第2章 二次函数 单元测试卷 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

第二章　 二次函数 一　选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 1.(2021·浙江绍兴中考)关于二次函数y=2(x-4)2+6,下列说法正确的是 (　　) A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6 2.(2021·江苏无锡新吴区期末)二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(-1,0),则代数式a-b的值为 (　　) A.0 B.-2 C.-1 D.2 3.如图,直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx+c交于A(-3,1)和B(1,2)两点,使y1>y2的x的取值范围是 (　　) A.x>1 B.x>-3 C.x>1或x<-3 D.-3<x<1 4.(2020·上海奉贤区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表: x … 0 1 3 4 5 … y … -5 - - -5 - … 关于它的图象,下列判断正确的是 (　　) A.开口向上 B.对称轴是直线x=1 C.一定经过点(-1,-) D.在对称轴左侧部分自左至右是下降的 5.(2020·云南楚雄州双柏县一模)若抛物线y=x2-4x-1可由抛物线y=x2平移得到,则平移方式可能是 (　　) A.先向右平移2个单位,再向下平移5个单位 B.先向左平移4个单位,再向上平移1个单位 C.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位 D.先向左平移4个单位,再向下平移5个单位 6.(2021·广东广州番禺区校级期中)若二次函数y=x2-6x+5,当2≤x≤6时的最大值是n,最小值是m,则n-m= (　　) A.3 B.9 C.7 D.5 7.(2021·广东深圳宝安区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,则下列结论不正确的是 (　　) A.abc>0 B.4a-2b+c<0 C.3b+2c>0 D.m(am+b)+b≤a(m是任意实数) 8.(2021·安徽桐城期末)一次函数y=ax-b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是 (　　) A B C D 9.(2020·湖北武汉江汉区一模)如图,隧道的截面可以看作由抛物线的一部分和一个长方形OABC构成,长方形的长BC是12 m,宽AB是4 m.按照图中所示的平面直角坐标系,抛物线可以用y=-x2+bx+c表示.在抛物线型拱璧上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8 m.那么两排灯的水平距离最小是 (　　) A.4 m B.4 m C.4 m D.2 m (第9题图)　 (第10题图) 10.如图,在矩形ABCD中,AB=2,点E在边AD上,∠ABE=45°,BE=DE,连接BD,动点P在线段DE上(不与D,E重合),过点P作PQ∥BD交BE于点Q,连接QD.设PD=x,△PQD的面积为y,则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是 (　　) A　 　 B C　　 D 二　填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11.(2021·安徽合肥期末)若y=(2-a)是二次函数,则a=　　　　.  12.学校打算用20 m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,则小兔活动的最大范围是　　　　m2.  13.[新风向·开放性试题](2021·江苏泰州姜堰区一模)已知二次函数y=-kx2+(1-4k)x+3(k为常数,且k>0),当x<m时,y随x的增大而增大,则满足条件的整数m的值可以为　　　　.(写出一个即可)  14.飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间t(单位:s)之间的函数解析式为y=60t-t2.则在飞机着陆滑行过程中,最后2 s滑行的距离是　　　　m.  15.(2020·湖北武汉模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,5),且无论m为何值,不等式a+b≥am2+bm恒成立,则关于x的方程ax2+bx+c=5的解为　　　　　.  16.(2020·湖北鄂州鄂城区期中)已知y关于x的函数y=k2x2-(2k-1)x+1的图象与坐标轴只有两个不同的交点A,B,P点坐标为(3,2),则△PAB的面积为　　　　　　.  三　解答题(共6小题,共52分) 17.(7分)(2021·湖南常德期末)已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(-3,0),(2,-5). (1)求二次函数的表达式; (2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上. 18.(7分)如图,某景区内有一块长为8 m,宽为6 m的矩形鲜花田地,计划在鲜花田地上修建一条观花道(图中阴影部分,观花道在矩形田地边上的长度均为x m)供游人赏花,设改造后剩余鲜花田地面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (2)若改造后观花道的面积为13 m2,求x的值. 19.(9分)(2021·河南模拟)小亮遇到一个函数y=x4-4x2+2,他想利用学习函数的经验探究这个函数的图象与性质,以下是他的探究过程.(y保留一位小数) (1)列表: x … -2 -1.85 -1.7 -1.39 -1.05 -0.76 -0.61 0 y … 2.0 0 -1.2 -2.0 -1.2 0 0.7 m x 0.61 0.76 1.05 1.39 1.7 1.85 2 … y 0.7 0 -1.2 -2.0 -1.2 0 n … 其中m=　　　　,n=　　　　.  (2)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各组已知对应值为坐标的点,补全另外两组坐标点,根据描出的点,画出该函数的图象. (3)观察函数图象,写出一条该函数的性质　　　　　　　　　　　　.  (4)进一步探究函数图象发现: ①方程x4-4x2+2=0有　　　　个互不相等的实数根;  ②有两个点(x1,y1)和(x2,y2)在此函数图象上,当x2>x1>2时,y1　　　　y2(填“>”“<”或“=”);  ③根据a的取值范围判断关于x的方程x4-4x2+2=a的实数根情况. 20.(9分)(2020·山东青岛模拟)小李在某景区销售一种旅游纪念品,已知每件进价为6元,当销售单价定为8元时,每天可销售200件.经市场调查,销售单价每提高1元,日销量将会减少10件,而物价部门规定,销售单价不能超过12元.设该纪念品的销售单价为x(元),日销量为y(件),日销售利润为w(元). (1)求y与x之间的函数关系式. (2)要使日销售利润为720元,销售单价应定为多少元? (3)求日销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,计算当x为何值时,日销售利润最大,求出最大利润. 21.(10分)[新风向·探究性试题]如图,在小明的一次投篮中,球出手时离地面高2米,与篮筐中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米.篮球运行的轨迹为抛物线,篮筐中心距离地面3米,通过计算说明此球能否投至篮筐中心.(不考虑篮球大小和篮球的反弹) 探究一:若出手的角度、力度和高度都不变,则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮能将篮球投至篮筐中心? 探究二:若出手的角度、力度和高度都发生改变,但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮筐中心的水平距离不变,则小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心? 22.(10分)(2020·河南郑州模拟)如图,若抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=x-3经过点B,C. (1)求二次函数的表达式. (2)点P是直线BC下方抛物线上一动点,过点P作PH⊥x轴于点H,交BC于点M,连接PC. ①线段PM是否有最大值?如果有,求出最大值;如果没有,请说明理由. ②在点P运动的过程中,是否存在点M,恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 第二章　二次函数 1.D　∵二次函数y=2(x-4)2+6,a=2>0,∴该函数图象开口向上,有最小值,当x=4时取得最小值6. 2.B　把点(-1,0)代入y=ax2+bx+2,得a-b+2=0,即a-b=-2. 3.D　∵直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx+c交于A(-3,1)和B (1,2)两点,∴由图象可知,直线y1=mx+n在抛物线y2=ax2+bx+c上方时,y1>y2,此时自变量x的取值范围为-<x<1. 【破题关键】解答此题的关键是利用数形结合的思想方法找出当y1>y2时,自变量x的取值范围. 4.C　由表格中点(0,-5),(4,-5),可知抛物线的对称轴为直线x=2.设抛物线的解析式y=a(x-2)2+k(a≠0),将点(0,-5),(1,-)代入,得a=-,k=-3,∴抛物线的解析式为y=-(x-2)2-3,∴抛物线开口向下,抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的.将x=-1代入,得y=-.故选C. 5.A　因为y=x2-4x-1=(x-2)2-5,所以将抛物线y=x2先向右平移2个单位,再向下平移5个单位即可得到抛物线y=x2-4x-1.故选A. 【排雷避坑】本题如果对平移与点的坐标变化之间的关系理解不透彻,易把平移的方向搞反. 6.B 【图示速解】原式可化为y=(x-3)2-4,可知二次函数的顶点坐标为(3,-4),所以最小值m=-4.当y=0时,x2-6x+5=0,解得x1=1,x2=5.如图,当x=6时,y=(6-3)2-4=5,即n=5. 则n-m=5-(-4)=9. 7.C　∵抛物线开口向下,∴a<0.∵对称轴为直线x=-1,∴-=-1,∴b=2a<0.∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴,∴c>0,∴abc>0,故A正确.由题图可得,当x=-2时,y=ax2+bx+c=4a-2b+c<0,故B正确.当x=1时,y=ax2+bx+c=a+b+c<0.∵b=2a,∴+b+c<0,∴3b+2c<0,故C不正确.当x=-1时,y取得最大值,即am2+bm+c≤a-b+c,故m(am+b)+b≤a(m是任意实数),故D正确. 8.D　选项A中,由二次函数图象可知a<0,-<0,所以b<0.由一次函数图象可知a>0,-b>0,则b<0.因为在同一坐标系中得出的a的取值范围相互矛盾,所以选项A错误.选项B中,由二次函数图象可知a<0,-<0,所以b<0.由一次函数图象可知a<0,-b<0,则b>0.因为在同一坐标系中得出的b的取值范围相互矛盾,所以选项B错误.选项C中,由二次函数图象可知a>0,-<0,所以b>0.由一次函数图象可知a<0,-b>0,则b<0.因为在同一坐标系中得出的a与b的取值范围都相互矛盾,所以选项C错误.选项D中,由二次函数图象可知a>0, -<0,所以b>0.由一次函数图象可知a>0,-b<0,则b>0,所以选项D正确.故选D. 9.A　根据题意,得OA=12,OC=4.所以抛物线的顶点横坐标为6,即-=6,所以b=2,因为C(0,4),所以c=4,所以抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+4=-(x-6)2+10.当y=8时, 8=-(x-6)2+10,解得x1=6+2,x2=6-2,所以x1-x2=4,所以两排灯的水平距离最小是4 m.故选A. 10.C　过点Q作QF⊥AD于点F.在Rt△ABE中,∵∠ABE=45°,∴BE=AB=2, ∴DE=BE=2.∵PQ∥BD,∴∠EPQ=∠EDB,∠EQP=∠EBD.∵BE=DE,∴∠EDB=∠EBD, ∴∠EPQ=∠EQP,∴QE=PE=2-x.在Rt△EQF中,∠FEQ=45°,∴QF=EQ=2-x, ∴y=x(2-x)=x-x2(0<x<2),该二次函数的最大值为.故选C. 11.-2　由题意得a2-2=2且2-a≠0,解得a=-2. 12.25　设围成的长方形生物园的长为x m,则宽为(10-x)m,围成的长方形生物园的面积为S m2,则S=x(10-x)=-x2+10x=-(x-5)2+25,当x=5时,S取得最大值25,∴小兔活动的最大范围是25 m2. 13.-3(答案不唯一,小于-2的整数均可)　∵k>0,∴-k<0,∴抛物线开口向下,∴在对称轴左侧,y随x的增大而增大.∵-=-=-2,∴当m≤-2时,y随x的增大而增大. ∵k>0,∴-2>-2,∴只要m<-2即可,∴m可取-3. 14.6　当y取得最大值时,飞机停下来,因为y=60t-t2=-(t-20)2+600,所以飞机着陆后滑行600 m才能停下来,t的取值范围是0≤t≤20.当t=18时,y=594,600-594=6(m),故在飞机着陆滑行过程中,最后2 s滑行的距离是6 m. 15.x1=-1,x2=3　∵不等式a+b≥am2+bm恒成立,∴a+b+c≥am2+bm+c恒成立,∴点(1,a+b+c)是抛物线的顶点,∴直线x=1为抛物线的对称轴.∵点(-1,5)关于直线x=1对称的点为(3,5),∴当y=5时,x=-1或3,∴关于x的方程ax2+bx+c=5的解为x1=-1,x2=3. 16.1或　设点A,B分别是函数的图象与x轴,y轴的交点.①当k≠0时,该函数为二次函数,函数与坐标轴只有两个不同的交点,则Δ=(1-2k)2-4k2=0,解得k=,所以y=x2+x+1,令y=0,则x=-4,令x=0,则y=1,故A(-4,0),B(0,1).如图,设直线AP交y轴于点H,直线AP的函数表达式为y=ax+b,则解得故直线AP的函数表达式为y=x+. 令x=0,则y=,故H(0,),所以BH=-1=,所以S△PAB=S△BHA+S△BHP=××(xP-xA)= ××(3+4)=.②当k=0时,y=x+1,直线和坐标轴只有两个交点,即点A(-1,0),B(0,1).同理可得直线AP的函数表达式为y=x+,故H(0,)(点H在点B下方),所以BH=1-=,所以S△PAB=S△BHA+S△BHP=××(xP-xA)=××(3+1)=1.综上,△PAB的面积为1或. 【排雷避坑】本题易出现的错误是只考虑二次函数的情况,而忽视函数有可能是一次函数. 17. 【参考答案】(1)把点(-3,0),(2,-5)代入y=ax2+bx+3,得解得 则二次函数的表达式为y=-x2-2x+3. (4分) (2)当x=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3, 即点P(-2,3)在这个二次函数的图象上.　 (7分) 18. 【参考答案】(1)由题意得,y=(8-x)(6-x)×2=x2-14x+48(0<x<6). (3分) (2)由题意得,6×8-(x2-14x+48)=13,解得x1=1,x2=13(舍去),所以x=1, 故当观花道的面积为13 m2时,x的值是1. (7分) 19.(1)2.0　2.0 (2分) 【解法提示】当x=0时,y=04-4×02+2=2.0,则m=2.0;当x=2时,y=24-4×22+2=2.0, 则n=2.0. (2)图象如下. (4分) (3)函数图象关于y轴对称(答案不唯一,合理即可) (5分) (4)①4 (6分) ②< (7分) ③由图象可知, 当a<-2时,方程无实数根; 当a=-2或a>2时,方程有2个实数根; 当-2<a<2时,方程有4个实数根; 当a=2时,方程有3个实数根. (9分) 20. 【参考答案】(1)根据题意,得y=200-10(x-8)=-10x+280, 故y与x之间的函数关系式为y=-10x+280. (2分) (2)根据题意,得(x-6)(-10x+280)=720, 解得x1=10,x2=24(不合题意,舍去). (4分) 答:要使日销售利润为720元,销售单价应定为10元. (5分) (3)根据题意,得w=(x-6)(-10x+280)=-10(x-17)2+1 210. ∵-10<0,∴当x<17时,w随x的增大而增大. ∵x≤12,∴当x=12时,w最大,最大利润为960元, (8分) 答:当x为12时,日销售利润最大,最大利润960元. (9分) 21.∵抛物线的顶点坐标为(4,4),∴设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+4. (2分) ∵抛物线过点(0,2),∴2=16a+4,∴a=-,∴y=-(x-4)2+4, 当x=7时,y=-+4=≠3, ∴此球不能投至篮筐中心. (4分) 探究一:设向前移动h米,由题意可得y=-(x-4-h)2+4, 代入点(7,3),得3=-(7-4-h)2+4,解得h1=3-2,h2=3+2(不合题意,舍去), 即向前移动(3-2)米,可投至篮筐中心. (7分) 探究二:设y=m(x-4)2+4. 投至篮筐中心,即代入点(7,3),得3=m(7-4)2+4, 解得m=-, ∴y=-(x-4)2+4, 当x=0时,y=,-2=, 即小明出手的高度要增加米,可将篮球投至篮筐中心. (10分) 22.【解题思路】(1)先求出B,C两点的坐标,然后代入y=x2+bx+c中求b,c的值,即可求出二次函数的表达式.(2)①列出PM关于x的二次函数表达式,并求出函数的最大值;②分PM=PC,PM=MC两种情况求解. 【参考答案】(1)∵直线y=x-3经过点B,C,当x=0时,y=-3,当y=0时,x=3,∴B(3,0),C(0,-3). 将B,C两点的坐标代入y=x2+bx+c,得解得 故二次函数的表达式为y=x2-2x-3. (3分) (2)设M(x,x-3),则P(x,x2-2x-3). ①线段PM有最大值. (4分) PM=(x-3)-(x2-2x-3)=-(x-)2+. ∵-1<0,∴PM有最大值.当x=时,PM最大为. (6分) ②存在. (7分) PM2=(x-3-x2+2x+3)2=(-x2+3x)2, PC2=x2+(-3-x2+2x+3)2=x2+(2x-x2)2, MC2=(x-3+3)2+x2=2x2. 当PM=PC时,(-x2+3x)2=x2+(2x-x2)2,解得x1=2,x2=0(舍去),∴P(2,-3). (8分) 当PM=MC时,(-x2+3x)2=2x2,解得x1=3-,x2=0(舍去),x3=3+(舍去), ∴P(3-,2-4). (9分) 综上,点P的坐标为(2,-3)或(3-,2-4). (10分) 学科网（北京）股份有限公司 $$