精品解析：天津市天津经济技术开发区第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷

天津市天津经济技术开发区第一中学2022—2023学年 高二上学期期末考试数学试卷 一､单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 2. 记为等比数列的前项和.若，则（ ） A. 22 B. 24 C. 28 D. 30 3. 在等差数列中，已知，则的前17项和为（ ） A. 166 B. 172 C. 168 D. 170 4. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 5. 直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 已知数列中，（且），则数列通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 2022 D. 2023 9. 已知双曲线：的左焦点为，直线过原点且与双曲线交于，两点，若直线与直线：相互垂直，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分） 11. 双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为__________. 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 13. 已知函数，则__________. 14. 函数的单调递减区间为__________． 15. 已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则__________. 16. 已知数列满足，在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和，则的值为__________. 三､解答题（共4小题，共50分） 17. 已知数列是等差数列，满足，数列是公比为3的等比数列，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程及的大小. 19. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 20. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，是轴上一点，且满足，若直线的斜率为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市天津经济技术开发区第一中学2022—2023学年 高二上学期期末考试数学试卷 一､单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设抛物线的方程为，由顶点与焦点的距离等于，求得的值，即可求解. 【详解】由抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，设抛物线的方程为， 因为顶点与焦点的距离等于，可得，解得， 所以所求抛物线的方程为. 故选：C. 2. 记为等比数列的前项和.若，则（ ） A. 22 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】设公比为，先判断出，再根据等比数列的求和公式求出，再根据等比数列的求和公式可求出结果. 【详解】设公比为， 若，则，，，不符合题意； 所以，由， ，得，得，得， 所以， 所以. 故选：D 3. 在等差数列中，已知，则的前17项和为（ ） A. 166 B. 172 C. 168 D. 170 【答案】D 【解析】 【分析】方法1：由等差数列的前n项和公式与等差数列的等和性计算可得结果；方法2：由等差数列的前n项和公式与等差数列的通项公式的基本量计算可得结果. 【详解】方法1：∵为等差数列， ∴，∴， ∴的前17项和为. 方法2：∵为等差数列，设公差为， ∴， 解得， ∴. 故选：D. 4. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线焦点相同及相关参数的平方关系，即可求解. 【详解】设双曲线的一个焦点坐标，则， 再由椭圆的焦点与双曲线焦点相同，则满足， 即， 故选：C. 5. 直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在椭圆上或椭圆内，结合二次方程表示椭圆，即可求得参数的范围. 【详解】表示椭圆，故可得，且； 又直线过点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故； 综上所述，，且. 故选：C. 6. 已知数列中，（且），则数列通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造新数列，可知为等比数列，再求等比数列通项公式，进而求出数列通项公式即可. 【详解】由于，两边同时加上，得到. 因为，所以，可知数列是等比数列，首项为3，且公比为. 等比数列的通项. 故选： C. 7. 已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答 【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故 可知，导函数图象为D 故选：D 8. 若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 2022 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】将等差数列的前2023和2024项和与0的大小比较，得出具体的项数的正负，即可求出当取得最小值时的值. 【详解】由题意，，∴， ，∴， 则等差数列满足，， 可得公差， ∴数列为递增数列，且当，时，， 当，时，， ∴当取得最小值时，的值为1012． 故选：B． 9. 已知双曲线：的左焦点为，直线过原点且与双曲线交于，两点，若直线与直线：相互垂直，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接与双曲线的右焦点，通过四边形的形状，结合直线的斜率和倾斜角，求得的长度，进而根据双曲线定义，即可求得结果. 【详解】取双曲线的右焦点为，连接，作图如下： 因为，易知四边形为矩形， 又直线的斜率，则，故△为等边三角形，则； 在△中，， 结合双曲线的定义可得，解得. 故选：C. 10. 设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点，求出的坐标，求出的坐标，根据求出即得解. 【详解】设双曲线的右焦点， 则过点且斜率为的直线的方程为，渐近线方程是． 由，得， 由,得， 所以，． 由，得， 则，即，则， 则， 故选：D． 二､填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分） 11. 双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的定义即可求得. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 设左右焦点分别为，由双曲线的定义得，则， 又因为，所以， 故或， 又因为，故（舍）. 故答案为：. 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出切点坐标，再求出切线的斜率，即得解. 【详解】由题得，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简得． 故答案为： 13. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对求导，令，先求出的解析式，然后求的值即可． 【详解】由已知，， 令得，． ∴， ∴． 故答案为：． 14. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 求导可得， 令，因为，所以解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 15. 已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式得到，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列的通项即可求解. 【详解】因为对任意的，均有，则有， 当时，，所以； 当时，，也即， 因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，则， 故答案为：. 16. 已知数列满足，在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和，则的值为__________. 【答案】164 【解析】 【分析】依题意，确定前70项所包含数列的项，以及中间插入2的数量即可求和. 【详解】由题意得，，，，，， 其中，之间插入2个2，，之间插入4个2，，之间插入8个2，，之间插入16个2，，之间插入32个2，，之间插入64个2， 由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2， 故. 故答案为：164. 三､解答题（共4小题，共50分） 17. 已知数列是等差数列，满足，数列是公比为3的等比数列，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差，运用等差数列的通项公式，结合已知，，可以求出公差，最后求出通项公式；这样利用已知数列是公比为3的等比数列，且．可以得到数列的通项公式，最后求出数列的通项公式； （2）根据等差数列和等比数列前n项和公式，利用分组求和法求数列的前n项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d． 由，，得，解得． 所以． 即的通项公式为：，． 由于是公比为3的等比数列，且， 所以． 从而． 【小问2详解】 由（1）． 数列的前n项和 ． 18. 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程及的大小. 【答案】(1) (2) ，. 【解析】 【分析】（1）通过短轴长求出b，结合离心率为，即可求得椭圆标准方程； （2）以为直径的圆恰好过坐标原点，即，设出直线l的方程与椭圆方程联立，整理成关于x的二次方程，结合韦达定理，计算，得出直线的斜率，再用弦长公式求出. 【详解】解：（1）由得， 又∵短轴长为2可得，， ∴椭圆的标准方程为：. （2）易知直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为， 设直线的方程为：，则联立， 消元得：， ，即. 设，， ∴，， 由题意可知，即： ， ∴，解得， ∴ . 综上：直线的方程为：，. 【点睛】此题考查椭圆标准方程基本量的计算和直线与椭圆的位置关系，解题中的注意设过某点的直线方程需考虑斜率不存在的情况，解析几何中的两大难点：恰当地将几何关系转化为代数关系，代数式化简计算. 19. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明： ∴ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 略 20. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，是轴上一点，且满足，若直线的斜率为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的值，求出这两个量的值，可求得的值，进而可得出椭圆的方程； （2）求出点、的坐标，根据可得出关于的方程，结合可求得的值，进而可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：由题意可得，解得，，所以，， 所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：设直线的方程为，设点， 联立可得， 则为方程的一根， 所以，，可得，则， 即点， 由，得，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令可得，即点， 所以，，即， 解得或， 因为，解得或， 所以，直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $