精品解析：江苏省盐城市建湖县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 （时间：120分钟 试卷满分：150分 考试形式：闭卷） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 已知关于x的方程，（1）；（2）；（3）；（4）；中，一元二次方程的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 3. 若一组数据2，3，5，x，7的平均数为5，则x的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 4 D. 8 4. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点、在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与分别相交．则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正八边形内接于，连接、，若，则的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．） 9. 某校篮球队6名学生进行定点投篮比赛，每人投10次，据统计，他们投中的次数分别为：7，9，7，8，6，6，则这组数据的中位数是________． 10. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是________． 11. 若方程的两根为：，，则方程的两根为________． 12. 如图，、分别与相切于A、两点，是优弧上的一个动点，若，则________°． 13. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为24，则的长为________． 14. 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的上，若OA＝3cm，∠1＝∠2， 则的长为________cm． 15. 如果关于的方程有实数根，则的取值范围为________． 16. 如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）（用公式法解）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中满足． 19. 如图，平面直角坐标系中有一个． （1）利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； （2）的外接圆的圆心坐标是 ； （3）该圆圆心到弦的距离为 ； （4）最小覆盖圆的半径为 ． 20. 在一个不透明的盒子中放有四张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为，0，2，，卡片除了上面的实数不同外，其余都相同． （1）从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率为________； （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表法或画树状图的方法求出两次抽取的卡片上的实数之积为有理数的概率． 21. 为了解某一路口汽车流量情况，小明同学在10天的早、晚高峰时间段统计通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果整理如下： ：早高峰： ：晩高峰；192，189，200，190，180，192，185，173，192，181 （1）晚高峰10个数据的众数是________辆； （2）若某时段的汽车数量方差越小，则认为该时段车流量越稳定，则早晩高峰时段车流量更稳定的是________（填“早”或“晩”）； （3）若早高峰时段该路口通过的汽车数量高于200辆则视为“拥堵”，试估计该路口一个月30天）早高峰时段拥堵的天数为多少天？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数的值． 23. 如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 24. “秋风起，蟹脚痒”，某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查某种规格的螃蟹价格．如表是“南园鸿运”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 学校社会实践记录表 团队名称 南园鸿运 活动时间 班级人员 小明等名同学 地点 渔婆农贸市场 实践内容 调查螃蟹行情，帮市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 螃蟹的进价为元/千克． 螃蟹售价为元/千克时，每天可销售千克． 每千克每涨价1元，每天少销售2千克． 解决问题 问题1 某天市场正好销售千克的螃蟹，则获利多少元？ 问题2 若市场想一天销售螃蟹获总利润为元，则螃蟹的售价为多少元/千克？ 25. 如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 26. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． （1）在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； （2）在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； （3）取的中点，运动过程中，当时，直接写出的值为________． 27. 如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． （1）求点到直线的距离． （2）如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． （3）在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 （时间：120分钟 试卷满分：150分 考试形式：闭卷） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 已知关于x的方程，（1）；（2）；（3）；（4）；中，一元二次方程的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：因为是一元二次方程，故（1）是错误的； 因为是一元二次方程，故（2）是正确的； 因为是一元二次方程，故（3）是正确的； 因为不是一元二次方程，故（4）是错误的； 所以一元二次方程的个数为2， 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义；只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；形如叫做一元二次方程的一般式． 2. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为6， 所以OP的长小于6， 因为5＜6，所以选项A符合题意， 故选A 3. 若一组数据2，3，5，x，7的平均数为5，则x的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数求出该组数据的和，减去其它数即可求出x的值． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题考查已知平均数求未知数据的值，掌握平均数的定义是解题的关键． 4. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用根与系数关系解决问题即可． 【详解】解：设另一个根为． ∵是关于的一元二次方程的一个根， ， ， 故选：A． 6. 如图，是的直径，点、在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据是的直径，得到，利用三角形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与分别相交．则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键． 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E，设与y轴的切点为F，连接并延长，与交于点G，由可得，易得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解： 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E， 设与y轴的切点为F，连接并延长，与交于点G， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理：，即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴圆心P的坐标为． 故选：B． 8. 如图，正八边形内接于，连接、，若，则的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，根据正八边形的性质对称，，同理得出，设正八边形的边长为，即，在中，求出，同理得出，从而得，在和中，列出等式求出即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ∵正八边形内接于， ， ， 同理， 设正八边形的边长为，即， 在中，， ， 同理， ， 在中，， ， ， 即， 解得， 在中， ， ， 的半径为， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．） 9. 某校篮球队6名学生进行定点投篮比赛，每人投10次，据统计，他们投中的次数分别为：7，9，7，8，6，6，则这组数据的中位数是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查中位数，理解中位数的定义是正确解答的关键．根据中位数的定义进行解答即可． 【详解】解：将这10次投中的次数从小到大排列为6，6，7，7，8，9， 处在中间位置的两个数的平均数为，因此这组数据的中位数是7， 故答案为：7． 10. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键；根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，一共有6种等可能性，4个白色棋子，有4种等可能性， ∴摸到白色棋子的概率是， 故答案为：． 11. 若方程的两根为：，，则方程的两根为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是配方法解方程的步骤．利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 故答案为：， 12. 如图，、分别与相切于A、两点，是优弧上的一个动点，若，则________°． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理． 连接、，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵，分别与相切于A，B两点， ∴，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：55． 13. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为24，则的长为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为24，可求的长． 【详解】解：与、、分别相切于点、、， ，，， ∵的周长为24， ， ， ． 故答案为：9 14. 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的上，若OA＝3cm，∠1＝∠2， 则的长为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】连接，即可判定为等边三角形，即得出，从而求出，再结合题意可求出，最后由弧长公式计算即可． 【详解】如图，连接，则为等边三角形， ， ． ， ， ∴的长=． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式．正确的连接辅助线是解题关键． 15. 如果关于的方程有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程有实根的情况，熟练掌握一元二次方程的根的判别的应用是解题的关键．当的系数为0时，方程为一元一次方程，有实根；当的系数不为0时，一元二次方程有实根，则，从而得到结果． 【详解】解：①当，即时，方程为有实根， ②当时有根， ， ， ， ， 综上所述，时，关于的方程有实数根， 故答案为：． 16. 如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 把所在的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把所在的圆补全为，连接，，，，交于点，可知点与点关于对称，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）（用公式法解）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，公式法，解题的关键是掌握因式分解法，公式法的方法． （1）利用公式法解方程； （2）先在等式右边提公因式，再移项，再次提公因式进行因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 解：， 或， 18. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值． 【详解】原式， ， ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 如图，平面直角坐标系中有一个． （1）利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； （2）的外接圆的圆心坐标是 ； （3）该圆圆心到弦的距离为 ； （4）最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心，如图即为所求： 【小问2详解】 解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． 【小问3详解】 解：取的中点，连接，如图， 则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． 【小问4详解】 解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格 故答案为：． 20. 在一个不透明的盒子中放有四张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为，0，2，，卡片除了上面的实数不同外，其余都相同． （1）从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率为________； （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表法或画树状图的方法求出两次抽取的卡片上的实数之积为有理数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式、实数的运算，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上的实数之积为有理数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 0 2 0 2 共有12种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的实数之积为有理数的结果有：，，，，，，，，共8种， ∴两次抽取的卡片上的实数之积为有理数的概率为： 21. 为了解某一路口汽车流量情况，小明同学在10天的早、晚高峰时间段统计通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果整理如下： ：早高峰： ：晩高峰；192，189，200，190，180，192，185，173，192，181 （1）晚高峰10个数据的众数是________辆； （2）若某时段的汽车数量方差越小，则认为该时段车流量越稳定，则早晩高峰时段车流量更稳定的是________（填“早”或“晩”）； （3）若早高峰时段该路口通过的汽车数量高于200辆则视为“拥堵”，试估计该路口一个月30天）早高峰时段拥堵的天数为多少天？ 【答案】（1）192 （2）晚 （3）估计该路口一个月30天，早高峰时段拥堵的天数为12天 【解析】 【分析】本题考查了方差、众数的计算，掌握方差、中位数的计算方法是关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由图可知，晚高峰10个数据出现次数最多的是192，故晚高峰10个数据的众数是192． 故答案为：192； 【小问2详解】 解：早高峰的平均数为：， 早高峰的方差为： ； 晚高峰的平均数为：， 晚高峰的方差为： ， ∵， ∴早晚高峰时段车流量更稳定的是晚高峰； 故答案为：晚； 【小问3详解】 解：由题意，得（天）， 估计该路口一个月30天，早高峰时段拥堵的天数为12天． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论实数取何值，方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与根据公式法解一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：无论实数m取什么值，方程总有两个不相等的实数根； （2）利用公式法解原方程，可得，，在根据已知条件即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：，， ∴，， ∵是负整数， ∴或． 23. 如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵于E，于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）连接，容易得到和相等，利用证明和全等即可； （2）连接，设，则，根据容易求出，再根据垂径定理求出的值，最后在中根据勾股定理求出r的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 连接，设，则， 由（1）可知， ∴， ∵于E，， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径为． 24. “秋风起，蟹脚痒”，某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查某种规格的螃蟹价格．如表是“南园鸿运”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 学校社会实践记录表 团队名称 南园鸿运 活动时间 班级人员 小明等名同学 地点 渔婆农贸市场 实践内容 调查螃蟹行情，帮市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 螃蟹的进价为元/千克． 螃蟹售价为元/千克时，每天可销售千克． 每千克每涨价1元，每天少销售2千克． 解决问题 问题1 某天市场正好销售千克的螃蟹，则获利多少元？ 问题2 若市场想一天销售螃蟹获总利润为元，则螃蟹的售价为多少元/千克？ 【答案】问题1：元；问题2：元/千克 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用．熟练掌握有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用是解题的关键． 问题1：由题意知，每千克涨价（元），根据，计算求解即可； 问题2：设市场想一天销售螃蟹获总利润为元，螃蟹的售价为元/千克，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】问题1：解：由题意知，每千克涨价（元）， ∵（元） ∴某天市场正好销售千克的螃蟹，获利元； 问题2：解：设市场想一天销售螃蟹获总利润为元，螃蟹的售价为元/千克， 依题意得，， 整理得，， ∴， 解得，，， ∵要为顾客谋实惠， ∴价格为元/千克． 25. 如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2） 证明：点C是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】(1)连接OC，由圆周角定理得∠ACO+∠OCB= 90°，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论； (2)根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质，平行线的性质与判定，弧，弦，圆心角的性质，正确作出辅助线是解决此题关键． 26. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． （1）在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； （2）在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； （3）取的中点，运动过程中，当时，直接写出的值为________． 【答案】（1）的长度能为，或 （2）不能，理由见解析 （3）8或 【解析】 【分析】（1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，根据两点间的距离公式，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：的长度能为，理由如下： ∵点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止， ∴，，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：或， ∴的长度能为； 【小问2详解】 解：不能；理由如下： 设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； 【小问3详解】 解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∴，，，， 是的中点， ， ，， ，，， ， ， 整理得：， 解得：，． 的值为8或． 故答案为：8或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了一元二次方程的应用，勾股定理、直角三角形的性质，矩形的性质，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 27. 如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． （1）求点到直线的距离． （2）如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． （3）在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 【答案】（1）； （2）①或；②； （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，关键是熟练掌握圆的相关性质，结合几何图形的特点，通过作辅助线构造直角三角形或特殊三角形，结合图形的运动变化分析求解． （1）先根据圆心角和半径相等判定为等边三角形，得到的长度和的度数，再结合切线的性质得到，进而求出的度数，最后利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，求出点到的距离． （2）①分直线在左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到，分别求出两种情况下旋转的角度，再结合转动速度求出对应的值； ②先根据的值求出的度数，结合平行线和切线的性质得到相关角的度数，再利用垂径定理和直角三角形的性质求出的长度和圆心到的距离，最后用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积． （3）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将的长度转化为与相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到的最大值，进而求出的最大值． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即点到直线的距离为； 【小问2详解】 ①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ∴，解得； 当直线与优弧相切，且直线在的右侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 此时顺时针旋转的度数为， ∴，解得； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或； ②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点， ∵， ∴， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∵直线， ∴直线， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为点到直线的垂线段， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，取得最大值， 此时的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $