精品解析： 湖北省恩施州来凤县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年湖北省恩施州来凤县八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A B. C. D. 2. 2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心 B. 推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据． C. 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等 D. 两边和一边的对角分别相等的两个三角形全等 6. 一个多边形的内角和与它的外角和的和为，则这个多边形的边数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 7. 若分式值为0，则a的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 8. 如图，已知中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（ ） A 19 B. 16 C. 13 D. 11 9. 如图，点D在上，若于点E，于点F，则对于和的大小关系，下列说法正确的是（ ） A 一定相等 B. 一定不相等 C. 当时相等 D. 当时相等 10. 如图，点、在直线上，，．要使，还需要添加一个条件，给出下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 11. 甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，点A是x轴上一个定点，点B是y轴正半轴上的一个动点，以线段为边在y轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点B的移动，下列结论：①；②；③直线与x轴所夹的锐角恒为；④随点B的移动，线段的值逐渐增大．其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 分式与的最简公分母是 _________________. 14. 已知，，其中m、n均为正整数，则___________． 15. 如图，已知中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当与全等时，点Q的运动速度为______． 16. 如图，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为_________ 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算或因式分解： （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解：； （4）因式分解：． 18. 先化简：，再从0或1或2中选一个合适的a值代入求值． 19. 解分式方程：． 20. 如图所示，在直角坐标系中，，，． （1）在图中作出．使得和关于y轴对称：（不写画法）； （2）求点，，，的坐标； （3）求出的面积． 21. 如图，在和中，，，． （1）试说明：； （2）与相交于点，求的度数． 22. 阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设； 则． 对于任意上述等式成立， ，解得：． ． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）已知整数使分式的值为整数，直接写出满足条件的整数的值． 23. 为了迎接即将到来的元旦节，某班计划为全班同学每人准备一份精美的零食礼盒，去商店了解后发现有A，B两种类型的零食礼盒可供选择，因为想品尝到更多的品种，班级两种都订．若购买A种礼盒花费1600元，购买B种礼盒花费960元，且购买A种礼盒的数量是B种礼盒的2倍．已知购买一个B种礼盒比购买一个A种礼盒多花8元． （1）购买一个A种礼盒和一个B种礼盒各需多少元？ （2）该班的学生总人数有50人，购买A种礼盒的数量要求不低于B种礼盒的数量的两倍，且不超过B种礼盒的数量的三倍．设购买的A种礼盒有m个，总费用为w元，请问共有哪几种购买的方案？哪种方案的总费用最少，最少为多少元？ 24. 点、点为y轴负半轴上一动点，过点B作，且． （1）直接写出点C的坐标（用含n的式子表示）； （2）如图2，点C关于y轴的对称点为，连并延长，交y轴于点D．在点B移动的过程中，的长是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，求点D的坐标； （3）如图3，点在x轴上，过点B作，且，连接交y轴于H．若点H恰好为的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年湖北省恩施州来凤县八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要注意同底数幂的乘法法则的灵活应用是本题的关键． 根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可求出答案． 【详解】． 故选：C． 2. 2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式是解题的关键．根据幂的乘方，积的乘方，完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项正确，符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 4. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：设根据三角形的第三边为x， ∴，即． 应选取的第三根木棒长可以为． 故选：B． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心 B. 推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据． C. 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等 D. 两边和一边的对角分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的重心，全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定定理是解题的关键．根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证． 【详解】解：A、取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，选项正确，不符合题意； B、推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据，选项正确，不符合题意； C、斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等，选项正确，不符合题意； D、两边和一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，选项错误，符合题意． 故选D． 6. 一个多边形的内角和与它的外角和的和为，则这个多边形的边数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可． 设这个多边形的边数为n，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则依题意可得， 解得， 所以这个多边形是十边形． 故选：B． 7. 若分式的值为0，则a的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件列出关于a的式子，求出a的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故选：D． 8. 如图，已知中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（ ） A. 19 B. 16 C. 13 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式得到，进而得到的周长为． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 9. 如图，点D在上，若于点E，于点F，则对于和的大小关系，下列说法正确的是（ ） A. 一定相等 B. 一定不相等 C. 当时相等 D. 当时相等 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 根据角平分线性质的逆定理求解即可． 【详解】∵， ∴当时，． 故选D． 10. 如图，点、在直线上，，．要使，还需要添加一个条件，给出下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可． 【详解】解：①添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项符合题意． ②添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项符合题意． ③添加，可得到，不能判定，故本选项不合题意． ④添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 11. 甲乙两地相距420千米，新修高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设原来的平均速度为x千米/时，高速公路开通后的平均速度为千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了2小时，列方程即可． 【详解】解：设原来的平均速度为x千米/时， 由题意得，， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 12. 如图，点A是x轴上一个定点，点B是y轴正半轴上的一个动点，以线段为边在y轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点B的移动，下列结论：①；②；③直线与x轴所夹的锐角恒为；④随点B的移动，线段的值逐渐增大．其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”证明，可判断①正确；由，，得，可判断②正确；延长交x轴于点E，由三角形外角的性质可判断③正确；由全等三角形的性质可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∵， ∴，故②正确； 延长交x轴于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与x轴的夹角恒为，故③正确； ∵点A是x轴上一个定点， ∴的长为定值， ∵， ∴， ∴的长为定值， ∴随点B的移动，线段的值不变，故④错误， 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 分式与的最简公分母是 _________________. 【答案】2a2b2c 【解析】 【分析】按照公分母的定义进行解答． 【详解】解：题中两分式最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 14. 已知，，其中m、n均为正整数，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用将变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，已知中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当与全等时，点Q的运动速度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：或． 16. 如图，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】要使BF最大，则AF需要最小，而AF=FD，根据FD≥FH，可求出FD的最小值，从而解决问题． 【详解】解：如图，过点F作FH⊥BC，连接DF， 设AF=x，则BF=4－x， ∵EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F， ∴DF=AF=x， ∵， ∴， ∵FD≥FH， ∴， 解得：， ∴AF最小值是， ∴BF的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及点到直线的距离，将BF的最大值转化为AF最小值是解决本题的关键，属于压轴题． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算或因式分解： （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解：； （4）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，多项式除以单项式，因式分解，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）根据乘法公式展开，再合并求解即可； （2）利用多项式除以单项式运算法则求解即可； （3）利用完全平方公式分解因式即可； （4）利用提公因式法分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简：，再从0或1或2中选一个合适的a值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则可以化简题目中的式子，然后从0，1，2这三个数中选取一个使得原分式有意义的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： = = = =， 当a=-2或0或1时，原分式无意义， ∴当a=2时， 原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母方程两边同乘以得：， 去括号，得：， 解整式方程得：， 检验：将代入 ∴是分式方程的解． 20. 如图所示，在直角坐标系中，，，． （1）在图中作出．使得和关于y轴对称：（不写画法）； （2）求点，，，的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3）5 【解析】 【分析】此题主要考查了作图--轴对称变换，熟练掌握轴对称与坐标变换的规律并正确确定组成图形的关键点的对称点位置是解题的关键． （1）首先确定三个顶点的对称点位置，再连接即可； （2）利用坐标系可写出点，，的坐标； （3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，，； 【小问3详解】 解：面积． 21. 如图，在和中，，，． （1）试说明：； （2）与相交于点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）50° 【解析】 【分析】（1）根据SAS证△AOC≌△BOD，即可得证AC=BD； （2）由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，设AC与BO交于点M，根据180°-∠OAC-∠AMO=180°-∠OBD-∠BMP即可得出∠APB=50°． 【小问1详解】 证明：∵∠AOB=∠COD， ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC， 即∠AOC=∠BOD， ∵OA=OB，OC=OD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC=BD； 【小问2详解】 解：如图，设AC与BO交于点M，则∠AMO=∠BMP， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC=∠OBD， ∴180°-∠OAC-∠AMO=180°-∠OBD-∠BMP， 即∠MPB=∠AOM=50°， ∴∠APB=50°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设； 则． 对于任意上述等式成立， ，解得：． ． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）已知整数使分式的值为整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】（1） （2）满足条件的整数的值为、、、 ． 【解析】 【分析】（1）仿照例题，列出方程组，求出、的值，即可把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）仿照例题，列出方程组，求出、的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，再根据整除运算即可解答． 【小问1详解】 解：由分母，可设 则， 对于任意上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式； 【小问2详解】 解：由分母，可设， 则， ∵对于任意上述等式成立， ，解得：， ， 整数使分式的值为整数， ∴为整数， 满足条件的整数、、、． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键． 23. 为了迎接即将到来的元旦节，某班计划为全班同学每人准备一份精美的零食礼盒，去商店了解后发现有A，B两种类型的零食礼盒可供选择，因为想品尝到更多的品种，班级两种都订．若购买A种礼盒花费1600元，购买B种礼盒花费960元，且购买A种礼盒的数量是B种礼盒的2倍．已知购买一个B种礼盒比购买一个A种礼盒多花8元． （1）购买一个A种礼盒和一个B种礼盒各需多少元？ （2）该班的学生总人数有50人，购买A种礼盒的数量要求不低于B种礼盒的数量的两倍，且不超过B种礼盒的数量的三倍．设购买的A种礼盒有m个，总费用为w元，请问共有哪几种购买的方案？哪种方案的总费用最少，最少为多少元？ 【答案】（1）购买一个A种礼盒需40元，一个B种礼盒需48元 （2）共有4种购买方案，购买37个A种礼盒，13个B种礼盒，最少为2104元 【解析】 【分析】（1）设购买一个A种礼盒需x元，则购买一个B种礼盒需元，利用数量＝总价÷单价，结合购买A种礼盒的数量是B种礼盒的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买一个A种礼盒所需费用，再将其代入中，即可求出购买一个B种礼盒所需费用； （2）根据“购买A种礼盒的数量要求不低于B种礼盒的数量的两倍，且不超过B种礼盒的数量的三倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）设购买一个A种礼盒需x元，则购买一个B种礼盒需元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一个A种礼盒需40元，一个B种礼盒需48元． 【小问2详解】 解：依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35，36，37， ∴共有4种购买方案， 方案1：购买34个A种礼盒，16个B种礼盒； 方案2：购买35个A种礼盒，15个B种礼盒； 方案3：购买36个A种礼盒，14个B种礼盒； 方案4：购买37个A种礼盒，13个B种礼盒． 选择方案1所需费用为（元）， 选择方案2所需费用为（元）， 选择方案3所需费用为（元）， 选择方案4所需费用为（元）． ∵， ∴方案4的总费用最少，最少为2104元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 24. 点、点为y轴负半轴上一动点，过点B作，且． （1）直接写出点C的坐标（用含n的式子表示）； （2）如图2，点C关于y轴的对称点为，连并延长，交y轴于点D．在点B移动的过程中，的长是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，求点D的坐标； （3）如图3，点在x轴上，过点B作，且，连接交y轴于H．若点H恰好为的中点，求的长． 【答案】（1）点 （2）的长没有发生变化，点 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，过点C作轴，证明，可得，，即可求解； （2）如图2，连接，，由轴对称可得，可证，由外角性质可得，可得，即可求解； （3）如图3，y轴上取点E，使，连接，通过证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴，且，， ∴， ∴，， ∴， ∴点； 【小问2详解】 的长没有发生变化， 理由如下：如图2，连接，， ∵点C关于y轴的对称点为， ∴，，且， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴点． 【小问3详解】 如图3，在y轴上取点E，使，连接， ∵点，点， ∴， ∵点H恰好为的中点， ∴，且，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $