又知道其中两边的长，在满足三角形的构成条件下，可以推测第三边的长，计算周长即可． 【详解】解：当底边长为14时， ， 不能构成三角形， 当底边长为7时， ， 能构成三角形， 等腰三角形的周长为 8.已知等腰的一个角是，则的底角的度数是 ． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据已知角为顶角和底角，分类讨论即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意知，分两种情况： （）当这个的角为顶角时，则底角； （）当这个的角为底角时，则另一底角也为 9.如图，中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质及角平分线的定义是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，最后根据角平分线的定义结合三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵，是的中线，且， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴． ∴， 10.如图，在中，平分，，请判断的形状，并证明． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定， 根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据角平分线的定义得，即可得出，最后根据“等角对等边”得出答案． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 11．如图，，，、相交于点O． (1)求证：； (2)求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）根据全等三角形对应角相等可得，根据等腰三角形的判定得出，即可证明． 【详解】（1）证明：在和中， ， ． （2）证明：∵， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$