2025年九年级中考数学专项练习 ——抛物线中的面积最值问题

抛物线中的面积最值问题中考专项练习 一、解答题 1．如图，中，，，，动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：）． (1)求的面积S关于t的函数解析式； (2)若的面积是ΔABC面积的，求t的值； (3)的面积能否为ΔABC面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点．P为抛物线上一点，横坐标为m，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P位于x轴下方时，求面积的最大值； (3)设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围； ②当时，直接写出的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于、、三点，且，点P是抛物线上的一个动点． (1)求点C的坐标； (2)求这个二次函数的解析式； (3)若点在直线下方，运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 5．已知，二次函数图象与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)该二次函数图象上是否存在一点不与点重合，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、．点是直线上方抛物线上一点，连接、． (1)求直线的解析式； (2)若，求点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)直接写出二次函数的解析式_________________________； (2)当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图所示，抛物线与轴相交于，与y轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接、．求面积的最大值及此时点N的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出P点的坐标． 9．如图1，抛物线经过点、，，顶点为； (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，若点在抛物线上，点是直线上方抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图3，经过点、两点的直线与轴交于点，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图（1），已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点，连接． (1)请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)判断的形状，并说明理由； (3)如图（2），点是直线下方该抛物线上的一个动点，连接，．问的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点，点与点关于轴对称，为该抛物线上一点，连接，，，． (1)求该抛物线的解析式． (2)若的面积与的面积相等，请直接写出点的横坐标． (3)当点在第一象限时，连接，设的面积为，求的最大值． 13．已知：抛物线经过，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点P的坐标； (3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当ΔBCF面积最大时，求F点坐标及面积最大值． 14．已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 15．在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；求当的面积及点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 16．如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，当时，求出点P的坐标． 17．如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； (3)在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 18．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为_____；顶点的坐标为_____； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线分别交直线和抛物线于点、，点为平面内任意一点，当点、、、构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 19．如图，已知抛物线过与且有最小值． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标． 20．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，点在平面上，以点，，，为顶点作菱形，请直接写出符合题意的点的坐标． 22．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 24．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上的一点． (1)求点A的坐标及直线的解析式； (2)如图①，连接，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线于点E，M是线段上一动点（不与B，C两点重合），连接，设点M的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． （1），，，根据的面积公式得出答案； （2），，，根据的面积是面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）的面积不能为面积的一半，根据的面积是面积的，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出的面积不可能是面积的一半． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，， ∴， ∵动点P从点C开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：． 答：的值为2； （3）解：的面积不可能是面积的一半，理由如下： 根据题意得：， 即， 整理得：， ， 该方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 2．(1)y＝ (2) (3)存在，P点的坐标为：，，，, 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． （1）待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求出直线解析式为，设，则，根据转化成顶点式即可得到结果． （3）分两种情况进行讨论①为等腰三角形，且以为底边，②为等腰三角形，且以为底边，③为等腰三角形，且以为底边，得到点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵二次函数交x轴于点，交y轴于点， ∴， 解得， 所以二次函数的解析式为：y＝； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图1，作轴于点G，交于点F，    设，则，， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ①为等腰三角形，且以为底边，    ∴， ∴ ∴， 解得，， ∴或． ②为等腰三角形，且以为底边， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴或． ③为等腰三角形，且以为底边， ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴点的坐标为； 综上所述，P点的坐标为，，，,． 3．(1) (2)8 (3)①时，；当时，；时，；②6 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）将点代入即可； （2）求出，抛物线顶点为，当位于抛物线顶点时，的面积有最大值； （3））①当时，；当时，；当时，； ②当时若，此时无解；若，则，则的面积 【详解】（1）解：将点代入， 得， ； （2）解：令或， ∴， ， 抛物线顶点为， 当位于抛物线顶点时，的面积有最大值， （3）解：①当时，； 当时，； 当时，； ②当时， 若，此时无解； 若，则或（舍去）， ∴， ∵， ∴的面积 ． 4．(1) (2)； (3)点坐标为时，四边形的最大面积为． 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，解题的关键是方程思想的应用． （1）由，且，得； （2）设二次函数的解析式为，用待定系数法可得二次函数的解析式为； （3）设，过作轴于点，交直线于点，先求得直线解析式，当最大时，四边形的面积最大，根据得到关于的二次函数，由二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：，且， ； （2）解：设二次函数的解析式为，把、、代入得： ， 解得， 二次函数的解析式为； （3）解：点在抛物线上， 可设， 过作轴于点，交直线于点，如图： ，， 直线解析式为，， ，当最大时，四边形的面积最大， ， ， 当时，最大值为8，此时， 当点坐标为时，， 故此时四边形的最大面积，四边形的最大面积为． 5．(1)； (2)点的坐标为或或． 【分析】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设的纵坐标为，根据，可得，进而代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由二次函数图象与轴交于点两点，设， 把代入得， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解∶∵点两点，与轴交于点． ∴，， ∴ 设的纵坐标为， ∵， ∴， 解得或， 中，当时，， 解得或 ∴点的坐标为或， 中，当时，， 解得解得（舍去）或 ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 6．(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）令，代入，求出与轴交于A，B两点坐标，令求出点C坐标，然后运用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）过点作轴的平行线交于点，令，， 先求，根据三角形面积公式求，求出m，然后根据点是直线上方抛物线上一点，得出结论． 【详解】（1）当， 解得：，， ，， 当，， ， 设直线的解析式：， 将，代入得： ，，   ； （2）过点作轴的平行线交于点， ，， ，， ， ， ， 令，， ， ， ， ， 即 当时， ， 解得，， 当时， ， 解得（不在直线上方抛物线上，舍去）， 当时，， 当时，， ，． 7．(1) (2)点P的坐标为四边形的面积最大值为 (3)存在， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点P作y轴的平行线与交于点Q，设，先求出直线的解析式为，再利用求解即可； （3）设点，交于点E，若四边形是菱形，则，连接，则，，可得，进而求解． 【详解】（1）解：将两点的坐标代入得 解得 所以二次函数的表达式为， 故答案为：； （2）解：如图，过点P作y轴的平行线与交于点Q， 设，直线的解析式为， 则， 解得 直线的解析式为， 则， ， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时，点P的坐标为四边形的面积最大值为； （3）解：存在．理由如下： 如图，设点，交于点E， 若四边形，是菱形，则， 连接，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性，会用铅锤法求三角形的面积是解题的关键． 8．(1)，顶点坐标为： (2)最大值为，的坐标为 (3)点坐标为，，， 【分析】（1）把点、点和点的坐标代入抛物线解析式，求出，b，即可得出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由（1）可得到直线的解析式，设点，则，进而表达三角形的面积，利用二次函数的最值问题可得； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点和点，点， 代入抛物线， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； ∵， ∴； （2）解：由（1）知抛物线的顶点为， 设直线的解析式为令，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴面积， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时； （3）解：∵抛物线的对称轴为：直线， 设点坐标为， ∵， ∴， ， ， ①当时，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当时，即， ∴， 解得：， ∴点的坐标为，； ③当时，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，勾股定理，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论． 9．(1)， (2)，面积的最大值为 (3)存在，的坐标或或 【分析】本题考查了二次函数综合，主要涉及求二次函数解析式、二次函数与平行四边形综合、二次函数与面积综合等知识点． （1）先由得，再将、代入，解方程即可得抛物线的解析式，再将抛物线的解析式变形为顶点式即可得顶点的坐标； （2）过作轴交于，先求出直线解析式为，再设，则，最后利用铅锤法求面积，然后根据函数的性质即可确定该题的答案． （3）过三个顶点分别作对边的平行线，交点即为，此时以、、、为顶点的四边形是平行四边形，再结合平移求的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴，即， 再将，代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：如图，过作轴交于， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∴ ∴当时，的最大面积为， 此时； （3）解：设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴，， ∵，， ∴， 过三个顶点分别作对边的平行线，交点即为， 当，时，如图，此时四边形是平行四边形，，则； 当，时，如图，此时四边形是平行四边形，，则； 当，时，如图，此时四边形是平行四边形， ∵点向下3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到， ∴点向下3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到； 综上所述，存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，的坐标或或． 10．(1)对称轴为直线，顶点为 (2)直角三角形，见解析 (3)存在，当时，的面积有最大值，此时点坐标为 【分析】（1）根据对称轴及顶点公式求解即可； （2）先求出、、三点的坐标得，，的长，进而利用勾股定理及其逆定理即可判定得解； （3）先求得直线的表达式为．过点作轴交直线于，设，则，由三角形的面积公式构造二次函数求得，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线； 将代入得， 抛物线的顶点为 （2）解：是直角三角形，理由如下： 在中，令得， ， 在中，令得， ， ， ， 是直角三角形，且， （3）解：存在． 设直线的表达式为，将代入， 得， 解得， 直线的表达式为． 过点作轴交直线于， 设，则， ， ， ∴当时，的面积有最大值， 当时，， ∴点坐标为； 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求一次函数的解析式，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理及二次函数的性质是解题的关键． 11．(1) (2)能．或 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 12．(1)； (2)或； (3)． 【分析】利用待定系数法，把点的坐标代入解析式中，求得的值，即可求解； 由抛物线解析式可求得点、的坐标，则可求得点的坐标，从而可求得的面积；由题意求得的边上的高，由点在抛物线上，可求得点的横坐标； 设点的坐标为，由待定系数法求得直线的解析式为；过点作轴，交于点．则可得点的坐标，从而求得；则可得关于的二次函数关系式，由二次函数的性质即可求得的最大值． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：， 当时，可得：， 解得：，， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标为， ， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， ， ， ， 其中为的边上的高，， ， 点的纵坐标为， 或， 或， 点的横坐标为或； （3）由知，； 设点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式中, 可得：， 解得：， ． 如上图所示，过点作轴，交于点． 当时，， 点的坐标为， ， 则， 当时，的值最大，且最大值为， 故的最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最大值，求二次函数与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程等知识，熟练掌握这些知识是关键． 13．(1) (2) (3)，4 【分析】（1）先求出点，然后用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线对称轴为直线，可得点A关于对称轴直线对称点B点坐标为，则与对称轴为直线的交点即为点P，此时，的值最小，进而可求出点P的坐标为； （3）过F作轴于点H，交于点G，设，则G为，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线，令，得 ∴ 把点和C为代入抛物线 得 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：由抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴直线对称点B点坐标为 把点B点坐标为代入得， ∴直线解析式为 ∵抛物线对称轴为直线，点A与点B关于对称轴直线对称， 则与对称轴为直线的交点即为点P， 此时，的值最小． ∵直线，当时，， ∴点P为． ∴当的值最小时，点P的坐标为 （3）解：过F作轴于点H，交于点G， 设，则G为， ∴ ∵，∴当m=2时，为最大值为4，， ∴ ∴为最大值为4时，F坐标为 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，轴对称的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 14．(1) (2)12 (3)点的坐标为 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）先求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．设点，则点，由，结二次函数的性质求解即可； （3）先求得点D坐标，连接，则轴．过点做交轴于点．根据等底等高的三角形面积相等得到，进而求得点N坐标和直线的解析式为．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线 抛物线过点 设二次函数的解析式为， 把代入，得：． 二次函数的解析式为； （2）解：设的解析式为，把点代入，得． 的解析式为． 如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点． 设点， 则点 ， ∵， 面积的最大值为12． （3）解：点的横坐标为， ，直线的解析式为． 连接，则轴．过点做交轴于点．则 ． ， ，则点的坐标为， ，直线的解析式为， 直线的解析式为． 点为抛物线与直线的在第二象限内的交点， 解方程组，解得或（舍去） 点的坐标为． 15．(1) (2)的最大值， (3)或 【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解； （2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）由正切函数得，由勾股定理得，设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，可得原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，①当在直线的上方，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，由可判定，由三角形的性质得，，由正切函数及勾股定理得 ，可求 ，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标； ②当在直线的下方，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，同理可求直线的解析式为，设，由勾股定理得，可求出的值，从而可求 ，同理可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ； （2）解：过点作轴于，交直线于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 故的最大值，； （3）解：，， ，， ， ， 设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线， 原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位， ， 经过， ， 整理得：， 解得：，， ， 联立， 解得：或， ， ①当在直线的上方， 如图，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当在直线的下方， 如图，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于， 由①同理可求：， ， 同理可求直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 不合题意舍去， 当时， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：解得：或， ； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切函数等，掌握待定系数法，二次函数的性质，能作出恰当的辅助线构建三角形及全等三角形，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 16．(1) (2)点P的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数法求表达式是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，代数求出，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得，解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 将代入得，， 解得或； ∵P为第二象限内抛物线上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 17．(1) (2)当时，最大，且最大值为 (3)，， 【分析】本题考查二次函数，待定系数法求解析式，面积问题，平行四边的性质与判定； （1）根据待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，过点作，得，从而得到，根据为等腰直角三角形，再结合二次函数的解析式，得到，最后结合二次函数的图形性质即可得到面积的最大值； （3）根据不同的情况展开讨论，通过全等三角形的性质计算出点的横坐标，再根据二次函数的解析式计算出纵坐标即可． 【详解】（1）解：∵过点，， ∴ ， 解方程组得， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点，过点作，垂足为， ∵，，， ∴ ∵， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，且最大值为； （3）解：∵当时，， ∴点， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 解得， ∴点， ∴， 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 由题意得， ∵， ∴、、、构成的四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 综上所述，符合条件的点N的坐标为：，，． 18．(1)； (2)面积的最大值为，此时 (3)或或或 【分析】（1）求出当时，的值；将抛物线解析式化为顶点式，即可得解； （2）设，确定直线的解析式为，过点作垂直于轴，交于点，则点，得出，根据二次函数的最值可得结论； （3）分三种情况：①当，为邻边时；②当，为邻边时；③当，为邻边时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点， 当时，得：， 当时，得：，解得：，， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）设， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 过点作垂直于轴，交于点， ∴点， 设点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∴ ∴， ， ∴当时，有最大值，此时， ∴面积的最大值为，此时； （3）设；， ∵， ∴， ， ， ∵点、、、构成的四边形为菱形， ①当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），，， ∴此时点的坐标为，； ②当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），， ∴此时点的坐标为； ③当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），（此时点、重合，舍去），， ∴此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，二次函数的顶点式，二次函数的最值的应用，待定系数法确定一次函数的解析式，菱形的性质，两点间的距离，一元二次方程的应用等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 19．(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的图象和性质 （1）根据与的坐标可得对称轴为直线，顶点坐标为，进而利用待定系数法把代入二次函数中，即可算出的值，进而得到函数解析式是； （2）首先求出、两点坐标，计算出的长，再设，，根据的面积为可以计算出的值，然后再利用二次函数解析式计算出的值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：∵与在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， 设函数的解析式为， 将代入得， ∴ 解得， ∴函数的解析式，即； （2）解：当时，， 解得：； ，， ． 设， 的面积为， ， 解得：， 当时，， 解得：或， 或； 当时，， 方程无解，舍去． 故或． 20．(1)，； (2)，时，有最大值，最大值是； (3)存在，点坐标为或或． 【分析】（）把，代入求出a、c的值，得到抛物线解析式，化为顶点式可得到顶点的坐标； （）求出直线的函数解析式，用含的式子表示出点的坐标，得出，再根据求出S关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）过点Q作轴于点D，则，由、C点坐标，得到，，根据平行四边形性质证明，设，得，分类计算即得． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：设直线的函数解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在，理由如下： 过点Q作轴于点D，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵当以为顶点的四边形为平行四边形时，， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得（舍去），或， ∴， 当时，， 解得，或， ∴或 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，三角形面积公式，二次函数、一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，分类讨论，是解题的关键． 21．(1) (2)， (3)，或或或或 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以为对角线或以为边这两个情况，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式：， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）解：如图1， 作于，交于， ，， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：∵点在抛物线对称轴上， ∴设， ∵以点，，，为顶点作菱形， ∴当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ， 即：， ， ， ， ，， ，， ． ∴当以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， ，或 ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∴当以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， ，或 ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； 综上：，或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点． 22．(1) (2)点为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为，此时点的坐标为 【分析】（1）将、点坐标分别代入抛物线解析式得，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式； （2）由题意知，二次函数的对称轴为直线，则，如图，设，则，，由题意知，，然后根据二次函数的图象与性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得，， ∴抛物线的关系式为； （2）当时，， 解得，或，则， 由题意知，二次函数的对称轴为直线， ∴，如图， 设直线的函数表达式为 将、点坐标代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则，， 由题意知，， ∴， ∵， ∴当时，即点为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为，此时点的坐标为． 23．(1)， (2)存在，点 (3),的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数的性质，面积问题； （1）令，求得的坐标，令，求得的坐标 （2）根据对称性可得，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． 当时，，则， 当时，， 解得： ∴，； （2）存在，点．理由如下： ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，；是对称点，且，对称轴为直线 如图所示，当是与的交点时，的周长最小， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，故点． （3）如图，设，过点作交于点，则 ∴ ∴ ∴当时，的面积最大，最大值为 ∴ ∴ 24．(1) (2)（4，-3） (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）令代入求解可得A、B坐标，然后令可得C点的坐标，进而利用待定系数法可求直线解析式； （2）过点P作轴，交于点H，设点，则有，然后可得，进而根据铅垂法可进行求解； （3）由抛物线解析式可得对称轴为直线，则有，根据拓展可知，然后根据平行四边形的性质可得，进而求解即可． 【详解】（1）令时，则， 解得：， 令时，则有， ∴，，， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点H，如图所示： 设，则，所以， ∴， 因为，所以当时，的面积最大，此时点P的坐标为. （3）由题意，，所以，对称轴为直线， 令，则，所以 .所以， 因为四边形为平行四边形，所以，， 由题意知，则，所以， 所以，解得，（不符合题意，舍去）， 所以当时，四边形为平形四边形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$