专题01 有理数（知识点讲练）---2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学上册

专题01 有理数 1．正数和负数 （1）正数和负数的概念：大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数．0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界． （2）正数和负数的表示方法： 一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的．正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如5、7、50、+14200等；负的量用小学学过的数前面放上“–”（读作负）号来表示，如–3、–8、–47、–4745等． （3）正数和负数的意义： ①正数和负数的引入是为了在实际问题中区分表示相反意义的量．为了用数表示具有相反意义的量，我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的．负数是根据实际需要产生的． ②描述一堆具有相反意义的量的词语一般是一对反义词，如上升与下降，增加与减少，盈利与亏损，收入与支出等． （4）“正”与“负”的辨析与对比： 符号 读法 举例 注意 + 正 +2，读作正2 正数前面的“﹢”号一般省略不写，但有时为了明确表达意义，在正数前面也加上“﹢”号 – 负 –1，读作负1 负数前面的“﹣”号不能省略 2．有理数 （1）有理数的概念：可以写成分数形式形式的数，称为有理数． 注意：不是有理数． （2）有理数的分类： 注意：0即不是正数，也不是负数；﹣a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数． 3．数轴： 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线． 4．相反数： （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； （2）相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数． 5．绝对值： （1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离． （2）绝对值可表示为：或 ；绝对值的问题经常分类讨论． 6．有理数比大小： （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数－小数 ＞ 0，小数－大数 ＜ 0． 考点01 正数和负数的意义 （1）不要误认为带“+”号的数就是正数，带“－”号的数就是负数． 如：+（－5）就不是正数，－（－5）就不是负数． （2）具有相反意义的量包含两层含义：①意义相反；②是同类量． 不要求数量一定相等． 【典例1】　（2024•封开县一模）如果向东走5米，记作“米”，那么“米”表示　　 A．向西走5米 B．向南走5米 C．向北走5米 D．向东走5米 【答案】 【解答】解：如果向东走5米，记作“米”， 那么“米”表示向西走5米． 故选：． 【典例2】　（2023秋•商南县期末）某记账员为方便记账，将进货10件记作件，那么出货6件应记作　　 A．件 B．件 C．件 D．件 【答案】 【解答】解：进货10件记作， 出货6件应记作． 故选：． 【典例3】　（2023秋•桥西区期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若收入100元记作元，则支出37元记作　　 A．元 B．0元 C．元 D．元 【答案】 【解答】解：收入100元记作元， 支出37元记作元． 故选：． 考点02 有理数的相关概念辨析 （1）π是无限不循环小数，不是有理数．小数并不都是有理数，如π． （2）分数和小数的范围不同，如π是无限不循环小数，但不能化为分数． 【典例4】　（2024秋•庄浪县期中）下列数：中，是负数的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【解答】解：在中，，，，共3个． 故选：． 【典例5】　（2024•路南区开学）在，，2.2，0，，，这些数中，正数有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【解答】解：，是正数； ，是负数； ，是正数； 0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； 正数有，2.2，，共3个． 故选：． 【典例6】　（2024秋•茌平区校级月考）在，5，，，，中，有理数有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【解答】解：，5，，是有理数，共4个． 故选：． 考点03 数轴及应用 （1）画数轴时数轴的“三要素”（原点、正方向、单位长度）缺一不可． 数轴是一条直线，但不具备“三要素”的直线不是数轴． （2）数轴上的一个点只能表示一个数，一个数也只能用一个点来表示．但数轴上的点与有理数并非一一对应． 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示．但数轴上的点并非都表示有理数，比如π不是无理数，也可以用用数轴上的点来表示． （3）同一数轴上的单位长度必须一致． 【典例7】　（2024秋•滨海新区校级期中）有理数、、在数轴上对应点位置如图所示，则下列关系成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由数轴可知：，且， ，，． 故选：． 【典例8】　（2024秋•济阳区期中）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由数轴可知被遮住的数大于且小于，则四个选项中只有选项中的数符合题意， 故选：． 【典例9】　（2024秋•亭湖区校级期中）已知，，三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①；②；③；④；正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【解答】解：①由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数， ，故结论①正确； ②，， ， ，故结论②错误； ③，，， ，故结论③错误； ④， ，故结论④正确， 正确的个数是2个． 故选：． 考点04 求一个数的绝对值或相反数 1．相反数 （1）0的相反数是0．0是唯一一个相反数是它本身的数，即若，则． （2）求一个数的相反数，只需在这个数的前面添加“—”号，然后再化简． （3）求一个式子的相反数时，要先把式子加上括号，再在前面加“—”号． 2．求一个数的绝对值： 第一步，判断这个数的符号； 第二步，给这个数加上绝对值符号； 第三步，计算． 【典例10】　（2023秋•常宁市期末）下列各对数中，互为相反数的是　　 A．与2 B．与 C．4与 D．5与 【答案】 【解答】解：、与2，是互为相反数，正确，符合题意； 、与，不是互为相反数，不符合题意； 、4与不是互为相反数，不符合题意； 、5与，不是互为相反数，不符合题意， 故选：． 【典例11】　（2023秋•成都期末）有理数的相反数是　　 A． B． C．3 D． 【解答】解：的相反数是． 故选：． 【典例12】　（2024•长兴县模拟）的绝对值是　　 A． B． C．4 D． 【解答】解：负数的绝对值是它的相反数，的相反数是4， 的绝对值是4． 故选：． 考点05 绝对值的非负性 绝对值的非负性 正数和负数的绝对值都是正数，0的绝对值还是0，因此，任意一个数的绝对值都是非负的． 【典例13】　（2024秋•无锡期中）如果，那么的值为　　 A． B．2023 C． D．1 【答案】． 【解答】解：， ，， ，， ． 故选：． 【典例14】　（2024秋•永春县校级月考）若是有理数，则的最小值是　　 A．0 B．5 C．2 D．3 【答案】 【解答】解：， ， 故最小值为5． 故选：． 【典例15】　（2024秋•南开区期中）若，则的值为　　 A． B．3 C．9 D． 【答案】． 【解答】解：， ，， ，， ． 故选：． 考点06 绝对值的双解性 若，则或． 【典例16】　（2024秋•永年区期中）若一个数的绝对值的相反数是，则这个数是　　 A． B．2 C． D． 【答案】 【解答】解：一个数的绝对值的相反数是， 这个数的绝对值为2， 这个数是：． 故选：． 【典例17】　（2024秋•雁峰区月考）的所有可能的值有　　个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【解答】解：当、、都是正数时，则原式； 当、、都是负数时，则原式； 当、、一正，两负时，不妨设是正数，则； 当、、一负，两正时，不妨设是负数，则； 综上所述，的值为或，共有4种， 故选：． 【典例18】　（2024秋•长清区期中）若，，且，则的值是　　 A．1或7 B．1或 C．或7 D．或 【答案】 【解答】解：，，， ，， ，或，， 当，时， ， 当，时， ． 故选：． 考点07 有理数的大小比较 1．利用数轴：在数轴上，右边的数总比左边的数大． 2．利用法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数．两个负数，绝对值大的反而小． 【典例19】　（2023秋•清原县期末）比较大小： 　　．（填“”，“ ”号） 【解答】解：，， 又， ； 故答案为：． 【典例20】　（2024秋•滨海新区校级期中）比较大小：　　．（填“”，“ ”或“”号） 【答案】． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【典例21】　（2024秋•淮安区校级期中）在数轴上表示下列各数，并用“”符号把它们按从小到大的顺序排列． ，，，． 【答案】数轴表示见解析，． 【解答】解：化简得：，，， 如图，在数轴上表示各数： 观察数轴可得大小关系：． 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•石柱县校级月考）下列有理数：，，，，3，，0其中是负分数的有　　 A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个 2．（2024秋•黔东南州期末）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是　　 A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 3．（2024•十堰模拟）数学张老师采用一种新的计分方法如下：以全班同学的平均分70分为标准，李强考了75分记为分，赵刚考试成绩记为分，那么他这次测验的实际分数为　　 A．65分 B．67分 C．73分 D．75分 4．（2024秋•集贤县期中）在数轴上，与最接近的整数是　　 A．1 B．0 C． D． 5．（2024秋•沙坪坝区期中）点在数轴上运动，从原点开始先向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度，则此时点表示的数是　　 A． B． C．3 D．11 6．（2024秋•滨海新区校级期中）下列7个数，（每两个2之间依次多一个，其中有理数有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．（2024秋•滨城区校级月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字　　的点与数轴上表示2024的点重合 A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024秋•五华区期中）下列数轴画法规范的是　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•思明区校级期中）有四包袋装小食品，每包以标准克数克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•五华区期中）下列各组有理数大小比较，正确的是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•阜宁县期中）在，3.14，0，5，中，非负有理数有　　个． 12．（2024秋•永年区期中）下列各数：4，，，3.14159，0，中，非负数有　　；整数有　　；分数有　　． 13．（2024秋•旌阳区校级期中）比较下列各数的大小：　　，　　． 14．（2024秋•旌阳区校级期中）已知数，，在数轴上的位置如图所示，则　　． 15．（2023秋•洪江市期末）一个数在数轴上所对应的点向左移动8个单位长度后，得到它的相反数所对应的点，则这个数是 　　． 16．（2023秋•上蔡县校级期末）当　　时，有最小值，最小值为 　　． 17．（2024秋•宝应县期中）比较大小：　　（填“”、“ ”或“” ． 18．（2024秋•曾都区期中）数轴上到的距离等于3的数是　 　． 19．（2024秋•东港市期中）是在数轴上到点相距2个单位长度的点表示的数，则的值为 　　． 20．（2024秋•惠东县期中）在数轴上表示，0，三个数的点如图所示，已知，则化简　　． 三、解答题（共6小题） 21．（2024秋•滨海新区校级期中）已知下列各数：． （1）将各数表示在数轴上； （2）将各数按从小到大的顺序用“”号连接起来． 22．（2024秋•芜湖期中）已知数，，分别对应的点，，在数轴上的位置如图所示． （1）用“”或“”填空：　　0，　　0，　　0； （2）化简：． 23．（2024秋•阜宁县期中）把下列各数在数轴上表示出来，并且用“”把它们连接起来． ，，0，，． 24．（2024秋•桥西区校级期中）如图，点，，在数轴上表示的数分别为，0，10，点是数轴上一动点，其表示的数为． （1）若点到、两点的距离相等，点表示的数是 　　； （2）点到点的距离是点到点距离的3倍，则点对应的数是 　　； （3）数轴上是否存在点，使得点在数轴上，且到点，点距离之和为25？若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 25．（2023秋•达州期末）如图，数轴上有，，三点． （1） 　　0， 　　0， 　　0；（填“ “，“”，“ ” （2）化简． 26．（2024秋•武鸣区期中）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：2，，，并从小到大排列． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C C D B C B B 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：， ，，，是负分数，共4个， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：由绝对值的性质可知， ， 有最大值， 当时，有最大值，此时的值是2024，故正确． 故选：． 3．【答案】 【解答】解：（7分）， 即他这次测验的实际分数为6（7分）． 故选：． 4．【答案】 【解答】解：， ，，， 与更接近． 故选：． 5．【答案】 【解答】解：由题可知， 从原点向右移动，代表增加，往左移动，代表减少， ， 点表示的数是3； 故选：． 6．【答案】 【解答】解：根据有理数的分类判断如下： （每两个2之间依次多一个， 其中是有理数，共6个， 故选：． 7．【答案】 【解答】解：圆的周长为4个单位长度， 圆每滚动一周在数轴上恰好经过4个整数， 往数轴正方向上，数轴上的数字从开始，每4个数字为一个循环，分别对应圆周上的数字0，1，2，3， 数轴上表示2023的点到的距离为：，且， 圆沿数轴向右滚动506圈后，0正好对应数轴上的2023， 再向右滚动一个单位长度，圆周上表示数字1的点与数轴上表示2024的点重合． 故选：． 8．【答案】 【解答】解：、根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，可知没有正方向，只有原点和单位长度，错误； 、根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，原点、方向具备，但是单位长度不一致，错误； 、根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，原点、方向、单位长度三者都具备，且数字标注正确，正确； 、根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，方向、单位长度都具备，但是数字标注不正确，没有原点，错误； 故选：． 9．【答案】 【解答】解：，，，， ， 最接近标准克数． 故选：． 10．【答案】． 【解答】解：、，则该选项错误，不符合题意； 、，，，，则该选项正确，符合题意； 、，，，，，则该选项错误，不符合题意； 、，，，则该选项错误，不符合题意； 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】4． 【解答】解：非负有理数有3.14，0，5，，共4个． 故答案为：4． 12．【答案】4，3.14159，0，；4，，0；，3.14159，． 【解答】解：非负数：4，3.14159，0，； 整数：4，，0； 分数：，3.14159，． 故答案为：4，3.14159，0，；4，，0；，3.14159，． 13．【答案】，． 【解答】解：，，， ，． 故答案为：，． 14．【答案】． 【解答】解：由题意得，，， ，，， ， 故答案为：． 15．【答案】4． 【解答】解：设这个数为，这个数在数轴上所对应的点向左移动8个单位长度后所对应的数为，由题意得， ， 解得， 即这个数是4， 故答案为：4． 16．【答案】2；0． 【解答】解：， 时，有最小值，最小值是0， 即时，有最小值，最小值是0． 故答案为：2；0． 17．【答案】． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 18．【解答】解：当此点在的左边时，此点表示的数为； 当此点在的右边时，此点表示的数为， 故答案为或1． 19．【答案】或． 【解答】解：，， 的值为或． 故答案为：或． 20．【答案】． 【解答】解：由已知条件和数轴可知：，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】解：（1），， 把各数表示在数轴上如下： （2）观察（1）中的数轴，从小到大的顺序排列为：． 22．【答案】（1），，； （2）． 【解答】解：（1）由数轴得：，， ，，； 故答案为：，，； （2）由（1）知，，， ． 23．【答案】数轴表示见解答，． 【解答】解：如图： ． 24．【答案】（1）2； （2）或； （3）或14.5． 【解答】解：（1）在数轴上，点，在数轴上表示的数分别为，10，点表示的数为， 又点到、两点的距离相等， 点为线段的中点，即点在点，之间， ，， ， 解得：， 点表示的数是2； 故答案为：2． （2）在数轴上，点，在数轴上表示的数分别为，10，点表示的数为， ，， 又点到点的距离是点到点距离的3倍， ， 或， 当时，解得：， 当时，解得：． 综上所述：点到点的距离是点到点距离的3倍，则点对应的数是或． 故答案为：或． （3）存在，的值为或14.5，理由如下： 点，在数轴上表示的数分别为，10， ， 当点在点，之间时，， 当点在数轴上，且到点，点距离之和为25时，有以下两种情况： ①当点在点的左边时，，， ， 解得：； ②当点在点的右边时，，， ， 解得：， 综上所述：的值为或14.5． 25．【答案】（1），，．（2）． 【解答】解：（1）由，，三点在数轴上的位置可知，，， ，，， ，，， 故答案为：，，． （2）， ． ，，， 原式 ． 26．【答案】数轴见解答，． 【解答】解：，， 如图所示： 故． 第5页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$