6.1 图上距离与实际距离（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

6.1　图上距离与实际距离 学习目标 1. 结合现实情境了解线段的比、成比例线段和比例中项等概念； 2. 理解并掌握比例的基本性质，并会运用基本性质解决简单的问题. 2 问题导学 什么是比？什么是比例？ 比例的基本性质是什么？ 知识回顾 1. 两数相除又叫做两个数的比. 比的前项除以后项所得的商叫做比值. 2. 表示两个比相等的式子叫作比例。组成比例的四个数， 叫作比例的项. 两端的两项叫作比例的外项， 中间的两项叫作比例的内项. 3. 在比例里， 两个外项的积等于两个内项的积， 这叫作比例的基本性质。 4 问题情境 欣赏下面两组图片，说一说它们有什么共同特点？ （1） （2） 形状相同，大小不同. 5 问题情境 （1） （2） 可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系. 形状相同而大小不同的两个图形，你认为如何描述它们的大小关系？ 6 在下面的两幅江苏省地图中，设连接南京与徐州的线段分别为a、b，它们的比(即a与b的长度的比)为a:b或，连接南京与连云港的线段分别为c、d，它们的比为c:d或，这两个比值相等吗? 尝试与交流 a b c d 2 2 在四条线段中,如果两条线段的比等于另两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段. 概念学习 注：两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 比例尺是两条线段的比的一种． 8 符号语言：在4条线段a、b、c、d中，如果a : b＝c : d 或 ＝（b≠0，d≠0），那么称这4条线段a、b、c、d是成比例线段或称a、b、c、d这四条线段成比例. 概念学习 9 思考与探索 1. 下图中，哪两个矩形的长和宽是成比例线段？ 6 9 8 4 6 4 （1） （2） （3） A B C D E F G H 矩形(1)和矩形(3)的长和宽是成比例线段. ＝成立吗？ 10 思考与探索 2. 下图中，线段A1B1、B1C1、A2B2、B2C2的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ A1 A2 B1 C1 C2 B2 解：如图，计算可得：A1B1＝2，B1C1＝2， A2B2＝，B2C2＝. ∵A1B1 : B1C1＝ : 2＝1 : ， A2B2 : B2C2＝: ＝1 : ， ∴A1B1 : B1C1＝A2B2 : B2C2， ∴A1B1、B1C1、A2B2、B2C2这四条线段是成比例线段. A1B1 : A2B2＝B1C1 : B2C2成立吗？ 11 3. 已知四条线段a＝3cm，b＝5mm，c＝10mm，d＝6cm，a、b、c、d是成比例线段吗？ a、b、d、c呢？ ＝6， 解：由a＝3cm，b＝5mm＝0.5cm，c＝10mm＝1cm，d＝6cm，得 ＝6， ∵ ， ∴ a、b、c、d不是成比例线段，a、b、d、c是成比例线段. 思考与探索 12 归纳与总结 怎样判断4条线段是否为“成比例线段”呢？ ①统一单位：将四条线段的长度单位统一，也可以把相同单位的放在一起； ②大小排序：将四条线段的长度按照由大到小或由小到大的顺序排列； ③计算判断：方法一：前两条线段的比是否等于后两条线段的比；方法二：前后两条线段的积是否等于中间两条线段的积. 注：若线段a、b、c、d成比例，只可以写成a:b＝c:d，即四条线段a、b、c、d成比例是有顺序性的，不能随便更改位置. 13 归纳与总结 比例的基本性质： 如果a : b=c : d，那么adbc；反过来，如果adbcb≠0，d≠0，那么a : bc : d. 在比例式a : bb : c (即b2ac)中，b 叫做a 和c 的比例中项. 注意：这里a、b、c、d不仅可以是任意的实数(b、d不能为0)，还可以是线段. 14 例题讲解 例1 某公园平面图上有一块三角形草地，三边长分别为4 cm、5 cm、6 cm. 已知这块三角形草地最短边的实际长度为80m，求另外两条边的实际长度. 解：比例尺＝图上距离 : 实际距离＝4 : 8 000＝1 : 2000. 三角形草地的另外两条边的实际长度分别为 5×2 000＝10 000（cm）＝ 100 m， 6×2 000＝12 000（cm）＝ 120 m. 答：这块三角形草地的另外两条边的实际长度分别为100m和120m. 单位要一致！ 15 例题讲解 例2 已知，且x＋y＝24. 求x、y的值. 设 k 法 解：设＝k，则x＝3k，y＝5k. ∵ x＋y＝24， ∴ 3k＋5k＝24，k＝3. ∴ x＝9，y＝15. 16 例题讲解 例3 如图，，AD＝15，AB＝40，AC＝28，求AE的长. A B C D E 解：由已知条件，得 DB＝AB－AD＝40－15＝25， EC＝AC－AE＝28－AE. 代入可得： 根据比例的基本性质，得 15(28－AE)＝25AE. 解关于 AE 的方程，得 AE＝10.5 . 17 例题讲解 例4 已知a＝4，c＝9，若b是a、c的比例中项，求b的值． 解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴； ∴， ∵，， ∴，即. 18 新知巩固 解：∵MN是线段，∴MN＞0； ∵线段MN是AB、CD的比例中项， ∴AB:MN＝MN:CD， ∴， ∴； ∵，， ∴； 不可能为负值，则. 已知线段MN是AB、CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．并思考两题有何区别． 通过解答、发现，、同时作为比例中项出现，可以取负值，而不可以取负值． 比例中项，若是线段，则为正；若是数，则可正可负. 19 新知巩固 1. 图纸上画出的某个工件的长为40 mm，如果比例尺为1 : 30，那么这个工件实际长度是多少？如果比例尺为2 : 1呢？ 解：40×30＝1200(mm)＝120cm， 40÷2＝20 (mm) ＝2cm. 答：如果比例尺为1 : 30，那么这个工件实际长度是120cm，如果比例尺为2 : 1，那么这个工件实际长度是2cm. 20 新知巩固 2. 已知，且a＋b＋c＝68. 求a、b、c的值. 解：设 k，则a9k，b11k，c14k. 由a＋b＋c68 ，得9k＋11k＋14k68，k2. a18，b22，c28. 21 新知巩固 3. 如图，＝2，求、的值. A B C D E 解：∵ ＝2， ∴ AD＝2DB，AE＝2EC， ∴ ＝ ＝＝3， ＝＝ ＝ . 22 新知巩固 4. 如图，，EF＝10，BC＝15，GD＝4，求AD的长. A B C E F G D 解：∵，EF＝10，BC＝15，GD＝4， ∴ ， ∵AG＝AD－GD＝AD－4， ∴ ， 解得AD＝12. 23 成比例线段的概念 比例中项的概念 比例的基本性质 课堂总结 当堂检测 基础过关 1．某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是( ) A．1:30 B．1:3000 C．1:900 D．1:90000000 B 25 当堂检测 基础过关 2. 下列线段中，是成比例线段的是 ( 　 ) A．3 cm，6 cm，8 cm，9 cm B．3 cm，5 cm，6 cm，9 cm C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．30mm，60mm，9 cm，18 cm D 26 当堂检测 基础过关 3．若，则下列等式成立的是 ( ) A． B． C． D． D 4．若，则的值为 ( ) A． B．1 C．1.5 D．3 A 27 当堂检测 基础过关 5. 在运动会上，裁判员测得小丽和小梅跳远时的成绩分别为AB＝2.9米，CD＝310厘米，线段AB与CD的比为________. 6. (1)如果a为4和9的比例中项，则a＝_____； ±6 (2)已知a＝4cm，b＝5cm，则线段a、b的比例中项x＝_____cm. 2 28 当堂检测 基础过关 7.如图，已知＝＝，AC＝9，则＝________，AE＝______. A B C D E 6 29 当堂检测 基础过关 8. 已知线段a、b、c满足＝＝，且a＋2b＋c＝26. (1)求线段a、b、c的长； 解：(1)设＝k，则a＝3k，b＝2k，c＝6k， ∵a＋2b＋c＝26， ∴3k＋2×2k＋6k＝26，解得k＝2， ∴a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12. 30 当堂检测 基础过关 解：(2)∵线段m是线段a，b的比例中项， ∴m2＝ab＝6×4＝24， ∴m＝2或m＝－2(舍去)， ∴线段m的长为2. 8. 已知线段a、b、c满足＝＝，且a＋2b＋c＝26. (2)若线段m是线段a、b的比例中项，求线段m的长. 31 当堂检测 基础过关 解：∵，∴． ∵AB6，AC4，BC5， ∴，解得：CD2， ∴BDBC－CD＝5－23． 9. 如图，已知△ABC中，，且AB6，AC4，BC5，求CD和BD的长． A B C D 32 当堂检测 能力提升 1. 在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是 ( ) A．17km B．34km C．170km D．340km C 33 当堂检测 能力提升 2. 把ad＝bc写成比例式，不正确的是 ( ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ C 3. 线段AB内一点P，且AP2＝ABBP，AB＝1，则AP为( ) A． B． C． D． C 34 当堂检测 能力提升 4. 已知≠0，则＝____； 如果，则 ＝___. 3 5. 8与2的比例中项是__________；45与_______的比例中项是8； 线段a＝3，b＝12，则线段a，b的比例中项是______. 4或－4 6 35 当堂检测 能力提升 6. 小明的身高为1.6 m，在某一时刻，他的影长为2 m，小明的身高与影长的比为 ． 4：5 7. 已知有三条长度分别为1 cm，4 cm，8 cm的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，则所添线段的长度为___________________. 32cm或 2cm或 cm 36 当堂检测 能力提升 8. 已知a，b，c是△ABC的三边长，满足＝＝，且a＋b＋c＝12，请你探索△ABC的形状. 解：设＝ ＝＝k，则a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8， 代入a＋b＋c＝12，得9k－15＝12，解得k＝3， ∴a＝5，b＝3，c＝4， ∴b2＋c2＝a2， ∴△ABC为直角三角形. 37 当堂检测 能力提升 9.如图，在△ABC中，AB＝12 cm，AE＝6 cm，EC＝4 cm，且＝. (1)求AD的长； 解：(1)设AD＝x cm，则BD＝AB－AD＝(12－x)cm. ∵＝，∴ ＝ ，解得x＝7.2. 经检验，x＝7.2是原方程的根， ∴AD＝7.2 cm. A B C D E 38 当堂检测 能力提升 9.如图，在△ABC中，AB＝12 cm，AE＝6 cm，EC＝4 cm，且＝. (2)求证：＝ . (2)证明：∵AB＝12 cm，AD＝7.2 cm， ∴BD＝AB－AD＝12－7.2＝4.8(cm)， ∴＝0.4. ∵AE＝6 cm，EC＝4 cm, ∴AC＝AE＋EC＝6＋4＝10(cm), 　 ∴＝0.4，∴＝. 39 2021 Blues 4800.0 $$