8.2 一元线性回归模型及其应用同步练习-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2　一元线性回归模型及其应用 A组 1.对于经验回归方程x+>0),下列说法错误的是(　　) A.当x增加一个单位时,的值平均增加个单位 B.点()一定在x+所表示的直线上 C.当x=t时,一定有y=t+ D.当x=t时,y的值近似为t+ 2.有一名同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计得到了一个热饮销售杯数与当天气温之间的线性关系,其经验回归方程为=-2.35x+155.47.如果某天气温为4 ℃,那么该小卖部大约能卖出热饮的杯数是(　　) A.140 B.146 C.151 D.164 3.设两个变量x和y之间具有线性相关关系,它们的样本相关系数是r,y关于x的经验回归直线的斜率是,纵轴上的截距是,那么必有(　　) A.与r的符号相同 B.与r的符号相同 C.与r的符号相反 D.与r的符号相反 4.有一散点图如图所示,在5个点中去掉D(3,10)后,下列说法正确的是(　　) A.残差平方和变小 B.相关系数r变小 C.决定系数R2变小 D.解释变量x与响应变量y的线性相关程度变弱 5.(多选题)3月15日,某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x(单位:元)和销售量y(单位:件)之间的一组数据如表所示: 售价x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 根据表中数据得到y关于x的回归直线方程是=-3.2x+,则下列说法正确的有(　　) A.=40 B.回归直线过点(10,8) C.当x=8.5时,y的估计值为12.8 D.点(10.5,6)处的随机误差为0.4 6.某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(单位:件)与平均气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温,其数据如表: 时间 二月上旬 二月中旬 二月下旬 三月上旬 旬平均气温x/℃ 3 8 12 17 旬销售量y/件 55 m 33 24 由表中数据算出线性回归方程x+中的=-2,样本中心点为(10,38). (1)表中数据m=　　　　　;  (2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃,据此估计,该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量为　.  7.某工厂1~8月份某种产品的产量x(单位:t)与成本y(单位:万元)的统计数据如下表. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 产量/t 5.6 6.0 6.1 6.4 7.0 7.5 8.0 8.2 成本/万元 130 136 143 149 157 172 183 188 (1)画出散点图; (2)判断y与x是否具有线性相关关系,若有,求出其经验回归方程. B组 1.由变量x与y相对应的一组数据(1,y1),(5,y2),(7,y3),(13,y4),(19,y5)得到的经验回归方程为=2x+45,则=(　　) A.135 B.90 C.67 D.63 2.某鞋厂为了研究初二学生的脚长x(单位:cm)和身高y(单位:cm)的关系,从初二某班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图(图略)可以看出y与x之间有线性相关关系,设其经验回归方程为x+.已知xi=225,yi=1 600,=4.该班某学生的脚长为24 cm,据此估计其身高为(　　) A.160 cm B.163 cm C.166 cm D.170 cm 3.(多选题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得经验回归方程,分别得到以下四个结论,其中一定不正确的结论是(　　) A.y与x负相关,且=2.347x-6.423 B.y与x负相关,且=-3.476x+5.648 C.y与x正相关,且=5.437x+8.493 D.y与x正相关,且=-4.326x-4.578 4.对具有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如表: x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表,利用最小二乘法得它们的经验回归方程为=10.5x+,据此模型预测,当x=10时,=　　　　　.  5.某市春节期间7家超市的广告费支出xi(单位:万元)和销售额yi(单位:万元)的数据如下: 超市 A B C D E F G 广告费支出xi 1 2 4 6 11 13 19 销售额yi 19 32 40 44 52 53 54 (1)若用线性回归模型拟合y与x的关系,求y关于x的经验回归方程. (2)若用对数回归模型拟合y与x的关系,可得经验回归方程=12ln x+22,经计算得出线性回归模型和对数回归模型的决定系数R2分别约为0.75和0.97,请用决定系数R2说明选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额. 参考数据及公式:=8,=42,xiyi=2 794,=708,,ln 2≈0.7. 6.假设关于某设备的使用年限x(单位:年)和支出的维修费用y(单位:万元),有如下表的统计资料: 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系,试求: (1)经验回归方程x+. (2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少? (3)计算残差平方和. (4)求决定系数R2并说明模型的拟合效果. 参考答案 A组 1答案:C 解析:经验回归方程是一个模拟函数,它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律,故有些散点不一定在经验回归直线上. 2答案:B 3答案:A 解析:因为>0时,两变量正相关,此时r>0; <0时,两变量负相关,此时r<0, 所以与r的符号相同. 4答案:A 解析:由题中散点图可知,只有D点偏离经验回归直线,去掉D点后,解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强,相关系数r变大,决定系数R2变大,残差平方和变小,故选A. 5答案:ABC 解析:由题意可知×(9+9.5+10+10.5+11)=10,×(11+10+8+6+5)=8,故回归直线过点(10,8),且8=-3.2×10+=40,故A,B正确. 当x=8.5时,=-3.2×8.5+40=12.8,故C正确. 点(10.5,6)处的随机误差为6-(-3.2×10.5+40)=-0.4,故D不正确,故选ABC. 6答案:(1)40　(2)14件 解析:(1)由=38,得m=40. (2)由,得=58,则=-2x+58, 当x=22时,=14, 故估计三月中旬的销售量为14件. 7.解:(1)散点图如图. (2)由图可看出,这些点基本分布在一条直线附近,可以认为x和y线性相关. ∵=6.85,=157.25, xiyi=8 764.5,=382.02, ∴≈22.169,≈157.25-22.169×6.85≈5.392. ∴经验回归方程为=22.169x+5.392. B组 1答案:D 解析:因为×(1+5+7+13+19)=9,=2+45,所以=2×9+45=63. 2答案:C 解析:=22.5,=160,=160-4×22.5=70,则经验回归方程为=4x+70,故该学生的身高为4×24+70=166(cm). 3答案:AD 解析:A结论错误,由经验回归方程知,此两变量的关系是正相关; B结论正确,经验回归方程符合负相关的特征; C结论正确,经验回归方程符合正相关的特征; D结论不正确,经验回归方程符合负相关的特征. 故选AD. 4答案:106.5 解析:根据表中数据,计算×(2+4+5+6+8)=5, ×(20+40+60+70+80)=54, 代入经验回归方程=10.5x+中,求得=54-10.5×5=1.5,故经验回归方程为=10.5x+1.5, 据此模型预测,当x=10时,=10.5×10+1.5=106.5. 5.解:(1)=1.7, =28.4, 故y关于x的经验回归方程是=1.7x+28.4. (2)因为0.75<0.97, 所以对数回归模型更合适. 把x=8代入回归方程=12ln x+22,得=12×ln 8+22=36ln 2+22≈47.2,所以当x=8万元时,预测A超市销售额为47.2万元. 6.解:(1)将已知条件制成下表. i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 4 9 16 25 36 90 =4;=5;=90;xiyi=112.3 设经验回归方程为x+, 于是有=1.23, =5-1.23×4=0.08, 故经验回归方程为=1.23x+0.08. (2)当x=10时,=1.23×10+0.08=12.38,即估计使用10年时维修费用是12.38万元. (3)因为=2.54,=3.77,=5,=6.23,=7.46, 所以残差平方和(yi-)2=0.651. (4)决定系数R2=1-=1-≈0.958 7,模型的拟合效果较好,使用年限解释了95.87%的维修费用支出. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$