曲线双夹线问题专题讲义-2025届高三数学一轮专题复习

曲线双夹线问题 在刚考完的奉贤高三一模的21题（3）中考了一个双夹线的问题，类似的题在今年七宝高三期中考试的21题、去年松江一模中也出现过。所以今天就浅析一下这两道题的共同之处，顺便总结出一些类似的结论。 结论： ① ② 证明：参照七宝高三第三问证明方式 类型题： ①（2024-2025学年上海市七宝中学高三上期中考试21题）若斜率为 的两条平行直线 , 曲线 满足以下两条性质: (1) 分别与曲线 至少有两个切点; (II)曲线 上的所有点都在 之间或两条直线上. 则称直线 为曲线 的一对"双夹线",把 "双夹线"之问的距离称为曲线 在 " 方向上的宽度", 记为 . 已知曲线 . (1) 判断 时, 曲线 是否存在"双夹线", 并说明理由; (2) 若 , 试问: 和 足否足函数 的一对"双夹线"? 若是, 求此时 的值; 若不是, 请说明理由. (3) 对于任意的正实数 函数 是否都存在"双夹线" ? 若是, 求 的所有取值构成的集合;若不足, 请说明理由. 【解析】 (1) 时, , 取 符合题意,因此曲线 此时存在 "双夹线"; (2) 时, 和 对应斜率 .由 , 得 , 当 时, , 代入 , 得 ; 当 时, , 代入 , 得 ； 所以 和 是直线 与曲线 相切的两个切点. 同理可得 和 是直线 与曲线 相切的两个切点. 性质（I）成立； 又考虑对于任意的 , , 所以 .同理可得 对于任意的 也恒成立, 说明性质（II）也成立。 因此 和 是函数 的"双夹线", 此时 记为 和 之间的距离,即有 . （3）推测: 和 是曲线 的一对"双夹线" 先验证性质(1): 和 对应的斜率为 . 由 得 , 令 , 对应 . 即 与曲线 相切且有无数个切点 ; 同理, 与曲线 也相切且有无数个切点 ; 再验证性质(II): 不妨设 , 易得 , 得 时, . 综上: 和 是曲线 的一对"双夹线". 此时, . 下证唯一性： (1)先证斜率为 , 截距不等于 或 的任何一对平行线不是曲线 的"双夹线": 假设为 为曲线 的一对"双夹线" 中的一条, 由 得 , 令 ; 令 ; 不满足性质(I)，所以假设不成立。 假如斜率为 的两条平行直线 , 分别设为 为曲线 的一对"双夹线", 考虑性质(II),则有 . 即有 对于任意的 均成立. 即有 对于任意的 均成立. 取 , 得 已知 , 不妨考虑 , 则有 , 这与性质(II)矛盾.由(1)(2)得曲线 的"双夹线"存在且唯一,所以.构成的集合只有一个元素 ②（2023-2024学年松江高三一模21题）已知函数，记. （1）若，判断函数的单调性； （2）若，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若，则曲线上是否存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线互相重合?若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】 【解析】 (1) 因为 , 当且仅当在 时, 所以函数 在 上是增函数。 (2) 由题意得, , 于是 .令 , 则 , 令 , 则 , 所以 在 上是严格减函数, 于是 . 由于 , 于是 在 上是严格减函数, 所以 , 因此 , 即 . (3) 设 , 则曲线在 三点处的切线分别为直线 因为直线 互相重合, 所以 , 且 因为 , 所以 . (1)若 . 则 , 于是 , 因为 , 所以 , 与 三点互不重合矛盾. (2)若 中至少一个成立, 不妨设 成立, 则 , 若 , 则 , 矛盾, 舍去, 于是 , 所以满足要求的切线方程为 或 . 解法 2: 假设存在三个不同点 在曲线 上满足条伦则 , 且 互不相同。 曲线 在 三点处的切线方程分别为: 依题意, 有 由(1)得, . 情形 1: 若 , 代入(2)得, . 即 , 而 , 故 , 此时满足条件的切线方程为 . 情形 2: 若 , 代入(2)得, . 即 , 两式相减, 得 , 由于 , 故 , 此时 , 与 矛盾, 舍去. 情形 3: 若 , 代入(2)得, . 即 , 故 , 则 , 与 矛盾,舍去。 情形 4: 若 , 与情形 3 完全类似, 舍去. 综上, 满足条件的切线方程为 解法 3：假设存在三个不同点 在曲线 上满足条件,则 , 且 互不相同。 曲线 在 辰点处的切线方程分别为: 由(1)得, , 由(2), 令 , 则 , 即有 , 平方, 得 由于 互不相同, 即 ,相减, 得 , 于是 , 则 , 此时满足条件的切线方程为 . 同类题： ①（2024-2025学年奉贤高三一模21题）若函数的图像上存在个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该西数具有点切线性质． （1）判断函数的奇偶性并写出它的一条2点切线方程（无需理由）； （2）设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； （3）设，证明：对任意的，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 第三问的图如下： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$