新题特训01 中考热搜高频考点60题-备战2025年中考数学真题题源解密（上海专用）

新题特训01 中考热搜高频考点60题 一．数轴（共3小题） 1．（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是　　 A． B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】根据，，，，而，可知1与原点距离最近． 【解答】解：，，，， 而， 与原点距离最近， 故选：． 【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上点的分布特点是解题的关键． 2．（2024•河南）如图，数轴上点表示的数是　　 A． B．0 C．1 D．2 【答案】 【分析】根据数轴所示即可得出结果． 【解答】解：根据数轴可知，点表示的数为：， 故选：． 【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键． 3．（2024•河北）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点，，所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点，，所对应的数依次为0，，12． （1）计算，，三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点与点上下对齐时，点，恰好分别与点，上下对齐，求的值． 【分析】（1）计算即可，根据数轴上两点之间的距离公式先求出、的长，再计算比值即可； （2）先求出、的长，根据题意列出，然后计算即可． 【解答】解：（1）点，，所对应的数依次为，2，32， ，，三点所对应的数的和为， ，， ； （2）由数轴得，，， 由题意得，， ， ． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 二．有理数的混合运算（共3小题） 4．（2024•北京）联欢会有，，，四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：如下： 节目 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为 　60　；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 　　的先后顺序彩排． 【分析】根据候场时间定义计算即可，若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：顺序排序． 【解答】解：根据题意，节目的演员的候场时间为：； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：顺序排序， 即， 故答案为：60；． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算方法是解题的关键． 5．（2024•广州）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当，，，时，的值为 　220　． 【答案】220． 【分析】根据题干条件代值即可． 【解答】解：由题意可得． 故答案为：220． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出式子是解题关键． 6．（2024•甘肃）定义一种新运算，规定运算法则为：，均为整数，且．例：，则　8　． 【分析】根据，可以求得所求式子的值． 【解答】解：， ， 故答案为：8． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 三．科学记数法—表示较大的数（共3小题） 7．（2024•广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键． 8．（2024•长沙）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 9．（2024•安徽）据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：944万， 故选：． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 四．实数的运算（共3小题） 10．（2024•北京）计算：． 【答案】． 【分析】先化简零指数幂，二次根式，三角函数，绝对值，再按照实数的运算法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键式掌握去绝对值，零指数幂，特殊三角函数值等相关知识． 11．（2024•湖北）计算：． 【分析】直接利用零指数幂的性质以及算术平方根、有理数的混合运算法则分别计算，进而得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 12．（2024•长沙）计算：． 【答案】3． 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【解答】解： ． 【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 五．一元一次方程的应用（共5小题） 13．（2024•烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？　　 A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺 【答案】 【分析】设每天减少尺布，因为第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，可得，解得的值即得每天减少多少尺布，将30天织的布相加可得30天一共织了多少布． 【解答】解：设每天减少尺布， 第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工， ， 解得：， （尺， 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意列方程求解． 14．（2024•广州）定义新运算：例如：，．若，则的值为 　或　． 【答案】或． 【分析】根据题目中的新定义，利用分类讨论的方法列出方程，然后求解即可． 【解答】解：， 当时，， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，， 解得； 由上可得，的值为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 15．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是，得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　2009　． 【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推理即可得解． 【解答】解：设这位参与者的出生年份，选取的数字为， ， ， 此时中学生的出生时间应该在2000年后， ， ． 故答案为：2009． 【点评】本题主要考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知识，理解题意列出关系式进行推理是解题关键． 16．（2024•苏州）某条城际铁路线共有，，三个车站，每日上午均有两班次列车从站驶往站，其中次列车从站始发，经停站后到达站，次列车从站始发，直达站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）次列车从站到站行驶了 　90　分钟，从站到站行驶了 　　分钟； （2）记次列车的行驶速度为，离站的路程为；次列车的行驶速度为，离站的路程为． ①　　． ②从上午开始计时，时长记为分钟（如：上午，则，已知千米小时（可换算为4千米分钟），在次列车的行驶过程中，若，求的值． 【答案】（1）90；60； （2）①；②或125． 【分析】（1）直接根据表中数据解答即可； （2）①分别求出次列车、次列车从站到站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可； ②先求出，与站之间的路程，次列车经过站时，对应的值，从而得出当时，次列车在站停车，次列车经过站时，次列车正在站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于的方程求解即可． 【解答】解：（1）次列车从站到站行驶了90分钟，从站到站行驶了60分钟， 故答案为：90，60； （2）①根据题意得：次列车从站到站共需分钟，次列车从站到站共需分钟， ， ， 故答案为：； ②（千米分钟），， （千米分钟）， （千米）， 与站之间的路程为360千米， （分钟）， 当时，次列车经过站， 由题意可知，当时，次列车在站停车， 次列车经过站时，次列车正在站停车， ．当时，， ， ， （分钟）； ⅱ．当时，， ， ， （分钟），不合题意，舍去； ⅱ．当时，， ， ， （分钟），不合题意，舍去； ．当时，， ， ， （分钟）； 综上所述，当或125时，． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 17．（2024•威海）定义我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值．数轴上表示数，的点，之间的距离．特别的，当时，表示数的点与原点的距离等于．当时，表示数的点与原点的距离等于． 应用如图，在数轴上，动点从表示的点出发，以1个单位秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点从表示12的点出发，以2个单位秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点，之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点，到原点距离之和的最小值． 【答案】（1）经过4秒或6秒，点，之间的距离等于3个单位长度； （2）点，到原点距离之和的最小值为3． 【分析】（1）根据“点，之间的距离等于3个单位长度”列方程求解； （2）先表示点，到原点距离之和，再分类讨论求出最小值． 【解答】解：（1）设经过秒，点，之间的距离等于3个单位长度， 则：， 解得：或， 答：经过4秒或6秒，点，之间的距离等于3个单位长度； （2）设经过秒，点，到原点距离之和为， 则， 当时，， 当时，值最小，为6， 当时，， 当时，值最小，为3， 当时，， 当时，有极小值，为3， 综上所述，点，到原点距离之和的最小值为3． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴和绝对值，找到相等关系是解题的关键． 六．根的判别式（共4小题） 18．（2024•黑龙江）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【答案】 【分析】由根的判别式可得△，从而可以列出关于的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【解答】解：根据题意得， 解得且． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 19．（2024•广安）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D． 【答案】 【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，即可解得答案． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得且； 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是一元二次方程有两个不相等的实数根需满足△． 20．（2024•北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　 A． B． C．4 D．16 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以△， 解得． 故选：． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 21．（2024•广州）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可． （2）根据的取值范围化简即可． 【解答】解：（1）根据题意得△， 解得； （2）， ， ． 【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及绝对值和分式乘除法的化简，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 七．一元二次方程的应用（共3小题） 22．（2024•通辽）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为　　 A．或 B．或 C． D． 【答案】 【分析】设长为 ，则的长为，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：设长为 ，则的长为， 根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：长为， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 23．（2024•青岛）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 　2　． 【分析】设小路宽为 ，根据花坛所占面积为空地面积的一半得：，即可解得答案． 【解答】解：设小路宽为 ， 根据题意得：， 解得或（舍去）， 小路宽为； 故答案为：2． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 24．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 八．一次函数的应用（共2小题） 25．（2024•威海）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是　　 A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息36分钟 【答案】 【分析】根据函数图象推导出点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发，据此判断；乙车休息后两者同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢，据此推导甲，乙两车速度与的距离，从而判断，；设小时两辆车相遇，依题意得：，解答即可判断． 【解答】解：根据函数图象可得两地之间的距离为， 两车行驶了4小时，同时到达地，如图所示，在小时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两者距离发生改变，此时乙车休息，点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发， 乙车休息了1小时，故不正确，不符合题意； 设甲车的速度为 ，乙车的速度为 ， 根据题意，乙车休息后两者同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢，， ，即， 在时，乙车不动，则甲车的速度是， 乙车速度为，故不正确，不符合题意； 的距离为（千米），故不正确，不符合题意； 设小时两辆车相遇，依题意得：， 解得：，即小时时，两车相遇，故正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的实际应用，观察函数图象结合数量关系，列式计算是解题的关键． 26．（2024•北京）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图． 当1号杯和2号杯中都有水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：和2号杯的水面高度单位：，部分数据如下： 0 40 100 200 300 400 500 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 　1.2　（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 　　（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）1.0；（2）详见解析；（3）①1.2，②8.6． 【分析】（1）观察表格数据可知，和是正比例函数关系，设解析式，代入求解即可． （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）由图象观察可得出①②的答案． 【解答】解：（1）设，将代入得：，解得， ， ， ， 故答案为：1.0． （2）如图所示， （3）①当时，，由图象可知相差约为，如图所示． 故答案为：1.2． ②解法一：在①的条件下两杯相差，此时大约是8.0，加上0.6约为． 解法二：观察图象可知，当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为． 故答案为：8.6． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、函数的图象与性质、描点法画函数图象，正确理解题意熟练掌握知识点是解题关键． 九．二次函数综合题（共5小题） 27．（2024•北京）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知，和，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围． 【分析】（1）将代入即可求出抛物线的顶点坐标； （2）利用作差法建立关于和的不等式，因为不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可． 【解答】解：（1）将代入得， 顶点坐标为； （2）方法一：由题得，， ， ， ， ①当时，， 或， 解得或， ， 或， 或， ， ； ②当时，， 或， 解得， ， ，解得， 综上，或． 方法二：①当时， ，和，都在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ， ， ， ； ②当时， ，在对称轴左侧，，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ， ， ， 综上，或． 【点评】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． 28．（2024•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点在的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点的坐标为：或，． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接，则此时最小，即可求解； （3），则，则直线的表达式为：，即可求解；当点在上方时，同理可解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，， ，则， 即点， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点、、的坐标分别为：、、，则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 当时，取得最大值，则点、，则， 将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接， 则四边形为平行四边形，则， 则此时为最小； （3）将该抛物线沿射线方向平移，当向左平移个单位时，则向下平移了个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则新抛物线的表达式为：， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当点在下方时， ，则， 则直线和表达式中的值相同， 而过点， 则直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当点在上方时， 同理可得，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点，； 综上，点的坐标为：或，． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 29．（2024•连云港）在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，．（1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点、，连接、．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】（1）； （2）见解答； （3）． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【解答】（1）解：抛物线与轴交于、两点， 分别将，代入中， 得， 解得， 抛物线对应的函数表达式为． （2）证明：连接，如图， ， ， 当时，， ， 当时，， ， ，， ，，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （3）解：设，则，， 当时，， 过直线上一点作轴的平行线， 令， 解得，． ， ， 点在的上方，如图， 设，则， 其对称轴为，且， ①当时，即， 由图可知， 当时，取得最大值， 解得或（舍去）， ②当时，得， 由图可知， 当时，取得最大值， 解得（舍去）， 综上所述，的值为． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 30．（2024•苏州）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． （1）求图象对应的函数表达式； （2）若图象过点，点位于第一象限，且在图象上，直线过点且与轴平行，与图象的另一个交点为在左侧），直线与图象的交点为，在左侧）．当时，求点的坐标； （3）如图②，，分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点作，交图象于点，连接，当时，求图象对应的函数表达式． 【答案】（1）； （2）点的坐标为，； （3）图象对应的函数表达式为． 【分析】（1）将，，0代入解方程组即可得到结论； （2）设对应的函数表达式为，将点代入得，．求得对应的函数表达式为，对称轴为直线．作直线，交直线于点（如答图①由二次函数的对称性得到，，求得．设，则点的横坐标为，点的横坐标为，解方程即可得到结论； （3）连接，交轴于点，过点作于点，过点作轴于点，（如答图②，根据矩形到现在得到，，设对应的函数表达式为，求得，．得到，设，则，求得，，解方程组得到（舍去），，求得，于是得到结论． 【解答】解：（1）将，，0代入得， 解得， 图象对应的函数表达式：； （2）设对应的函数表达式为，将点代入得，． 对应的函数表达式为：，其对称轴为直线． 又图象的对称轴也为直线． 作直线，交直线于点（如答图① 由二次函数的对称性得，，， 又， ． 设，则点的横坐标为，点的横坐标为， 将代入，得， 将代入，得， ， ， 即，解得， （舍去）． 点的坐标为，； （3）连接，交轴于点，过点作于点，过点作轴于点，（如答图②， ，轴， 四边形为矩形， ，， 设对应的函数表达式为， 点，分别为二次函数图象，的顶点， ，． ，，， 在△中，， ， ， 又， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ①， 点在上，， 即， ， ②， 由①，②可得， 解得（舍去），， ， 图象对应的函数表达式为． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，正确地求得函数的解析式是解题的关键． 31．（2024•湖南）已知二次函数的图象经过点，点，，，是此二次函数的图象上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接，，．若，求证：的值为定值； （3）如图2，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1）； （2）为定值，理由见解答； （3）． 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：，即可求解； （2）由，同理可得：，即可求解； （3）求出线的表达式为：，则，即可求解． 【解答】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：， 则， 即抛物线的表达式为：； （2）证明：令，则，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点、、的表达式分别为：，、，、，， 则， 同理可得：， 则为定值； （3）解：点、的坐标分别为：，、，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则， 故的最大值为：． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、二次函数的图象和性质，理解题意和熟悉函数的性质是解题的关键． 一十．平行线的性质（共3小题） 32．（2024•山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ， 重力的方向竖直向下， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，正确地识别图形是解题的关键． 33．（2024•凉山州）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一副直角三角板的性质得出，，再根据两直线平行，内错角相等得出，即可求出的度数． 【解答】解：由题意得，，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，一副直角三角板的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 34．（2024•南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据经过两次反射后的光线与入射光线平行，得出即可． 【解答】解：如图：， ， 两个平面镜平行放置， 经过两次反射后的光线与入射光线平行， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握经过两次反射后的光线与入射光线平行． 一十一．全等三角形的判定与性质（共5小题） 35．（2024•重庆）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作交延长线于点，证明和全等，得到，再根据等腰直角三角形三边关系，求出比值． 【解答】解：过点作交延长线于点， 四边形是正方形， ，， 绕点逆时针旋转，得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 设，正方形边长为， 则，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，掌握全等三角形的性质与判定方法是解题的关键． 36．（2024•宜宾）如图，在中，，，以为边作，，点与点在的两侧，则的最大值为　　 A． B． C．5 D．8 【答案】 【分析】由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 在中，， 当，，三点共线时，有最大值， 的最大值， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 37．（2024•浙江）如图，在菱形中，对角线，相交于点，．线段与关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，交于点，则△与四边形的面积比为 　　． 【答案】． 【分析】根据轴对称可得到等线段等角，再结合菱形的性质可得到△，再证△，由即可求出答案． 【解答】解：如图连接、， 关于过的直线对称， 在延长线上， ， 设，， 在菱形中，，， 与关于过的直线对称， ，，， ， ， △， ， ，， △， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质和菱形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上基础知识和线段之间的转化是解题关键． 38．（2024•长沙）如图，点在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）的度数是． 【分析】（1）由，，，根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，，则，由，求得． 【解答】（1）证明：在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ，， ， ， ， 的度数是． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 39．（2024•内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：△△； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）． 【分析】（1）先根据得，由此可依据“”判定△和△全等； （2）由△△得，进而根据三角形内角和定理可得的度数． 【解答】（1）证明：， ， 即， 在△和△中， ， △△； （2）解：，， 由（1）可知：△△， ， ． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 一十二．勾股定理（共5小题） 40．（2024•南充）如图，在中，，，，平分交于点，点为边上一点，则线段长度的最小值为　　 A． B． C．2 D．3 【答案】 【分析】先利用的正切求出的长，再在中，用的正切值可求出的长，最后利用角平分线的性质及垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：在中， ， ． ，， ， 平分， ． 在中， ， ． 平分，且， 点到边的距离等于线段的长， 即线段长度的最小值为2． 故选：． 【点评】本题考查勾股定理、垂线段最短及含30度角的直角三角形，熟知角平分的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． 41．（2024•淮安）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是　　 A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】 【分析】根据勾股定理分别求出第一个、第二个三角形的斜边长，根据规律得到第九个三角形的斜边长，根据估算无理数的大小的方法解答． 【解答】解：第一个三角形的斜边长， 第二个三角形的斜边长， 第九个三角形的斜边长， 则这海螺图形周长， 与最接近的整数是3， 与最接近的整数是13， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，找到规律是关键． 42．（2024•陕西）如图，在中，，是边上一点，连接，在的右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 　60　． 【答案】60． 【分析】将四边形的面积转化为，然后进行求解． 【解答】解：， ， ， ， ， 平分， 过点作，， 则：， ，，且， ， 四边形的面积， ， ， 设，则， 由勾股定理，得：， ， 解得：， ， ， 四边形的面积为60， 故答案为：60． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 43．（2024•大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 　48　． 【答案】48． 【分析】根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和． 【解答】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为． 正方形的面积为，正方形的面积为． 由题意得：正方形的边长为2，并且是直角三角形的斜边． 正方形的面积为4． 根据勾股定理可得：． 正方形的面积正方形的面积； 图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积． 图2中所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和． 即一次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． 次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和． 次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和． 【点评】本题考查勾股定理的相关知识．根据勾股定理得到以直角三角形各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键；难点是得到次操作后，所有正方形的面积的和图①中正方形的面积的和最大正方形的面积这个知识点． 44．（2024•泸州）如图，是的内接三角形，是的直径，过点作的切线与的延长线交于点，点在上，，交于点． （1）求证：； （2）过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）的长为． 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质推出，则，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，，据此即可证明； （2）过点作于，由勾股定理得，利用等面积法求出，则，同理可得，，进而得到；由，证明，求出，，设，则，证明，推出，故，解方程即可得到答案． 【解答】（1）证明：是的直径， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，如图： ， ， 在中，， ， ， ， 同理可得，， ； ，， ， 由（1）可得，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ， ， 解得：或（舍去）， 的长为． 【点评】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角 形和相似三角形是解题的关键． 一十三．多边形内角与外角（共2小题） 45．（2024•云南）一个七边形的内角和等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据边形内角和公式为，可以计算出七边形内角和的度数． 【解答】解：一个七边形的内角和为： ， 故选：． 【点评】本题考查多边形内角和，解答本题的关键是明确边形内角和公式为． 46．（2024•重庆）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 　9　． 【分析】根据外角和为，得出多边形的边数． 【解答】解：， 这个多边形的边数为9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解外角的个数与正多边形的边数之间的关系是解题的关键． 一十四．旋转的性质（共2小题） 47．（2024•河南）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则的最大值为 　　，最小值为 　　． 【答案】；． 【分析】根据题意识别出点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，所以当最小，最大，最大，最小，再根据已知长度计算就可以． 【解答】解：， ， 点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点旋转， 点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动， ， 当最大时，最大，当最小时，最小． ①如图，当与圆相切于点，且在内部时，最小，最大， ， ， ， ， ， 此时，即的最大值为， ②如图，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小， 同理可得，， 此时，即的最小值为， 故答案为：；． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等，解题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线． 48．（2024•北京）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； （2），证明见解析． 【分析】（1）证明即可证明点是的中点； （2）先证明，得到，再根据角度计算得到，从而得出和的数量关系． 【解答】（1）证明：连接， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是的中点； （2）解：， 在射线上取点，使得，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 一十五．相似三角形的判定与性质（共7小题） 49．（2024•河南）如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为　　 A． B．1 C． D．2 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明△△，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ， ， △△， ，即， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 50．（2024•德州）如图，△中，，，垂足为，平分，分别交，于点，．若，则为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：， 设，， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， 方法二：， 设，， ， ， ， ， ， △△， ， ， ，过于， 是的平分线，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 51．（2024•成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则　　． 【答案】． 【分析】连接，过作于，设，则，由，为中点，可得，有，，证明，可得，，故，再证，得，而，即得，从而，即可解得答案． 【解答】解：连接，过作于，如图： 设，则， ，为中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， 为中点， ， ， ， ， ， 解得或（小于0，舍去）， ． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 52．（2024•苏州）如图，△中，，，，点，分别在，边上，，连接，将△沿翻折，得到△，连接，．若△的面积是△面积的2倍，则 　　． 【分析】设，，根据折叠性质得，，过作于，设与相交于，证明△△，得到，进而得到，，证明△是等腰直角三角形，得到，可得，证明△△，得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解的值即可． 【解答】解：， 设，， △沿翻折，得到△， ，， 过作于，设与相交于， 则， 又， △△， ， ，，， ， ，，则， △是等腰直角三角形， ，则， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， △的面积是△的面积的2倍， ， 则， 解得，（舍去）， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解 答的关键． 53．（2024•重庆）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则　3　． 【分析】由平行线的等分线段定理推出，由三角形中位线定理推出，得到，由，推出，求出，即可得到的长． 【解答】解：，， ， 是的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线等分线段定理，关键是由三角形中位线定理得到，由，推出． 54．（2024•牡丹江）如图，在正方形中，是延长线上一点，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，连接．下列四个结论：①；②；③若是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是 　①②③⑤　． 【答案】①②③⑤． 【分析】如图1，作于，则四边形是矩形，证明，则，可判断①的正误；如图2，作交于，连接，证明，则，，由，，可得，，，证明，则，由勾股定理得，，由，可得，可判断②的正误；如图3，连接，由勾股定理得，，，可求，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，整理得，，可求满足要求的解为，则，，由，可得，可求，可判断③的正误；由题意知，，、不相似，，可判断④的正误；由设，，，则，，，，证明，则，证明，则，即，可求，同理，，则，即，同理，，则，即，可得，将代入得，，整理得，，可得，，则，可判断⑤的正误． 【解答】解：正方形， ，，， 如图，作于，则四边形是矩形， ， ， ， 又，， ， ，①正确，故符合要求； 如图，作交于，连接， ， ， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ， ，，， ， ， 由勾股定理得，， ， ，②正确，故符合要求； 是中点，， ， 如图，连接， 由勾股定理得，，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，， ， ，整理得，， 解得，或（舍去）， ，， ， ， 解得，，③正确，故符合要求； 由题意知，， 、不相似，，④错误，故不符合要求； ， ，， 设，，，则，，，， ，，， ， ， ，， ， ，即， 解得，， 同理，， ，即， 同理，， ，即， ， 将代入得，，整理得，， 解得，， ，⑤正确，故符合要求； 故答案为：①②③⑤． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 55．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定△△，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【解答】证明：（1）矩形， ，，， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ； （2）连接，交于点， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， 矩形， ， ， ， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ． 【点评】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 一十六．列表法与树状图法（共5小题） 56．（2024•内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，再由概率公式求解即可． 【解答】解：设、、中分别用1、2、3表示， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果， 灯泡能发光的概率为：， 故选：． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 57．（2024•济南）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为、、， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种， 小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为， 故选：． 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．正确画出树状图是解题的关键． 58．（2024•河南）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片正面相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将三张卡片分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， 两次抽取的卡片正面相同的概率为． 故选：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 59．（2024•武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意列表，由表格可得出所有等可能的结果数以及至少有一辆车向左转的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 直行 左转 右转 直行 （直行，直行） （直行，左转） （直行，右转） 左转 （左转，直行） （左转，左转） （左转，右转） 右转 （右转，直行） （右转，左转） （右转，右转） 由表格可知，共有9种等可能的结果，由表格可知，至少有一辆车向右转的结果有共5种， 至少有一辆车向右转的概率为． 故选：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 60．（2024•临夏州）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是 　　； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中卡片的结果有1种， 抽中卡片的概率是． 故答案为：． （2）四张卡片内容中是化学变化的有：，， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：，，共2种， 小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新题特训01 中考热搜高频考点60题 一．数轴（共3小题） 1．（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是　　 A． B．1 C．2 D．3 2．（2024•河南）如图，数轴上点表示的数是　　 A． B．0 C．1 D．2 3．（2024•河北）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点，，所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点，，所对应的数依次为0，，12． （1）计算，，三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点与点上下对齐时，点，恰好分别与点，上下对齐，求的值． 二．有理数的混合运算（共3小题） 4．（2024•北京）联欢会有，，，四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：如下： 节目 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为 　　；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 　　的先后顺序彩排． 5．（2024•广州）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当，，，时，的值为 　　． 6．（2024•甘肃）定义一种新运算，规定运算法则为：，均为整数，且．例：，则　　． 三．科学记数法—表示较大的数（共3小题） 7．（2024•广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 8．（2024•长沙）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为　　 A． B． C． D． 9．（2024•安徽）据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 四．实数的运算（共3小题） 10．（2024•北京）计算：． 11．（2024•湖北）计算：． 12．（2024•长沙）计算：． 五．一元一次方程的应用（共5小题） 13．（2024•烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？　　 A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺 14．（2024•广州）定义新运算：例如：，．若，则的值为 　　． 15．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是，得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　　． 16．（2024•苏州）某条城际铁路线共有，，三个车站，每日上午均有两班次列车从站驶往站，其中次列车从站始发，经停站后到达站，次列车从站始发，直达站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）次列车从站到站行驶了 　　分钟，从站到站行驶了 　　分钟； （2）记次列车的行驶速度为，离站的路程为；次列车的行驶速度为，离站的路程为． ①　　． ②从上午开始计时，时长记为分钟（如：上午，则，已知千米小时（可换算为4千米分钟），在次列车的行驶过程中，若，求的值． 17．（2024•威海）定义我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值．数轴上表示数，的点，之间的距离．特别的，当时，表示数的点与原点的距离等于．当时，表示数的点与原点的距离等于． 应用如图，在数轴上，动点从表示的点出发，以1个单位秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点从表示12的点出发，以2个单位秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点，之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点，到原点距离之和的最小值． 六．根的判别式（共4小题） 18．（2024•黑龙江）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 19．（2024•广安）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D． 20．（2024•北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　 A． B． C．4 D．16 21．（2024•广州）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 七．一元二次方程的应用（共3小题） 22．（2024•通辽）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为　　 A．或 B．或 C． D． 23．（2024•青岛）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 　　． 24．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 八．一次函数的应用（共2小题） 25．（2024•威海）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是　　 A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息36分钟 26．（2024•北京）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图． 当1号杯和2号杯中都有水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：和2号杯的水面高度单位：，部分数据如下： 0 40 100 200 300 400 500 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 　　（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 　　（结果保留小数点后一位）． 九．二次函数综合题（共5小题） 27．（2024•北京）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知，和，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围． 28．（2024•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点在的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 29．（2024•连云港）在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，．（1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点、，连接、．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 30．（2024•苏州）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． （1）求图象对应的函数表达式； （2）若图象过点，点位于第一象限，且在图象上，直线过点且与轴平行，与图象的另一个交点为在左侧），直线与图象的交点为，在左侧）．当时，求点的坐标； （3）如图②，，分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点作，交图象于点，连接，当时，求图象对应的函数表达式． 31．（2024•湖南）已知二次函数的图象经过点，点，，，是此二次函数的图象上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接，，．若，求证：的值为定值； （3）如图2，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值． 一十．平行线的性质（共3小题） 32．（2024•山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为　　 A． B． C． D． 33．（2024•凉山州）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为　　 A． B． C． D． 34．（2024•南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为　　 A． B． C． D． 一十一．全等三角形的判定与性质（共5小题） 35．（2024•重庆）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为　　 A． B． C． D． 36．（2024•宜宾）如图，在中，，，以为边作，，点与点在的两侧，则的最大值为　　 A． B． C．5 D．8 37．（2024•浙江）如图，在菱形中，对角线，相交于点，．线段与关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，交于点，则△与四边形的面积比为 　　． 38．（2024•长沙）如图，点在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 39．（2024•内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：△△； （2）若，，求的度数． 一十二．勾股定理（共5小题） 40．（2024•南充）如图，在中，，，，平分交于点，点为边上一点，则线段长度的最小值为　　 A． B． C．2 D．3 41．（2024•淮安）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是　　 A．14 B．13 C．12 D．11 42．（2024•陕西）如图，在中，，是边上一点，连接，在的右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 　　． 43．（2024•大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 　　． 44．（2024•泸州）如图，是的内接三角形，是的直径，过点作的切线与的延长线交于点，点在上，，交于点． （1）求证：； （2）过点作于点，若，，求的长． 一十三．多边形内角与外角（共2小题） 45．（2024•云南）一个七边形的内角和等于　　 A． B． C． D． 46．（2024•重庆）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 　　． 一十四．旋转的性质（共2小题） 47．（2024•河南）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则的最大值为 　　，最小值为 　　． 48．（2024•北京）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 一十五．相似三角形的判定与性质（共7小题） 49．（2024•河南）如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为　　 A． B．1 C． D．2 50．（2024•德州）如图，△中，，，垂足为，平分，分别交，于点，．若，则为　　 A． B． C． D． 51．（2024•成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则　　． 52．（2024•苏州）如图，△中，，，，点，分别在，边上，，连接，将△沿翻折，得到△，连接，．若△的面积是△面积的2倍，则 　　． 53．（2024•重庆）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则　　． 54．（2024•牡丹江）如图，在正方形中，是延长线上一点，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，连接．下列四个结论：①；②；③若是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是 　　． 55．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 一十六．列表法与树状图法（共5小题） 56．（2024•内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为　　 A． B． C． D． 57．（2024•济南）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是　　 A． B． C． D． 58．（2024•河南）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为　　 A． B． C． D． 59．（2024•武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是　　 A． B． C． D． 60．（2024•临夏州）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是 　　； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$