3.1.1椭圆标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 双曲线 抛物线 椭圆 圆 圆锥曲线 1. 对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝？ 2.坐标法求动点轨迹问题得基本步骤 ①建立适当的平面直角坐标系. （建系） ②寻找动点满足的几何关系. （找几何条件） ③将几何问题用方程表示. （几何条件代数化） ④代数化简、变形，得到轨迹方程. （简化、整理得轨迹方程） ⑤把轨迹方程“翻译”成轨迹. （将“代数结果”转化成“几何结论”） 00 复习旧知 一、生活中的椭圆 01 椭圆的定义 问题1 如果把细绳的两端分别固定在图板的两点, ，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 01 椭圆的定义 追问1 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 移动的笔尖（动点）到两定点, 的距离和为绳长（定长） 追问2 当动点到两定点间距离和与两定点间距离的大小关系发生变化时动点的轨迹会发生什么变化？ ①当动点到两定点间距离和大于两定点间距离时， ②当动点到两定点间距离和等于两定点间距离时， 追问3 动点到两定点间距离和能小于两定点间的距离吗？ 不能，若小于则不存在动点轨迹. 动点轨迹为椭圆. 动点轨迹为线段. 01 椭圆的定义 【概念辨析】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆. (　　) (2)已知F1(-5,0),F2(5,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于5的点的轨迹是椭圆. (　　) (3)已知F1(-6,0),F2(6,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于16的点的轨迹是椭圆 (　　) × × √ 焦点 注：1. M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数； 2. 将常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c； 2a>2c 2a=2c 2a<2c F1 F2 不存在 01 椭圆的定义 文字语言：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的 _____，两焦点的距离叫做椭圆的__________.焦距的____称为半焦距 焦距|F1F2| 一半 ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁” O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y 02 椭圆的标准方程 追问1 椭圆是否具有某种对称性？你能猜想出椭圆的对称轴吗？ 所在直线 2.线段的垂直平分线 追问2 如何建系能使所得椭圆的方程形式简单？ 以经过椭圆两焦点的直线为轴， 线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系. O 02 椭圆的标准方程 |MF1|＋|MF2|＝2a 如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的动点M的轨迹方程。 移项 两边平方 02 椭圆的标准方程 (-c,0) (c,0) 解：设M（x，y） (-c,0) (c,0) 令a2-c2=b2 b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2： (a>b>0) 两边平方 02 椭圆的标准方程 表示焦点在x轴上的椭圆标准方程 焦点在y轴上的椭圆标准方程? (a>b>0) 焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 02 椭圆的标准方程 (-c,0) (c,0) a c b 之间的关系: 定义 图形 方程 焦点 a、b、c之间 的关系 |MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) a2=b2+c2 a2 上为x2,焦点就在x轴上; a2 上为y2,焦点就在y轴上. 02 椭圆的标准方程 D C 02 椭圆的标准方程 AB 【例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0)，且经过点 ，求它的标准方程. 02 椭圆的标准方程 【例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0)，且经过点 ，求它的标准方程. 02 椭圆的标准方程 方法归纳：求椭圆标准方程的一般步骤 02 椭圆的标准方程 1、定位置：先确认焦点在x轴还是在y轴上； 2、设方程：设出椭圆的标准方程 或 3、找关系： 4、得结论：根据所求结果得出椭圆的标准方程； ①定义法：由 已知求 ②待定系数法：根据已知建立关于, , 的方程组 02 椭圆的标准方程 练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程： 1.a=4，b=1，焦点在x轴上； 2.a=4，c=焦点在y轴上； 3.a+b=10，c=2 + =1 +=1或+=1 +=1 【例2】在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？   分析：点P在圆x2+y2=4上运动，点P的运动引起点M运动。 我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式， 并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程。 解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为（x0，y0），则点D的坐标为（x0，0）. 由点M是线段PD的中点，得： x=x0，y= ∵点P(x0，y0)在圆x2+y2=4上 ∴ x0 2+y0 2=4. 把x0=x， y0=2y代入方程中，得： x2+4y2=4 即 +y2=1 ∴点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆 03 与椭圆相关的轨迹问题 练习 设A,B坐标分别为(-5,0)，(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜 率之积为﹣4，求点M的轨迹方程. A(-5,0) B(5,0) x y O M 03 与椭圆相关的轨迹问题 解：设点M坐标为（x，y） ∵A（-5,0） ∴ 同理， 由已知， =﹣4即× =﹣4 化简得点M的轨迹方程为+=1 ∴点M的轨迹是除去（±5,0）两点的椭圆 04 小结 椭圆的定义 定义 图形 方程 焦点 a、b、c之间 的关系 |MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) a2=b2+c2 a2 上为x2,焦点就在x轴上; a2 上为y2,焦点就在y轴上. 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫半焦距。 小结2：求椭圆标准方程的步骤是什么？你能说说吗？ 1、定位置：先确认焦点在x轴还是在y轴上； 2、设方程：设出椭圆的标准方程 或 3、找关系： 4、得结论：根据所求结果得出椭圆的标准方程； 04 小结 求椭圆的标准方程步骤 ①定义法：由 已知求 ②待定系数法：根据已知建立关于, , 的方程组 05 作业 1.课本第109页练习：1、3、4 2.《学法》第77-78页：“新知梳理”“及时自测” Lavf57.62.100 2.椭圆+=1的焦点坐标是 (　　) A.() B. (0,) C. () D. () 1. 设P是椭圆+=1上的点，若F1 ,F2 椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|=(　　) A.4 B.5 C.8 D.10 3（多选题）与椭圆9+4有相同焦距，且满足2b=4 的椭圆方程是(　　) A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1 $$