第24讲 三角函数的应用（四大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第24讲 三角函数的应用 学习目标： 1．会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题． 2．能将某些实际问题抽象为三角函数模型． 重点难点： 重点：通过分析、整理、提取信息等数学建模的常见步骤，运用三角函数模型表达并解决一些且有周期性变化规律的实际问题； 难点：通过已建构的函数知识，选择适当的函数模型拟合散点图。 一、三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重 要的作用,具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合 获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 二、用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验． 考点01三角函数在物理中的应用 1．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 2．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）． A．； B．； C．； D．． 3．一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（   ）    A．   B． C．   D．   4．（多选）弹簧振子以O为平衡位置，在两点间做简谐振动，相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点，下列说法正确的有（    ） A．振动的振幅为10cm B．周期s C．弹簧振子在5s内通过的位移为200cm D．弹簧振子在5s内通过的路程为200cm 5．已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 6．如图，弹簧挂着的小球上下振动.设小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离与时间之间的函数表达式是，，作出这个函数的大致图象，并回答下列问题： (1)小球开始振动（即）时的位置在哪里？ (2)小球最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (3)经过多少时间小球往复振动一次？ (4)每秒钟小球往复振动多少次？ 7．如图，钟摆从最高处A的位置开始摆动，每经过1.8s又回到点A．那么，在图中钟摆达到最高位置点A时开始计时，经过1min后，请你估计钟摆在铅垂线的左边还是右边．      考点02三角函数在生活中的应用 8．古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 9．如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（    ） A． B． C． D． 10．2024年7月，第17届欧洲杯足球赛落下帷幕，西班牙国家队以7战全胜的成绩获得冠军，队中出生于2007年，不满17岁就参加欧洲杯的天才少年拉明·亚马尔获得1个进球，4个助攻的优秀数据，打破了欧洲杯历史上的“最年轻的参赛球员”“最年轻的进球球员”等多项记录．据记者报道，由于他还是个高中生，在欧洲杯期间每天的训练和比赛后，还要完成自己的家庭作业．如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点D奔跑并选择一点P处射门，要想获得最大的射门角度（∠APB），则他需要带球的距离CP大约是（参考数据：）（    ）    A．3.6米 B．3.9米 C．7.2米 D．7.8米 11．某地一天时的气温y（单位：）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是 . 12．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度rad/s做圆周运动，是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当，时，作出其图象． 13．风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 考点03三角函数在几何中的应用 14．已知正方形边长为两点分别为边上动点，，则的周长为 . 15．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为 . 16．如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. (1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式； (2)求的最大值，及此时的角. 17．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点P的运动轨迹，并讨论是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．    18．在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 19．已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y. (1)写出y与x的函数关系式，并化简； (2)求矩形面积的最大值，并求此时x的取值. 考点04三角函数在圆周运动问题中的应用 20．如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 21．（多选）如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为.下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．的最小正周期为3 22．如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（多选）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 24．深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米． (1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 25．如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面，它的右侧有一点且距离地面.风车翼片的一个端点从开始计时，按逆时针方向旋转. (1)试写出点距离地面的高度关于时刻（min）的函数关系式； (2)在点旋转一周的时间内，有多长时间点距离地面超过？ 26．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环的圆心距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点处. （1）试写出蚂蚁距离地面的高度（米）关于时刻（分钟）的函数关系式； （2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？ 基础试炼 1．如图所示，一个以为始边，为终边的单摆的角与时间（单位：s）满足函数关系式，则当时，角的大小及单摆频率是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，），其中为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（        ）cm．（精确到0.1cm） A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7 4．2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为，那么（    ）． A． B． C． D． 5．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为 A．； B． C． D． 6．（多选）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，其中.小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（    ）    A． B． C．与时的相对于平衡位置的高度之比为 D．与时的相对于平衡位置的高度之比为2 8．（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为12 B． C．时，过山车距离地平面40m D．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s 9．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示.已知6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，此函数的最小正周期为 ，10月份的平均气温为 °. 10．下图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 厘米． 11．如图是一弹簧振子做简谐振动的图像,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移. 求：（1）简谐振动的函数解析式; （2）在时间为时的位移. 12．为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始，17点结束.通过观察发现，游客数量（单位：人）与时间之间，可以近似地用函数（，）来刻画，其中，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1250人，之后游客逐渐减少. (1)求出函数的解析式； (2)腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？ 高阶突破 1．交变电流（简称）是指电流大小和方向随时间作周期性变化的电流，其波形通常可以为正弦曲线、三角形波、正方形波等．已知某正弦交变电流大小（）随时间变化的函数关系式为，若该交变电流连续两次达到方向相同的有效值的时刻分别为，且，则该交变电流在时刻的瞬时值可能为（    ） A． B． C． D． 2．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的周期是16 B．该函数图象的一条对称轴是直线 C．该函数的解析式是 D．这一天的函数关系式也适用于第二天 3．如图，为测量旗杆的高，在水平线上选取相距的两点，用两个垂直于水平面且高度均为的测量标杆观测旗杆的顶点，记处测量标杆的上端点分别为，直线与水平线分别交于点，且测得的长分别为，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）动点在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为 .    6．（多选）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（    ） A．体力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．第462天时，智力曲线处于上升期、情绪曲线处于下降期 C．智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D．存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 7．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 8．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第24讲 三角函数的应用 学习目标： 1．会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题． 2．能将某些实际问题抽象为三角函数模型． 重点难点： 重点：通过分析、整理、提取信息等数学建模的常见步骤，运用三角函数模型表达并解决一些且有周期性变化规律的实际问题； 难点：通过已建构的函数知识，选择适当的函数模型拟合散点图。 一、三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重 要的作用,具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合 获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 二、用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验． 考点01三角函数在物理中的应用 1．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 故函数的周期为，，可得， 令，解得， 故总时间为， 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故选：D. 2．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【详解】由噪声的声波曲线 （其中，，）的振幅为1， 周期为2π，初相为，可得，，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：D． 3．一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（   ）    A．   B． C．   D．   【答案】B 【详解】由题知，粒子从为一个周期， 对应由为一个周期， 对应由为两个周期， 函数的周期是函数的周期的倍. 对于A，的周期为，的周期为，故A错误； 对于B，的周期为，的周期为，故B正确； 对于C，的周期为，的周期为，故C错误； 对于D，的周期为，的周期为，故D错误. 故选：B. 4．（多选）弹簧振子以O为平衡位置，在两点间做简谐振动，相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点，下列说法正确的有（    ） A．振动的振幅为10cm B．周期s C．弹簧振子在5s内通过的位移为200cm D．弹簧振子在5s内通过的路程为200cm 【答案】ABD 【详解】由题意知振幅的2倍为，则振幅为10cm，故A正确； 0.5s振子首次到达C点，即，所以，故B正确； 所以5s内振子通过的路程为，故D正确； 5s对应5个周期，所以振子又回到B点，位移为0cm，故C错误. 故选：ABD 5．已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 【答案】(1)； (2)（答案不唯一，）. 【详解】（1）函数，当时，. （2）当时，电流取得最大值，则，解得， 所以的一个值为. 6．如图，弹簧挂着的小球上下振动.设小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离与时间之间的函数表达式是，，作出这个函数的大致图象，并回答下列问题： (1)小球开始振动（即）时的位置在哪里？ (2)小球最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (3)经过多少时间小球往复振动一次？ (4)每秒钟小球往复振动多少次？ 【答案】(1)图象见解析，相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离 (2) (3)2秒 (4)次 【详解】（1）的图象如图， 因为， 所以当时，， 则小球开始振动（即）时的位置相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离. （2）对于，振幅为， 所以小球最高点和最低点与平衡位置的距离都是； （3）对于，， 所以，即经过2秒小球往复振动一次； （4）因为，所以每秒钟小球往复振动次. 7．如图，钟摆从最高处A的位置开始摆动，每经过1.8s又回到点A．那么，在图中钟摆达到最高位置点A时开始计时，经过1min后，请你估计钟摆在铅垂线的左边还是右边．      【答案】经过1min后，钟摆在铅垂线的右边． 【详解】由题设，钟摆的周期s，又， 所以，经过1min后，钟摆摆动了33个周期后继续摆动s，而， 故经过1min后，钟摆在铅垂线的右边． 考点02三角函数在生活中的应用 8．古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】由已知，， 经过45秒后，即旋转了个周期，因此，如图， 所以， 故选：A．    9．如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题图可得，则， 当时，y取得最小值，为，得， ∵函数的图象过点， ∴，即，又，∴，∴. 当时，. 故选：A. 10．2024年7月，第17届欧洲杯足球赛落下帷幕，西班牙国家队以7战全胜的成绩获得冠军，队中出生于2007年，不满17岁就参加欧洲杯的天才少年拉明·亚马尔获得1个进球，4个助攻的优秀数据，打破了欧洲杯历史上的“最年轻的参赛球员”“最年轻的进球球员”等多项记录．据记者报道，由于他还是个高中生，在欧洲杯期间每天的训练和比赛后，还要完成自己的家庭作业．如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点D奔跑并选择一点P处射门，要想获得最大的射门角度（∠APB），则他需要带球的距离CP大约是（参考数据：）（    ）    A．3.6米 B．3.9米 C．7.2米 D．7.8米 【答案】C 【详解】设，，， 同理可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时． 故选：C． 11．某地一天时的气温y（单位：）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是 . 【答案】 【详解】，， 当，即时， . 故答案为：. 12．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度rad/s做圆周运动，是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当，时，作出其图象． 【答案】(1)， (2)图象见解析 【详解】（1）过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦值, 又初相为，故P的纵坐标y关于时间t的函数解析式为， 因此P的运动周期. （2）当，时，， 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到，如图所示： 13．风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 【答案】(1) (2)秒 【详解】（1）由题意，得风机的角速度每秒，当时． 解得 ． （2）令，则，即， ，解得，． 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始， 在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为秒． 考点03三角函数在几何中的应用 14．已知正方形边长为两点分别为边上动点，，则的周长为 . 【答案】4 【详解】如图所示，设，， 所以，即， 由题意可得，， 所以，， 所以， 所以的周长为， 故答案为：4 15．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为 . 【答案】 【详解】解：由题设知：， 而， 所以， 解得， 故答案为：. 16．如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. (1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式； (2)求的最大值，及此时的角. 【答案】(1)（） (2)时，取得最大值 【详解】（1）在中，，， ，， ， ， （）； （2）， ， ， 因为， ， 当，即时， 取得最大值. 17．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点P的运动轨迹，并讨论是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．    【答案】轨迹见解析，是周期为4的函数. 【详解】假设落在轴上时开始计时，下一次落在轴上，过程中四个顶点依次落在了轴上， 而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1，因此该函数周期为4. 考查正方形向右滚动时，点运动情况： 首先以为圆心，正方形边长为半径运动个圆， 然后以为圆心，正方形对角线长为半径运动个圆， 最后以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，最终运动轨迹如下曲线：      由图知：是周期为4的函数. 18．在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)， (2)当时，矩形的面积最大，最大值为 【详解】（1）由题可知，， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ，． （2）， ， 当，即时， ， 故当时，矩形的面积最大，最大值为． 19．已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y. (1)写出y与x的函数关系式，并化简； (2)求矩形面积的最大值，并求此时x的取值. 【答案】(1)， (2)当时， 【详解】（1）解：在直角中，，， 在直角中，， 又， 所以， 所以 ， 即，. （2）解：因为，所以，所以当，即时，. 考点04三角函数在圆周运动问题中的应用 20．如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】动点的运动速度为，射线对应的角度为， 故动点行程的射线对应的角度为，故， 故选：C 21．（多选）如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为.下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．的最小正周期为3 【答案】AC 【详解】由题可知，质点的角速度为， 因为点P为起始点，沿逆时针方向运动， 设经过时间之后所成角为，则，根据任意角的三角函数定义有： ，所以该质点到x轴的距离为，故A正确，B错误； 因为，所以的最小正周期为，故C正确，D错误. 故选：AC. 22．如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D 23．（多选）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈， 所以振幅且，可得，所以A、B正确； 又由筒车的轴心O距离水面的高度为，可得，所以D错误； 根据题意，当时，，即，可得，所以C正确.A 故选：ABC. 24．深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米． (1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2)分钟 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面，所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为，所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，所以， 所以，且分钟， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有分钟最佳视觉效果. 25．如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面，它的右侧有一点且距离地面.风车翼片的一个端点从开始计时，按逆时针方向旋转. (1)试写出点距离地面的高度关于时刻（min）的函数关系式； (2)在点旋转一周的时间内，有多长时间点距离地面超过？ 【答案】(1) (2)分钟. 【详解】（1） 以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为轴， 过圆心且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系. 以轴非负半轴为始边，为终边的角为； 点时刻所转过的圆心角为：. 若时刻时蚂蚁爬到圆环点处， 那么以轴非负半轴为始边， 为终边的角为， 则点纵坐标为， 所以 （2）令， 即所以， 解得， 所以在一周范围内，距离地面超过持续时间为： 分钟. 26．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环的圆心距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点处. （1）试写出蚂蚁距离地面的高度（米）关于时刻（分钟）的函数关系式； （2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？ 【答案】（1）；（2）分钟. 【详解】（1）如图所示：蚂蚁爬行一圈需要4分钟在时刻所转过的圆心角为： （2） 持续时间为： 【点睛】本题考查了三角函数的应用，通过边角关系建立函数关系式是解题的关键，意在考查学生的应用能力. 基础试炼 1．如图所示，一个以为始边，为终边的单摆的角与时间（单位：s）满足函数关系式，则当时，角的大小及单摆频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 由函数解析式易知单摆周期为，故单摆频率为． 故选：B. 2．如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，），其中为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 所以， 因为，所以， 故，解得， 所以， 将代入得，， 故， 所以点N的纵坐标为. 故选：D 3．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（        ）cm．（精确到0.1cm） A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7 【答案】B 【详解】因为线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是， ，且取， 又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用， 所以函数的最小正周期为，即，解得， 即线长约为cm. 故选：B. 4．2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为，那么（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由大正方形面积为25,小正方形面积为1.易得大正方形边长为5,小正方形边长为1. 由图形可知，, 故 , 因为为锐角,故 . 故 故选：B. 5．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为 A．； B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故本题正确答案为A. 考点：余弦定理和三角形面积的求解. 【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积，最后得到答案. 6．（多选）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由图可知的最大值为15，最小值为， 所以，解得，所以AB正确，D错误， 因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15， 所以，得，所以C正确. 故选：ABC 7．（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，其中.小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（    ）    A． B． C．与时的相对于平衡位置的高度之比为 D．与时的相对于平衡位置的高度之比为2 【答案】BD 【详解】由题可知小球运动的周期，所以，解得，故B正确； 当时，. 又，所以，故A错误； 则， 所以与时的相对于平衡位置的高度之比为，故C错误，D正确. 故选：BD. 8．（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为12 B． C．时，过山车距离地平面40m D．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s 【答案】ACD 【详解】由题意可知，周期满足，得， 所以，得，又，解得，. 所以，又，即，得，因为，所以，所以. 对于A，，A正确；对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由，得，即，，，解得，， 所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是，D正确. 故选：ACD. 9．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示.已知6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，此函数的最小正周期为 ，10月份的平均气温为 °. 【答案】 / 【详解】由函数， 因为6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为， 可得且，解得， 所以函数，所以函数的最小正周期为； 令，可得，即为. 故答案为：；. 10．下图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 厘米． 【答案】64 【详解】如图，连接AB，CD，过点A作于E，过点B作于F． ∵，，∴四边形ABFE是平行四边形， ∵，∴四边形AEFB是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴， 故答案为：64． 11．如图是一弹簧振子做简谐振动的图像,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移. 求：（1）简谐振动的函数解析式; （2）在时间为时的位移. 【答案】（1）；（2）. 【解析】(1) 设函数解析式为,由图像得,周期,即可求得答案; (2)根据时,有,即可求得答案. 【详解】(1)设函数解析式为, 由图像得,周期, , . 又 当时,, , 即有, 根据周期性取, , (2)时,则有. 即当时,, 在时的位移是. 【点睛】本题考查了求解正弦型函数表达式和实际应用,解题关键是掌握正弦型函数的图像特征和基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 12．为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始，17点结束.通过观察发现，游客数量（单位：人）与时间之间，可以近似地用函数（，）来刻画，其中，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1250人，之后游客逐渐减少. (1)求出函数的解析式； (2)腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？ 【答案】(1)， (2)选择在12点之前或16点之后两个时间，理由见解析 【详解】（1）由题意得，，且， 故，故， 又，， 解得， 故函数的解析式为，； （2）当时，， 令，解得或， 解得或， 结合函数图象及，可得或， 为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在12点前或16点之后两个时间段赠送福 高阶突破 1．交变电流（简称）是指电流大小和方向随时间作周期性变化的电流，其波形通常可以为正弦曲线、三角形波、正方形波等．已知某正弦交变电流大小（）随时间变化的函数关系式为，若该交变电流连续两次达到方向相同的有效值的时刻分别为，且，则该交变电流在时刻的瞬时值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，结合对称性得为的极值点， 所以，即， 则，故该交变电流在时刻的瞬时值为， 当时，得， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 故选：A 2．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的周期是16 B．该函数图象的一条对称轴是直线 C．该函数的解析式是 D．这一天的函数关系式也适用于第二天 【答案】A 【详解】由题意及函数的图象知，，可得， 由，所以，故，A正确； 图象经过点，则，故， 但，故不是对称轴， 又，故φ可以取，所以，BC错误； 这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，D错误． 故选：A 3．如图，为测量旗杆的高，在水平线上选取相距的两点，用两个垂直于水平面且高度均为的测量标杆观测旗杆的顶点，记处测量标杆的上端点分别为，直线与水平线分别交于点，且测得的长分别为，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，，所以， 又，得到， 又，所以，解得m， 故选：A. 4．（多选）动点在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设动点与轴正方向夹角为，则时，的坐标是，则， 每秒钟旋转，故， 令，解得， 令可得，当，可得， 故动点的纵坐标关于都是单调递增的， 故选：AD. 5．如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为 .    【答案】/ 【详解】过点分别作分别垂直于点，    则，，又， 所以，所以， 所以平行四边形的面积和长方形的面积相等， 设，， 则，，， 所以， 所以四边形的面积， 所以 ， 因为，所以， 故当即时，面积取得最大值为. 故答案为：. 6．（多选）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（    ） A．体力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．第462天时，智力曲线处于上升期、情绪曲线处于下降期 C．智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D．存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 【答案】BC 【详解】由图象，体力的最小正周期是三个曲线中最小的，A错； 由图象，智力周期为33天，情绪周期为28天，相当于的起点，，相当于的中间点，B正确； 体力周期是23，只要是的公倍数都是它们的公共点横坐标，C正确； 智力曲线处于最高点的天数为，情绪曲线处于最高点的天数为，体力曲线处于最高点的天数为，只有情绪曲线是整数天处于最高点，另外两个曲线处于最高点的天数都不是整数，同样最低点也是如此，因此D错． 故选：BC． 7．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 【答案】(1)选择较合适，()； (2)应安排在11时到19时训练较恰当 【详解】（1）把表格中的数据在坐标系内描出，如下， 由所描点知：应选择， 令，，， 依题意，函数的最大值为，最小值为，周期为， 则，，， 于是，代入点，得， 即，则，又，因此， 所以该模型的解析式为：. （2）令，得，则， 解得，而， 当时，，则；当时，，则； 当时，，则，因此或或， 依题意，应在白天11点到19点之间训练较恰当. 8．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 【答案】(1) (2)最早可行的进港时间为 1 时 2 分， 5 时 10 分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分. 【详解】（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以， 由表格可知， 所以， 所以， 将点代入可得：， 所以， 解得， 因为，所以， 所以. （2）货船需要的安全水深为 米, 所以进港条件为 . 令 , 即, 所以, 解得, 因为， 所以时，, 时， 因为（时） 时 2 分, （时） 时 10 分. （时） 时 26 分，（时） 时 34 分. 因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港. 则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$