8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第二课时) 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及应用 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（2） 1. 经验回归方程： 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 2. 最小二乘估计： 经验回归方程中的参数 计算公式为： 3.残差分析 残差是随机误差的估计值，通过对残差的分析可判断回归模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面的工作称为残差分析. 复习回顾 新知探究 例1 经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高，由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高. 在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据(如下表)，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 分析：求一元线性回归方程的步骤： （1）以成对样本数据描出散点图，通过散点图观察成对样本数据是否线性相关。 （2）计算样本相关系数r，判断两个变量之间的线性相关关系。(可省) （3）利用公式计算出，得到经验回归方程。 （4）残差分析：残差表、残差图及决定系数R2对回归模型的拟合效果进行评估。 以胸径为横坐标,树高为纵坐标作散点图： 新知探究 散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系. 用d表示胸径 , h表示树高 , 根据据最小二乘法 , 计算可得经验回归方程为 相应的经验回归直线如图所示. 解: 1.画散点图 2.求经验回归方程 编号 胸径/cm 树高观测值/m 树高预测值/m 残差/m 1 18.1 18.8 19.4 -0.6 2 20.1 19.2 19.9 -0.7 3 22.2 21.0 20.4 0.6 4 24.4 21.0 20.9 0.1 5 26.0 22.1 21.3 0.8 6 28.3 22.1 21.9 0.2 7 29.6 22.4 22.2 0.2 8 32.4 22.6 22.9 -0.3 9 33.7 23.0 23.2 -0.2 10 35.7 24.3 23.7 0.6 11 38.3 23.9 24.4 -0.5 12 40.2 24.7 24.9 -0.2 3.计算残差：根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)以及相应的残差，如表所示. 新知探究 以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，如图(2)所示. 4.作残差图： 观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内. 可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高. 0 0.5 1.0 -0.5 -1.0 15 20 25 30 35 40 残差/m 胸径/cm • • • • • • • • • • • • • • 45 (2) 新知探究 建立树的胸径和树高的关系是有实际意义的．实际上，在采伐设计、资源评估、森林规划调查等林业工作中常需测算森林蓄积量．可以从森林中抽取部分树木，通过树的胸径与树高估计抽到的每棵树的体积，进而推断整片森林的蓄积量．由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高．因此，建模时将胸径作为解释变量，树高作为响应变量，即树高作为响应变量是解决实际问题的需要． 回归分析的实际意义 例题小结 典例解析 例2 人们常将男 子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”. 下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据. 试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 1.