专题3.1 函数的概念（考点清单，3个考点梳理+12题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期人教B版

专题3.1 函数的概念 【清单01】函数的概念 1.给定是两个非空的实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A x称为自变量，y称为因变量. 2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）； 3.值域：所有函数值组成的集合{y| y＝f(x)，x∈A }．显然，值域是集合B的子集． 4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等） 5.拓广：复合函数的认识，函数是由f(u)),u(x)=x+1复合而成的复合函数. 【清单02】函数的表示方法 1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 【清单03】分段函数 分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 3.提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 【考点题型一】函数关系及相等函数的判断 【例1】（多选）（24-25高一上·海南儋州·阶段练习）有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A．与表示同一函数 B．函数的图像与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【变式1-1】（24-25高一上·贵州·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（24-25高一上·广东·期中）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．，与， 【变式1-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列各组函数中，与是相同函数的是（为自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（多选）（24-25高一上·河南许昌·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点至多有1个 C．若，则 D．关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是 【考点题型二】求函数值 【例2】（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）已知函数，则 ． 【变式2-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，且对，，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2-2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）函数满足对任意的实数，，均有，且，则（   ） A．1014 B．1012 C．2024 D．2025 【变式2-3】（多选）（20-21高一上·福建泉州·期中）定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25高一上·四川·期中）已知函数. (1)求的值; (2)计算和，猜想的值并加以证明. 【考点题型三】求分段函数值 【例3】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）已知，则 【变式3-1】（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 【变式3-2】（24-25高一上·甘肃·期中）已知函数则的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．0 【变式3-3】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25高一上·广西玉林·期中）已知函数，则 . 【考点题型四】求具体函数的定义域 【例4】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·浙江·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·北京房山·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知函数的定义域为 . 【考点题型五】求抽象（复合）函数的定义域 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域． 【变式5-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【变式5-3】（24-25高一上·天津·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是 ． 【变式5-4】（2024高一·全国·专题练习）已知，函数的定义域是，求的定义域. 【考点题型六】常见函数的值域 【例6】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）（24-25高一上·四川攀枝花·阶段练习）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，那么函数的值域是 ． 【变式6-3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是 . 【变式6-4】（23-24高一下·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； 【考点题型七】求函数的解析式 【例7】（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【变式7-1】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； 【变式7-2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）求下列函数的解析式. (1)已知函数，求； (2)已知是一次函数，，求. 【变式7-3】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【变式7-4】（24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数，且． (1)写出函数的解析式； (2)求的值； (3)若，求实数的值． 【考点题型八】由函数的定义域、值域求参数 【例8】（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【变式8-1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，的值域为，则的取值范围是 ． 【变式8-4】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【考点题型九】由函数值求自变量或参数 【例9】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求实数的值． 【变式9-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，，则实数（   ） A．1 B．-1 C． D．0或1 【变式9-2】（24-25高一上·广东·期中）函数满足，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式9-3】（24-25高一上·北京通州·期中）已知函数，当时，则的值为 . 【变式9-4】（23-24高一上·甘肃武威·期中）已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值；当时，求的值． 【考点题型十】由分段函数值求自变量或参数 【例10】（24-25高一上·北京东城·阶段练习）已知函数 ①若，则x的值是 ②若且，则的取值范围是 【变式10-1】（多选）（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数，若，则x的取值可以是（   ） A．3 B．20 C． D．5 【变式10-2】（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函数若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式10-3】（24-25高一上·浙江温州·期中）设，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-4】（2024高二上·北京·学业考试）已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【考点题型十一】分段函数的性质及其应用 【例11】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知函数 (1)的值； (2)若的值; (3)若的取值范围. 【变式11-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 【变式11-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数若实数满足且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11-4】（多选）（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 【考点题型十二】分段函数的最值问题 【例12】（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【变式12-1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为 ． 【变式12-3】（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【变式12-4】（23-24高一上·云南曲靖·期中）设. （1）当时，的最小值是 ； （2）若是的最小值，则a的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 函数的概念 【清单01】函数的概念 1.给定是两个非空的实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A x称为自变量，y称为因变量. 2.定义域：自变量的取值范围（即集合A）； 3.值域：所有函数值组成的集合{y| y＝f(x)，x∈A }．显然，值域是集合B的子集． 4.相同的函数（同一函数）：两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的一个值，两个函数表达式表示得到的函数值相等） 5.拓广：复合函数的认识，函数是由f(u)),u(x)=x+1复合而成的复合函数. 【清单02】函数的表示方法 1.表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 【清单03】分段函数 分段函数：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 3.提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 【考点题型一】函数关系及相等函数的判断 【例1】（多选）（24-25高一上·海南儋州·阶段练习）有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A．与表示同一函数 B．函数的图像与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【知识点】求函数值、抽象函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据定义域和对应关系可判断AC；根据函数定义可判断B；由抽象函数的定义域的求法求得定义域可判断D. 【详解】A 选项：定义域为，定义域为，A选项错误； B选项：因为函数的定义可知当时，要么没有定义，要么存在唯一确定的值， 所以函数的图像与直线的交点最多有1个，B选项正确； C选项：和定义域均为且解析式相同，所以是同一个函数，C选项正确； D选项：因为函数的定义域为，所以时，令，即，所以定义域为. 故选：BCD. 【变式1-1】（24-25高一上·贵州·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数关系的判断、函数图像的识别 【分析】根据题意，利用函数的基本概念，结合图象逐个分析即可. 【详解】A选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，不合题意； B选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域为，符合题意； C选项，此图表示的不是函数图象，不符合题意； D选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域不是，不符合题意. 故选：B 【变式1-2】（24-25高一上·广东·期中）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．，与， 【答案】D 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】分别判断函数的定义域与对应法则，即可作出判断． 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数； 对于B，与对应法则不同，故不是同一函数； 对于C，由于的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数； 对于D，与，定义域与对应法则均相同，故是同一函数． 故选：D 【变式1-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列各组函数中，与是相同函数的是（为自然对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据两个函数相等的条件，定义域必须相同即可判断． 【详解】对于A，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数； 对于B，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数； 对于C，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数； 对于D，和定义域均为，，所以两个函数为相同函数. 故选：D. 【变式1-4】（多选）（24-25高一上·河南许昌·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点至多有1个 C．若，则 D．关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是 【答案】BC 【知识点】求函数值、判断两个函数是否相等、解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据同一函数的概念即可判断A，根据函数的定义即可判断B，直接计算即可判断C，结合一元二次方程的性质，利用判别式和韦达定理即可判断D． 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，根据函数的定义可知， 当的定义域中含有1时，函数的图象与直线有一个交点； 当的定义域中不含1时，函数的图象与直线没有交点． 综上：函数的图象与直线的交点至多有1个，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，设方程的两根为， 关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是 ，解得，故D错误． 故选：BC． 【考点题型二】求函数值 【例2】（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】求函数值 【分析】由，可知，则，进而可得解. 【详解】由已知，则， 则， 设， 则， 即， 则， 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，且对，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求函数值 【分析】通过赋值，构造方程即可求解. 【详解】分别令和得到： ，解得：， 故选：B 【变式2-2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）函数满足对任意的实数，，均有，且，则（   ） A．1014 B．1012 C．2024 D．2025 【答案】B 【知识点】求函数值 【分析】根据给定条件，利用赋值法可得，由此计算得解. 【详解】依题意，对于，取，得，而， 因此，所以. 故选：B 【变式2-3】（多选）（20-21高一上·福建泉州·期中）定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】求函数值 【分析】利用赋值法逐项求解判断即可. 【详解】令，得，因为， 所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C错误； ，， ，， 所以，故D正确. 故选：AD 【变式2-4】（24-25高一上·四川·期中）已知函数. (1)求的值; (2)计算和，猜想的值并加以证明. 【答案】(1) (2)，，证明见解析 【知识点】求函数值 【分析】（1）先求，再求即可； （2）先计算和，再猜想的值，并代入计算的值即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以， ， 猜想 证明： 【考点题型三】求分段函数值 【例3】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）已知，则 【答案】/ 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求函数值、图象法表示函数 【分析】根据图象先计算出的值，然后再计算出的值. 【详解】由图象可知，所以， 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·甘肃·期中）已知函数则的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．0 【答案】B 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案. 【详解】因为所以， 所以. 故选：B 【变式3-3】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】利用分段函数求函数值即可得答案. 【详解】由，又， 因此可得. 故选：C. 【变式3-4】（24-25高一上·广西玉林·期中）已知函数，则 . 【答案】/ 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【分析】根据分段函数解析式直接计算即可. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 【考点题型四】求具体函数的定义域 【例4】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域 【分析】求使式子有意义的实数的集合即可. 【详解】要是函数式子有意义，则需要，解之可得， 函数的定义域为. 故选：C 【变式4-1】（24-25高一上·浙江·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据分式、根式以及零次方的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一上·北京房山·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据题意，列出使得函数有意义的不等式，求解即可. 【详解】要使得函数有意义，则，解得，故定义域为. 故选：C. 【变式4-3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得， 故定义域为. 故选：C 【变式4-4】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由解析式列出不等式求解即可. 【详解】由题意得，即， 即，解得， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 【考点题型五】求抽象（复合）函数的定义域 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2） ． 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域的整体性代换求解即可. 【详解】（1）因为函数中的相当于函数中的， 所以，所以， 所以所以 的定义域为 （2）因为 的定义域为， 即，所以， 所以的定义域为 即所以， 所以的定义域为． 【变式5-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数的定义域即可得到答案. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，故， 所以函数的定义域为. 由，得. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据题意得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，得，则. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一上·天津·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】先由抽象函数的定义域的求法求出的定义域，然后求解即可. 【详解】函数的定义域是， 所以，于是， 所以的定义域为， 由，解得， 故的定义域为， 故答案为： 【变式5-4】（2024高一·全国·专题练习）已知，函数的定义域是，求的定义域. 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】由求和的范围，然后结合解不等式组即可求解. 【详解】由已知得，即， 所以函数的定义域由确定. 因为，所以，所以函数的定义域是. 【考点题型六】常见函数的值域 【例6】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最小值； 另一方面，因为，，所以，即； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值； 另一方面因为，令，则，所以， 所以，所以，即； 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 【变式6-1】（多选）（24-25高一上·四川攀枝花·阶段练习）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解． 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 【变式6-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，那么函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、函数新定义 【分析】根据取整函数的定义求函数的值域. 【详解】设，其中，为的小数部分，则. 所以. 所以函数的值域为： 故答案为： 【变式6-3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数新定义 【分析】令，利用判别式法可得的取值范围，即可得的值域，结合所给定义即可得的值域. 【详解】令，由，则有， 当时，有； 当时，则有， 解得，又，即或； 综上可得，则， 故的值域是. 故答案为：. 【变式6-4】（23-24高一下·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】（1）根据函数的解析式以及x的取值，即可求得答案； （2）根据函数解析式结合根式的性质，即可得答案； （3）利用二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）由于，且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，当时，， 所以函数的值域为． 【考点题型七】求函数的解析式 【例7】（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1）或；（2）；（3），. 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解； （2）设，利用换元法求解析式即可； （3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可. 【详解】（1）因为为一次函数，可设. 所以. 所以，解得或. 所以或. （2）设，则，，即， 所以， 所以． （3）由①， 用代替，得②， 得：， 即，. 令，则，. 则：，. 所以，. 【变式7-1】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； 【答案】（1）或；（2） 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设，则. ，解得，或， 或. （2）令，则，， 即. 【变式7-2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）求下列函数的解析式. (1)已知函数，求； (2)已知是一次函数，，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）用换元法，设，代入已知式求解； （2）设，代入已知条件求得参数值得解． 【详解】（1）因为函数， 令则， 因为，所以， 所以. （2）设，由得，则， 又因为，所以，解得， 所以． 【变式7-3】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【答案】（1），（2），（3） 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）. 【详解】（1）设， 因为，所以，则. 由题意可知:， 对照系数可得，解得. 所以. （2）令，则， 所以. 所以. （3）设， 因为，所以， 对照系数可得，解得， 所以. 【变式7-4】（24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数，且． (1)写出函数的解析式； (2)求的值； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数解析式或求函数的值、求函数值 【分析】（1）根据已知的函数值求待定系数的值. （2）根据函数解析式求函数值. （3）分情况讨论求实数的值. 【详解】（1）由于，故，解得， 所以. （2）， . （3）当时，，解得，舍去. 当时，，解得或，其中不符合题意，舍去. 综上： 【考点题型八】由函数的定义域、值域求参数 【例8】（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】（1）由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合判别式运算求解； （2）由题意可知：的值域包含，分和两种情况，结合二次函数运算求解. 【详解】（1）由题意可知：在上恒成立， 当，即时，，即，不合题意； 当，即时，，解得， 综上所述：的取值范围是； （2）由题意可知：的值域包含， 当时，，因为，可得， 所以的值域为，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：实数的取值范围是． 【变式8-1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、求二次函数的值域或最值 【分析】分、及，结合函数值域定义与二次函数性质计算即可得解. 【详解】若函数的值域为， 则内函数有定义，故内函数大于或等于0， 当时，函数其定义域为，值域为符合题意； 当时，函数开口向上，若要满足题意则需，解得； 当时，函数开口向下，不可能符合题意； 综上所述：. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】对分情况，分段求函数的值域，再求并集，即可求解. 【详解】当时，函数在单调递减，， ，，，此时函数的值域是，不是，不符合条件， 当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是， 所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是， 所以函数的值域不是，不符合条件； 所以. 故选：D 【变式8-3】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】函数的表达式中含有绝对值，讨论去绝对值化成分段函数，结合函数图象求解. 【详解】由， 可得分段函数， 画出对应函数图象：   的值域为，且，, 所以的值能使得取得最小值； 由图可知：. 故答案为：. 【变式8-4】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、解不含参数的一元二次不等式、根据值域求参数的值或者范围 【分析】首先化简函数，根据，，列不等式求实数的取值范围. 【详解】，则有，， 由，， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【考点题型九】由函数值求自变量或参数 【例9】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)4；2 (2)或． 【知识点】求函数值、已知函数值求自变量或参数 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）根据，求解即可. 【详解】（1）由，可知，， 所以． （2）函数的定义域为， 因为，即， 解得或． 故或． 【变式9-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，，则实数（   ） A．1 B．-1 C． D．0或1 【答案】A 【知识点】已知函数值求自变量或参数、已知f（g（x））求解析式 【分析】根据给定条件，求出函数，再由给定函数值求出. 【详解】令，则，由，得， 于是， 由，得，，所以. 故选：A 【变式9-2】（24-25高一上·广东·期中）函数满足，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求出，代入即可求. 【详解】令，则， 所以，即， 所以， 解得. 故选：D 【变式9-3】（24-25高一上·北京通州·期中）已知函数，当时，则的值为 . 【答案】或 【知识点】已知函数值求自变量或参数 【分析】根据已知条件列方程，从而求得的值. 【详解】依题意，， 则， 解得或. 故答案为：或 【变式9-4】（23-24高一上·甘肃武威·期中）已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值；当时，求的值． 【答案】(1)不在 (2)当时，；当时，. 【知识点】求函数值、已知函数值求自变量或参数 【分析】（1）计算出的值，即可得出结论； （2）代值计算可得出的值，解方程，可得出的值. 【详解】（1）解：因为，所以，点不在的图象上. （2）解：当时，； 若，则，即，解得. 【考点题型十】由分段函数值求自变量或参数 【例10】（24-25高一上·北京东城·阶段练习）已知函数 ①若，则x的值是 ②若且，则的取值范围是 【答案】 或 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】（1）根据函数值求自变量的值. （2）设，根据函数解析式，把转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. 【详解】（1）若，由； 若，由； 所以或； （2）设， 由题意：，； ，，； 所以，， 所以. 故答案为：或；. 【变式10-1】（多选）（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数，若，则x的取值可以是（   ） A．3 B．20 C． D．5 【答案】CD 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据自变量分段求解即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 故选：CD 【变式10-2】（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函数若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BC 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数值 【分析】根据分段函数和已知等式求出的值，再求的值即得. 【详解】当时，由可得，不合题意； 当时，由可得； 当时，由可得或,故. 当时， ； 当时， . 故选：BC. 【变式10-3】（24-25高一上·浙江温州·期中）设，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论、计算即可. 【详解】当时，则， 由，得， 整理得，解得或0（舍去）； 当时，则， 由，得，无解. 综上，. 故选：B 【变式10-4】（2024高二上·北京·学业考试）已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案. 【详解】当时，，当时，， 故由，得， 故选：A 【考点题型十一】分段函数的性质及其应用 【例11】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知函数 (1)的值； (2)若的值; (3)若的取值范围. 【答案】(1)，，． (2)或； (3)或． 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、解分段函数不等式 【分析】（1）根据分段函数表达式求函数值； （2）由分段函数分段列方程求解； （3）由分段函数分段列不等式求解； 【详解】（1）由已知，； ，则； （2）时，，无解； 时，，解得或（舍去）； 时，，解得， 综上，或； （3）时，恒成立，∴， 时，，或，∴或； 时，，，所以， 综上，的取值范围是或． 【变式11-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 【答案】C 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】画出的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题. 【详解】根据题意，作出的图象如下所示：    数形结合可知，要使的值域为，且取得最大值， 则只需，即可，故的最大值为. 故选：C. 【变式11-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用 【分析】根据题意得出分段函数，分类解不等式即可． 【详解】由题意，， 当时，不等式，即，解得，又，则； 当时，不等式，即，解得或，又，则； 当时，不等式，即，解得，又，则； 综上，实数的取值范围是． 故选：D． 【变式11-3】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数若实数满足且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的性质及应用 【分析】先分析分段函数每一段的性质，得到分段函数的图像，根据，得到的取值，即可求得结果. 【详解】如图所示： 因为且， 从图像可得， 因为，所以，即， 因为，所以， 则， 所以的取值范围为， 故选：C. 【变式11-4】（多选）（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】ABD 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的性质及应用、已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的值域或最值 【分析】将代入，得，将代入，可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确. 【详解】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为， 故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 【考点题型十二】分段函数的最值问题 【例12】（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【答案】A 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 【变式12-1】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 【变式12-2】（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据函数的最小值列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于的最小值是，所以在上单调递减， 所以，此时单调递增， 则，整理得， 解得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【变式12-3】（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、函数图象的应用、分段函数的值域或最值 【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，或， 由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为； 当时，的值域为，此时， 由上可知，的最大值为， 故答案为：；. 【变式12-4】（23-24高一上·云南曲靖·期中）设. （1）当时，的最小值是 ； （2）若是的最小值，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合二次函数的性质与基本不等式可得最小值； （2）对a进行分类讨论，结合（1）的结论可得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，由二次函数的性质可知； 当时，，当且仅当时等号成立，即最小值为2， 因为，所以的最小值为； （2）①当时， 当，由二次函数的性质可知： ，不满足是的最小值，故舍去； ②当时， 当时，由二次函数的性质可知：， 由（1）知当时，的最小值为，若是的最小值， 则，解得. 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司35 学科网（北京）股份有限公司 $$