专题12三种几何动态问题中的相似（三种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题12三种几何动态问题中的相似（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01旋转动态问题 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，．将绕边的中点P旋转，得到，边恰好经过点C，过点A作于点G，则的长为 ． 【例1-3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）（1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，是等腰三角形，．将绕点C逆时针方向旋转得到，点D落在边上．若的延长线恰好经过点A，则下列线段的比不等于的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，，，点分别是边的中点，联接．将绕点B顺时针方向旋转，点的对应点分别是点．如果点落在线段上，那么线段 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，______；②当时，______； (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决 当，旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段AD的长． 题型02轴对称动态问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的边上一点，将沿翻折，点落在点处，与相交于点，若，，，则的长是（    ） A．8 B．8.5 C． D． 【例2-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，，点E、F分别在边，上，沿直线将翻折，点B落在点P处，如果且，则 ．    【例2-3】（24-25九年级上·北京昌平·期中）如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·重庆南岸·期中）如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点G，延长交于点H，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接并延长交与点F，则 ．    【变式2-3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形．他先通过对折找到边的中点E，再将沿着直线翻折得到，连接，小亮猜想． 【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：点E为边的中点， ， 沿着直线翻折得到， ， ， ． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 （1）如图①，在【探索发现】的基础上，若，的面积为6，则矩形的面积为___________； （2）如图②，在【探索发现】的基础上，过点作交线段于点F．若，则矩形的周长为___________． 题型03运动问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·河北保定·期末）已知，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度，沿运动，时间为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似．（    ） A． B． C．或 D．或或4 【例3-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，动点P从点A出发到B点停止，动点Q从点C出发到A点停止，点P运动的速度为，点Q运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ． 【例3-3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，．动点N从点C出发，以每秒的速度沿向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止运动．连接，设移动时间为t（单位：秒）． (1)当的面积为时，求t的值． (2)若以B，M，N为顶点的三角形与相似，求t的值． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，沿以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，若点分别从点同时出发，设运动时间为，当取（    ）时，与相似． A． B． C．或 D．或 【变式3-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，于点，于点．交于点，点在直线上运动，，，，当取最小值时，的长为 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，在中，，，．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点．同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为（），解答下列问题：    (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值； (4)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出答案． 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点 是 边上一点，将 沿着过点 的一条直线翻折，使得点 落在边 上的点 处，连接 ， 如果 ， 那么 的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）图1是装了液体的长方体容器（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则图2中阴影部分的面积为 ． 5．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，且，按以下步骤操作： 第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为．则线段的长为 ； 第二步，分别在，上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为 ． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以的速度向点运动，到达点停止．同时动点从点出发以的速度沿方向运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当以、、为顶点的三角形与相似时（两个三角形不重合），运动时间是 s． 三、解答题 7．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在中，， ， ，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． 当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似? 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图1，已知和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且． (1)观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，如图2，当的延长线恰好经过点时： ①的值为 ； ②与的夹角的度数为 度． (2)类比探究 如图3，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)拓展延伸 若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12三种几何动态问题中的相似（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01旋转动态问题 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，构成直角三角形以及相似三角形，根据，可得，设，则，，根据勾股定理可得方程求出的长以及的长，即可得到所求的比值． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵中，， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴中，由勾股定理，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 【例1-2】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，．将绕边的中点P旋转，得到，边恰好经过点C，过点A作于点G，则的长为 ． 【答案】 【分析】由勾股定理得，，由旋转可得，，，，则，，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵绕直角边中点旋转，得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【例1-3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）（1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，即可得出，再求出对应边的比，即可得出相似比； （2）根据得出，，进而得出，，即可求证； （3）过点作，作，连接，证明，得出比例线段，证明，得出比例线段，由勾股定理可求，的长，即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； ∴ 故答案为：； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过点作，作，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，是等腰三角形，．将绕点C逆时针方向旋转得到，点D落在边上．若的延长线恰好经过点A，则下列线段的比不等于的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转的性质，根据旋转得到，，即可得到，再证明得到，推出，当时，几个判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：∵将绕点C逆时针方向旋转得到，， ∴， ∴，，， ∴，故A、C选项不符合题意； ∵的延长线恰好经过点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项不符合题意， 当时，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，，，点分别是边的中点，联接．将绕点B顺时针方向旋转，点的对应点分别是点．如果点落在线段上，那么线段 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由勾股定理求出，点分别是边的中点，则，，通过旋转性质得出，，则，又，则可证明，又由勾股定理求出，最后通过相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∵将绕点顺时针方向旋转， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，______；②当时，______； (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决 当，旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段AD的长． 【答案】(1)①2；②2 (2)当时，的大小无变化，见解析 (3)10或6 【分析】本题考查的主要内容是图形的旋转，三角形的相似、中位线等，勾股定理等知识的综合，通过画图是弄清楚旋转后图形的位置关系是解题的关键． （1）①当时，证明，得到，②当时，如图所示：同理①可得； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故：，，的大小无变化； （3）当旋转右侧，，由，得：；当在左侧，此时，，是的中位线，，由勾股定理的即可求解． 【详解】（1）解：①当时， ， ， ， ，即， ； 故答案为：2； ②当时，如图所示： 则三点共线， ， ， ， ，， 即， ； 故答案为：2； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即：，而， ， ， 故：当时，的大小无变化； （3）当旋转到如图位置，，三点共线时右侧）， 由题意得：， 由，得：， 由勾股定理得：， ， 当旋转到如图位置，，三点共线时左侧）， 此时，，是的中位线， ， 由勾股定理得：， ， 故线段的长为10或6． 题型02轴对称动态问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的边上一点，将沿翻折，点落在点处，与相交于点，若，，，则的长是（    ） A．8 B．8.5 C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识．由翻折得，，证明，得出，得出，，推出，整理得，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是8， 故选：A． 【例2-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，，点E、F分别在边，上，沿直线将翻折，点B落在点P处，如果且，则 ．    【答案】13 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识,掌握灵活运用勾股定理、相似三角形的判定及其性质等知识进行解答是解题的关键．证明；求出的长度；证明，列出比例式即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，交于点O；      由折叠的性质得：； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：13． 【例2-3】（24-25九年级上·北京昌平·期中）如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质和折叠变换的性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）根据两个角相等可证明； （2）根据相似三角形的性质列比例式可得的长，再根据勾股定理列方程可得的值，从而可得答案 【详解】（1）证明：四边形是矩形 ， 沿直线将翻折，使得落在AD边上， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 即， 解得． 四边形是矩形， ， 沿直线将翻折，使得点落在边上， ， ， ， ， 即， 解得， 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·重庆南岸·期中）如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点G，延长交于点H，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键． 过E作于M，根据矩形性质和折叠的性质，结合勾股定理求得 ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】过E作于M，则， 四边形是矩形， ， ， 沿翻转到处， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得 则， ， ， ， 解得： 故选：A． 【变式2-2】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接并延长交与点F，则 ．    【答案】 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，过作交于，交于，由一线三垂直模型得到，即可得到，设，则，，再在中根据勾股定理列方程求出，得到，，最后由，可得，构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，过作交于，交于．    ∵矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形．他先通过对折找到边的中点E，再将沿着直线翻折得到，连接，小亮猜想． 【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：点E为边的中点， ， 沿着直线翻折得到， ， ， ． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 （1）如图①，在【探索发现】的基础上，若，的面积为6，则矩形的面积为___________； （2）如图②，在【探索发现】的基础上，过点作交线段于点F．若，则矩形的周长为___________． 【答案】〖问题解决〗见解析 〖结论应用〗（1）40 （2） 【分析】〖问题解决〗由折叠的性质可得出结论； 〖结论应用〗（1）连接交于点，设，则，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，求出三角形的面积，则可得出答案； （2）连接交于点，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出的长． 【详解】〖问题解决〗证明：点E为边的中点， ， 沿着直线翻折得到， ， ， ， 翻折， ， ， ， ． 〖结论应用〗（1）解：连接交于点， 设，则， 为的中点，， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：40； （2）连接交于点， ， ， ， ， ， 又， ， 设， 由（1）知，， ， ， ， 舍去）， ， ， ， 矩形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键． 题型03运动问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·河北保定·期末）已知，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度，沿运动，时间为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似．（    ） A． B． C．或 D．或或4 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质．根据题意分类讨论是解题的关键． 由勾股定理得，，由题意知，分当在上，在上两种情况求解：当在上时，，则，计算求解即可；当在上时， ，则，计算求解即可；当点P与点B重合时，此时． 【详解】解：由勾股定理得，， 由题意知，分当在上，在上两种情况求解： 当在上时，，由题意知，， ∴，即， 解得，； 当在上时，，由题意知，， ∴，即， 解得，； 当点P与点B重合时，此时，也满足， ∴ 综上所述，的值为或或， 故选：D． 【例3-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，动点P从点A出发到B点停止，动点Q从点C出发到A点停止，点P运动的速度为，点Q运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．分两种情况讨论：①当时，，②当时，．分别根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：设点P运动的时间为，则，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴，即， 解得； 当时，， ∴，即， 解得， 综上所述，当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或． 故答案为：或 【例3-3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，．动点N从点C出发，以每秒的速度沿向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止运动．连接，设移动时间为t（单位：秒）． (1)当的面积为时，求t的值． (2)若以B，M，N为顶点的三角形与相似，求t的值． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）如图，过点M作于点D．根据勾股定理求出．证明，根据相似三角形的性质求出，再根据列方程求解即可． （2）分两种情况讨论：①当时，，②当时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点M作于点D． 在中，，，， 根据勾股定理，得． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． ∵， 解得：， ∴t的值为3． （2）解：分两种情况讨论： ①当时，， 此时，即， 解得：； ②当时，， 此时，即， 解得：． 综上所述，t的值为或． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，沿以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，若点分别从点同时出发，设运动时间为，当取（    ）时，与相似． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，用含的式子分别表示出，，，，分类讨论，第一种情况，当时；第二种情况，当时；根据相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：已知，，，点的速度为，点的速度为，设运动时间为， ∴，， ∴，， 第一种情况，当时，， ∴，整理得，， ∴； 第二种情况，当时，， ∴，整理得，， ∴； 综上所述，当或时，与相似， 故选：． 【点睛】本题主要考查动点与三角形的关系，相似三角形的判定和性质，理解题目中动点的运动规律，找出边的数量关系，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式3-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，于点，于点．交于点，点在直线上运动，，，，当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，．证明，推出，推出，推出点的运动轨迹是直线，推出当时，的值最小，再利用勾股定理求出即可．本题考查相似三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】解：如图，连接，． ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是直线， 当时，的值最小， 此时， 则， ∴， 即最小值为． 此时，， 故答案为． 【变式3-3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，在中，，，．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点．同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为（），解答下列问题：    (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值； (4)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出答案． 【答案】(1)； (2)； (3)当的值为或时，； (4)当为或或时，为等腰三角形． 【分析】（）先由勾股定理求出，由四边形为平行四边形得，即，则，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可； （）当，则，证明，根据性质得，然后代入求值即可； （）过作交于点，则，根据性质得，代入得，然后由，，，则，然后解方程即可求解； （）分三种情况当时，当时，当时，再根据勾股定理和相似三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 如图，由题意得，，，则，    ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在某一时刻，使，理由如下： 如图，过作交于点，    ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得得，，，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，整理得：， 解得：，， ∴当的值为或时，； （4）解：如图，当时，过作交于点，    同理， ∴， 由（）得得，，，则， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，    ∴， 解得：； 如图，当时，过作交于点，    同理可得：，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， 综上：当为或或时，为等腰三角形． 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点 是 边上一点，将 沿着过点 的一条直线翻折，使得点 落在边 上的点 处，连接 ， 如果 ， 那么 的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称，相似三角形的判定与性质，正切值等知识点．解题的关键与难点在于相似比找出线段之间的数量关系． 由题意知，，和关于过点的直线对称，如图所示，，，有，，故有，；得，求出，，的值，进而得出的值． 【详解】解：由题意知，和关于过点的直线对称，如图所示 在中， ， ， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，， ∴ 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据等腰直角三角形的性质求出，结合，进而得到，利用两对应边成比例，夹角相等得到三角形相似；②利用相似三角形的性质求出，结合公共角，利用两组对应边对应相等的两个三角形相似求解；③利用相似三角形的性质求得，结合三角形外角性质求出来求解；④利用相似三角形的性质得到，结合来求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，， 由勾股定理得：， ， ． ， ， ． ， ，故①符合题意； ， ． ， ，故③符合题意； ，， ，故②符合题意； ， ， ． ， ， ， ，故④符合题意． 综上所述，正确的有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，得到三角形相似是解答关键． 3．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.通过证明 ，由相似三角形的性质可求，可以判断①错误；由相似三角形的性质可得，由余角的性质可证，可以判断②正确； 由勾股定理可求. ，可以判断④错误； 分别求出、即可判断③，即可求解. 【详解】解：∵矩形和矩形，，， ， ， ， ， ，故①错误； 如图: 设与交于点， ， ， 又 ， ， ，故②正确； 如图，连接， ， ，， ， ，，， ， ，故④错误； 如图，过点作 于， 于， ， ∴四边形APGN是矩形， ， ， ， ， ， ，故③正确； 综上所述：正确的结论是②③. 故选A 二、填空题 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）图1是装了液体的长方体容器（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】53 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理，过点B作垂直于地面，垂足为E．由勾股定理求出，由平行线的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，最后即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为E． 在中，，， 则． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 则， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：53． 5．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，且，按以下步骤操作： 第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为．则线段的长为 ； 第二步，分别在，上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点F作于T，则四边形是矩形，连接，，设交于J．证明，求出，，设，根据，可得，解方程求出x，可得结论． 【详解】解：如图，过点F作于T，则四边形是矩形，连接，，设交于J． ∵四边形是矩形， ，， ∵四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 设， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以的速度向点运动，到达点停止．同时动点从点出发以的速度沿方向运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当以、、为顶点的三角形与相似时（两个三角形不重合），运动时间是 s． 【答案】或 或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意，设运动时间为，分别用含的式子表示出或，再根据相似三角形的判定，分类讨论：当时，；当时，；由此列式求解即可． 【详解】解：当点从运动， 点从的运动时间为，点从的运用时间为， 设运动时间为， ∴， ∵是钝角三角形， ∴， ∵是公共角， ∴当时，， ∴， 解得，，符合题意； 当时，， ∴， 解得，，符合题意； 当点从运动， 设运动时间为， ∴， ∵是钝角三角形， ∴， ∵是公共角， ∴当时，， ∴， 解得：，此时点与点重合，舍， 当时，， ∴， 解得：，符合题意， 综上所述，当运动时间是或或时，以为顶点的三角形与相似， 故答案为：或 或． 三、解答题 7．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在中，， ， ，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． 当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似? 【答案】当运动的时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．本题中两个三角形相似存在两种情况：当时，；当时，，对应角不同相似三角形的对应边也不相同，所以本题要分两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】解：如下图所示， 点运动的时间为，点运动的时间为， 当运动时间为时，，， 则有 中，，以，，为顶点的三角形中， 如果和以，，为顶点的三角形相似， 则有或， 当时，， ， ， 解得：； 当时，， ， ， 解得：； 综上所述当运动的时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图1，已知和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且． (1)观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，如图2，当的延长线恰好经过点时： ①的值为 ； ②与的夹角的度数为 度． (2)类比探究 如图3，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)拓展延伸 若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)仍然成立，见解析 (3)或 【分析】（1）①设与交于点O．证明得到；②根据相似三角形的性质得到，结合对顶角相等和三角形的内角和定理可得结论； （2）设与交于点O．证明得到， ，进而可得结论； （3）分两种情况，分别画出对应图形，利用勾股定理和（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：①如图，设与交于点O， 和均为等腰直角三角形， ， ， ，， ， ； ②， ，即， 又，， ， ， 即与的夹角的度数为45度； 故答案为：①，②； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，设与交于点O， 和均为等腰直角三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，与的夹角的度数为45度； （3）解：分两种情况： 当于点O时，如图： ，， ， ， ， ， ， 同（1）（2）可得， ； 当时，延长交于O，如图： 同理可得，， ， ， ； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 1 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