第一章 因式分解 知识梳理+题型专练2024-2025学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

因式分解 【知识梳理】 【题型专练】 一、提公因式法 1. 把下列各式分解因式： 2. 先分解因式，再求值。 3. 计算：。 二、公式法——平方差公式 1. 下列所向是能否用平方差公式分解因式？为什么？ 2. 分解因式： 3. 已知x+2y=3，x2-4y2=-15，求x-2y的值和x， y的值。 三、公式法——完全平方公式 1. 下列多项式是不是完全平方式？为什么？ 2. 分解因式： 3. 因式分解： 四、十字相乘法 3x2﹣9x﹣30 2x2+6xy+4y2 x2+2xy﹣3y2 4x2﹣11xy﹣3y2 ax4﹣14ax2﹣32a x4﹣5x2y2﹣36y4 a4b﹣5a2b+4b （a2+6a）2+14（a2+6a）+45 （x2+x）2﹣3（x2+x）+2 （x2+x）2﹣8（x2+x）+12 （4x﹣x2）2+8（x2﹣4x）+16 （x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72 （x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8 （m+1）（m﹣9）+8m （x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20 （x2+x+1）（x2+x+2）﹣12 （x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8 （x2+4x）2﹣2（x2+4x）﹣15 （m2﹣5m+2）（m2﹣5m﹣4）﹣16 五、分组分解法 x2﹣4y2﹣2x+1 2x2y﹣6xy+2x2﹣6x 4y2+25x2﹣1﹣4y4 9﹣4x2+4xy﹣y2 2x4﹣x3﹣13x2﹣x﹣15 a2（b﹣c）+b2（c﹣a）+c2（a﹣b） x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2 ﹣2mnx2+m2x2+n2x2﹣4（m﹣n）2 2a2﹣6bc+4ab﹣3ac a3﹣a+2a2b+ab2 x2﹣4xy﹣4+4y2 x3+2x2y﹣4x﹣8y 4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy ﹣10xy2+y3+25x2y a3+a2b﹣ab2﹣b3 m2﹣n2+6n﹣9 （x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y xy+y2+x﹣y﹣2 a2﹣2ab+b2﹣3a+3b+2 x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2 【综合练习】 1. 计算(2+-2)的结果是(　　) A.1　　　　B.0　　　　C.-7　　　　D.-1 2. 若二次三项式4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m的值可能是(　　) A.±6　　　　B.12　　　　C.6　　　　D.±12 3. 因式分解：3x2+3y2-6xy=　　　 　.  4. 把多项式mn2-4m分解因式的结果为　　　 　　　.  5. 若a=b+2，则代数式a2-2ab+b2的值为　　 　　.  6. 已知a=1+，则代数式a2-b2的值为　　 　　.  7. 若3x2-mx+n进行因式分解的结果为(3x+2)(x-1)，则mn=　　 　　.  8. 如图，长与宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为　　 　　.  9. 若a-b=-2，2b+c=3，则2b(b-a)-c(a-b)的值为　　　 　.  10. 已知x2-x=2022，则代数式(x+1)(x-1)+x(x-2)=　 　　.  11. 用合适的方法因式分解。 12. 先化简，再求值:(x+y)2+(x+y)(x-y)-2x2，其中x=. 13. 发现　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 验证　如，(2+1)2+(2-1)2=10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和. 探究　设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确. 14. [2023春·江门市期中]阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果关于某字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。例如：因式分解2＋2－3。 原式＝2＋2－3＝2＋2＋1－1－3＝(＋1)2－4＝(＋1＋2)(＋1－2)＝(＋3)(－1)。 【材料2】因式分解：(＋)2＋2(＋)＋1。 解：把＋看成一个整体，令＋＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2，再将A＝＋重新代入，得原式＝(＋＋1)2。 上述解题过程用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法。 请你解答下列问题： （1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：2－6＋8； （2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：(－)2－4(－)＋4； （3）当，，分别为△ABC的三边，且满足2＋2＋2－4－6－4＋17＝0时，判断△ABC的形状并说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 因式分解·知识梳理 一、因式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式，因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式。 2、 提公因式法 1. 公因式 （1）定义：多项式的各项都含有相同的因式。我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如就是多项式各项的公因式。 （2）确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂。 2. 提公因式法 （1）定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫做提公因式法。 （2）具体方法： ①当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 ②如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数。在提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号。 三、公式法 定义：由因式分解与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式因式分解。通常我们把运用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法。 平方差公式： 完全平方公式： 注意：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，再进一步因式分解。 四、十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 五、因式分解的一般步骤： 1. 如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； 2. 如果各项没有公因式那就尝试用公式法； 3. 如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解。 4. 结果要彻底，即分解到不能再分解为止。 六、因式分解法的应用 1. 利用因式分解解决求值问题。 2. 利用因式分解解决证明问题。 3. 利用因式分解简化计算问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$