9.2.1向量的加减法 习题课课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第9章 平面向量 9.2 向量运算 9.2.1 向量的加减法 1 题型分析 题型一 向量的加、减法 1.（2024四川成都外国语学校期中）化简 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 （向量的加法 运算满足加法交换律、结合律）. . . 2 2.（2024湖南株洲十三中月考,多选）下列各式中能化简为 的是( ) ACD A. B. C. D. 【解析】 ； ； ； . 3 题型二 三角形（平行四边形）法则的应用 3.（2024江苏南通海安期中）在中，为的中点，记， ，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 由题意作图如下, 则 . 4 4.（2024湖北咸宁阶段练习）如图，在平行四边形中，为对角线, 的交点， 下列计算不正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 根据向量加法的平行四边形法则知 ,故A正确； 根据向量减法的三角形法则知 （共起点,连终点,指被减）,故B正确； ,故C错误； ,故D正确. . . 5 5.（2024江苏常熟中学月考）如图，向量， ， ，则向量 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 依题意,得 . 由题图可知,又 ,所以 . 6 6.（2024陕西咸阳实验中学月考）设表示“向东走”，表示“向南走 ”，则 所表示的意义为( ) C A.向东南方向走 B.向东南方向走 C.向西南方向走 D.向西南方向走 【解析】 如图,分别作出, , 则利用向量减法可知 . 易知为等腰直角三角形,且 , , 所以所表示的意义为“向西南方向走 ”. 7 7.（2024山东济宁期中）如图，按下列要求作答. （1） 以为起点，作出 ； 【答案】 将,的起点同时平移到点,利用平行四边形法则作出 ,如图所示: 8 （2） 以为起点，作出 ； 【答案】 先将共线向量,的起点同时平移到 点,计算出,再平移向量,使的起点与 点 重合,最后利用平行四边形法则即可作出 ,如图所示: 9 （3） 若图中小正方形边长为1，求， . 【答案】 根据作出的向量,利用勾股定理可知, ； 由共线向量的加法运算可知 . 10 小知识： 向量加法的三角形法则与平行四边形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 （1）首尾相接; （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形 是平行四边形法则作出 图形的一半 平行四边形法则 （1）共起点; （2）仅适用于不共线的两个向量求和 11 题型三 向量和与差的模 题组一 8.（2024江苏海门中学月考）若在中，，，且 ， ，则 的形状是( ) D A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 【解析】 由于,, , 则,即 , 所以 为等腰直角三角形. 几何法.如图,中, ,所以三角形的三边之 比为,所以 为等腰直角三角形. 12 9.（2024江苏扬州中学期中）如图，在菱形中， ， ，则 _____. 13 【解析】 如图所示,设菱形对角线交点为, . 因为 ,所以 ,又 , 所以 为等边三角形. 又（菱形的性质）, , 所以 . 在中, , 所以 . . . 14 10.如图所示，已知正方形的边长为1，，， ，求: （1） ； 【答案】 由已知得 . , 延长到,使 ,如图所示, 则,且 . . 15 （2） . 【答案】 如图，作,易知,,三点共线，连接 , ,则 , 而 , ,且 . . 16 题组二 向量形式的绝对值三角不等式 11.（2024北京通州区期末）对于任意两个向量和 ，下列不等式中正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 由 可知C正确. 当,,且,同向时, ； 当,,且,反向时, ； 根据向量加法的平行四边形法则,得 ； 根据向量减法的三角形法则,得 . 17 12.（2024江苏苏州苏苑高级中学月考）已知向量,满足,，则 的 取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】 向量,满足,,则,当且仅当, 同向时取 等号； ,当且仅当,反向时取等号,所以的取值范围是 . 18 13.（2024山东枣庄三中阶段练习）设单位向量，，，若，则 的取 值范围为( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为,, 为单位向量, 所以,当且仅当,, 方向都相同时,等号成立. 作,, , 当 时,如图所示: 19 以,为邻边作平行四边形,则该四边形为菱形,且 , 所以为等边三角形,且 , 又因为,,由图可知, , 故（其中两个向量的和与另一个向量方向相反,大小相等） . 综上所述, . . . 20 能力提升 1.（2024江苏南京一中月考）已知向量,满足，则与 的夹角 为( ) A A. B. C. D. 【解析】 设,,以,为邻边作平行四边形 ,如图所示, 则有, , 由,得四边形为菱形, , 则与的夹角为 . 21 2.如图所示，，分别是的边 上的两点，且 ，则化简 的结果为( ) A A. B. C. D. 【解析】 , , , . 22 3.（2024福建部分学校月考联考）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头 出发 航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度 的大小为.设和的夹角为，北岸的点在 的正北方 向，游船正好到达处时， ( ) D A. B. C. D. 【解析】 如图,设船的实际速度为,因为和的夹角为, 北岸的点在A的正北方向,游船正好到达处,所以 , 所以 . 23 4.［大招2］（2024广东东莞中学月考）已知向量,满足，，则 的 取值范围为( ) D A. B. C. D. ,当与不共线时,，， 可看成三角形的三边所在 向量,如图所示,根据三角形的三边关系确定所求向量模的范围. 24 【解析】 因为 , 所以,当且仅当,（可把 看成一个整体, 作为三角式的其中一个量, 是三角式中的另一个量）反向时,等号成立； ,当且仅当, 同向时,等号成立. 所以的取值范围为 . . . 25 5.（2024江苏扬州一中质量评估,多选）下列结果恒为零向量的是( ) BCD A. B. C. D. 【解析】 ； ； ； . 26 6.（2024湖南长沙一中开学考试）如图,已知边长为的正三角形的中心为 ,正方 形的边长为,且线段与相交于点,则 ___. 2 27 【解析】 设中点为，连接，，，延长到点 ，使 ，连接， ，如图. 因为在正方形中，与相交于点，所以是 的中点， 所以 ，则 （考虑到与 既不共起点， 也不在同一个三角形中，可考虑用加法法则运算转化后计算其模）， 在正三角形中，，为 的中心， 所以，又 ， 所以 . 28 7.如图,已知河水自西向东流速为 ,设某人在静水中游泳的速度为,在流水 中实际速度为 . 【答案】 设,, , 由题意知, , 根据向量加法的平行四边形法则得四边形 为平行四边形. （1） 若此人朝正南方向游去,且 ,求他实际前进方向与水流方向的夹角 和 的大小； 由此人朝正南方向游去得四边形为矩形,且 ,如图所示, 29 （1） 若此人朝正南方向游去,且 ,求他实际前进方向与水流方向的夹角 和 的大小； 30 则在中, , ,又,所以 . 31 （2） 若此人实际前进方向与水流方向垂直,且 ,求他游泳的方向与水流方 向的夹角 和 的大小. 【答案】 由题意知,且, ,如图所示, 则在中, , ,又,所以,则 . 32 8.（2024江苏省启东中学期中）一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进 ,然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度 ,继续按直线方向前进 ,再将行驶方向按 逆时针方向旋转角度 ,然后继续按直线方向前进 按此方法继续操作下去. 【答案】 记出发点为,对于 边形 ,可知 . （1） 作图说明当 时,最少操作几次可使赛车的位移为 ； 当 （注意每次旋转的角度是原来行进的路线与旋转之后 行进路线的夹角）时,如图1,赛车行进路线构成一个正八边形,最少操作8次 可使赛车的位移为,赛车所行路程是 . . . 33 （2） 按此方法操作,试写出几种赛车能回到出发点的操作. 【答案】 当 时,如图2,赛车行进路线构成一个正三角形,最少操作3次可使赛车 回到出发点,赛车所行路程为 ； 当 时,如图3,赛车行进路线构成一个正方形,最少操作4次可使赛车回到出发点,赛 车所行路程为 ； 当 时,如图4,赛车行进路线构成一个正六边形,最少 操作6次可使赛车回到出发点,赛车所行路程为 . （答案不唯一） 提醒： 当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时,各向量的和为0,运用此结论也可以判断一 个图形是否为封闭图形. 34 情境素养 1. （2024河北部分高中模拟）对于平面内 个起点相同的单位向量 ,若每个向量与其相邻向量的夹角均为,则 与 的位置关系为( ) B A.垂直 B.反向平行 C.同向平行 D.无法确定 【解析】 根据题意可得,共有个单位向量,且每一个单位向量都有一个相反向量,和为 , 则有,所以,所以与 的位置关系为 反向平行. 35 2. （2024福建厦门杏南中学月考）已知向量,, ,满足 ,记的最大值为,最小值为,则 ( ) A A. B.2 C. D.1 【解析】 在中,设,,则 , 因为,即 （识别出三个向量所对应的线段是同 一个三角形的三边）,所以 为等边三角形. . . 36 以,为邻边作平行四边形,设,交于点 ,如图, 可得 , , 由,取的起点为 , 可知的终点C的轨迹是以点D为圆心, 为半径的圆, 当点C为的延长线与圆C的交点 时,取最大值， ； 当点C为线段与圆C的交点时, 取最小值， . 所以 . 37 $$