3.1.1椭圆的标准方程导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1　椭圆及其标准方程 [课标解读]　1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题． 一、课前回顾 1. 对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ 2. 坐标法求动点轨迹问题得基本步骤: ① ② ③ ④ ⑤ 二、探究过程 问题1 如果把细绳的两端分别固定在图板的两点, ，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 追问 1 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 追问2 当动点到两定点间距离和与两定点间距离的大小关系发生变化时动点的轨迹会发生什么变化？ 1 当动点到两定点间距离和大于两定点间距离时，动点轨迹为__________ 2 当动点到两定点间距离和等于两定点间距离时，动点轨迹为__________ 追问 3 动点到两定点间距离和能小于两定点间的距离吗？ 状元随笔　(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为________； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为________； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹________． 【概念辨析】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆. (　　) (2)已知F1(-5,0),F2(5,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于5的点的轨迹是椭圆. (　　) (3)已知F1(-6,0),F2(6,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于16的点的轨迹是椭圆 (　　) 三、概念形成 要点一　椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的________等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的________，两个焦点间的距离叫做椭圆的________，焦距的________称为半焦距． 要点二　椭圆的标准方程 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁” 追问1 椭圆是否具有某种对称性？你能猜想出椭圆的对称轴吗？ 追问2 如何建系能使所得椭圆的方程形式简单？ 如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的动点M的轨迹方程。并在图中标出 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 图形 焦点 坐标 ________________ __________________ a，b，c 的关系 ________________ 状元随笔　椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大； 椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大． 因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“分母哪个大，焦点就在哪一个坐标轴上 ”． 1. 设P是椭圆+=1上的点，若F1 ,F2 椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|=(　　) A.4 B.5 C.8 D.10 2.椭圆+=1的焦点坐标是 (　　) A.() B. (0,) C. () D. () 3（多选题）与椭圆9+4有相同焦距，且满足2b=4 的椭圆方程是(　　) A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1 四、典例分析 题型 1　求椭圆的标准方程 例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0)，且经过点()，求它的标准方程. 方法归纳 求椭圆标准方程的一般步骤 （1）、定位置：先确认焦点在x轴还是在y轴上； （2）、设方程：设出椭圆的标准方程 或 （3）、找关系： 1 定义法：由 和已知求 ② 待定系数法：根据已知建立关于, , 的方程组 （4）、得结论：根据所求结果得出椭圆的标准方程； 巩固训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程． 1.a=4，b=1，焦点在x轴上； 2.a=4，c=焦点在y轴上； 3.a+b=10，c=2 五、知识小结 1.椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫半焦距。 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 图形 ( ( c ,0) 、 ( c ,0) ) ( (0, c ) 、 (0, c ) ) -焦点 坐标 a，b，c 的关系 ( a 2 = b 2 + c 2 ) a2 上为x2,焦点就在x轴上; a2 上为y2,焦点就在y轴上. 2．求椭圆标准方程的步骤是什么？你能说说吗？ （1）、定位置：先确认焦点在x轴还是在y轴上； （2）、设方程：设出椭圆的标准方程 或 （3）、找关系： ① 定义法：由 和已知求 ② 待定系数法：根据已知建立关于, , 的方程组 （4）、得结论：根据所求结果得出椭圆的标准方程； 六、作业 1.课本第109页练习：1、3、4 2.《学法》第77-78页：“新知梳理”“及时自测” 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$