清单02 几何图形的初步知识（考点清单，17考点&16题型解读&6提升训练）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材冀教版

清单02 几何图形的初步知识（17个考点梳理+16个题型解读+6个提升训练） 【清单01】丰富的图形世界 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 【清单02】点、线、面、体之间的关系 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 【清单03】图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 【清单04】图形的展开与折叠 1、的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形； 2、体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 3、长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： 4、棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 5、能展开成平面图形． 【清单05】三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 【清单06】线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 【清单07】线段、射线的基本性质 1、直线的性质:两点确定一条直线． 2、线段的性质:两点之间，线段最短． 【清单08】画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 【清单09】线段的比较与运算 线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. 【清单10】线段的和差 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 【清单11】线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 【清单12】角的表示 1、角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 2、角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 【清单13】角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 【清单14】角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 【清单15】角的比较与运算 角的比较方法: ①度量法；②叠合法. 【清单16】画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 【清单17】角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线 【考点题型一】几何体的点、线、面、体 例1：小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（    ） A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 2．如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 3．如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 4．一个正棱锥有六个顶点，所有侧棱长的和为，则每条侧棱的长是 ． 5．用平面截一个n棱柱，得到的截面边数最多是8条边，且这个n棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为，则这个n棱柱的棱长之和为 ． 6．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 【考点题型二】点、线、面、体之间的关系 例2：下列现象属于面动成体的是（   ） A．雨滴滴下来形成雨丝 B．旋转门的旋转 C．汽车雨刷的转动 D．流星划过夜空 8．在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来是平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 9．折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了 ． 10．中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．从数学的角度，“枪挑一条线”可解释为 ；“棍扫一大片”可解释为 ． 【考点题型三】平面图形旋转得到的几何体 例3：如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 12．如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．这两个圆柱的侧面积之比为： ．    13．如图，将长和宽分别为和的长方形分别绕它的长和宽旋转一周，算一算，得到的两个几何体的体积相等吗? 如果不相等，哪个体积大?（π取3） 14．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长分别为，和的直角三角形，绕不同的边所在的直线旋转一周，得到了如图所示的几何体．    (1)绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；（请填写序号） (2)请计算图①和图②中几何体的体积．（结果保留，圆锥体积底面积高） 15．如图，在直角三角形中，，边长，边长，，高长，，．求此三角形绕着它的边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为多少． 16．（1）如图所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有多少个面？这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？它的侧面积是多少？ （2）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． ①上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； ②请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 【考点题型四】直线、射线、线段之间的关系 例4：以下关于图的表述，不正确的是（　　） A．点C在直线外 B．点D在直线上 C．射线是直线的一部分 D．直线和直线相交于点B 18．下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线的长度是 C．直线相交于点M D．线段与射线在同一条直线上 19．观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 20．如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【考点题型五】与直线、射线、线段有关的作图问题 例5：如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，交于点O； (3)画射线，，交于点P． 22．如图，正方形网格中有四个点，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： (1)画出直线，并找出线段的中点O； (2)画出射线和射线． 23．如图，平面上有射线和点，请用尺规按下列要求作图： （1）连接，并在射线上截取； （2）连接，并延长到E，使． 24．如图，已知三点，，， (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并延长线段至点，使； 【考点题型六】直线、射线、线段的数量问题 例6：直线上有一点C，直线外有一点D，则A、B、C、D四点确定的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 26．阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … …    n 问题： (1)把表格补充完整； (2)根据上述得到的信息解决下列问题： ①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 27．如图： (1)试验观察：如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画 条直线；图②中最多可以画 条直线；图③中最多可以画 条直线． (2)探索归纳：如果平面上有个点，且任意3个点均不在一条直线上，那么经过两点最多可以画条直线．（用含n的式子表示） ． (3)解决问题：某班54名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握 次手． 28．若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 【考点题型七】线段的比较 例7：在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示她最好成绩的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 31．用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 32．如图，已知平面上A，B，C，D四个点． (1)按下列要求画图（不写画法）： ①连接； ②过点A，C作直线； ③作射线，交于点； (2)通过测量线段的长度，可知__________（填“”“＝”或“”），可以解释这一现象的基本事实为_________________． 33．如图，平面内有，，，四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若，，，四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站，要使供水站到，，，四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站的位置． 34．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【考点题型八】线段的和差 例8：如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 36．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 37．如图，线段，E、F、G分别是的中点，且，则的长为 ． 38．已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 39．一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 40．根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点． ①连接，画射线． ②画出一点P，使P到的距离之和最小，理由是________． (2)在（1）的条件下填空： ①图中共有________条线段． ②若，M是的一个三等分点，则的长为________． 41．（1）平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图： ①作直线； ②作射线交直线于点E； ③连接，交于点F； （2）图中共有______条线段； （3）若图中F是的一个三等分点，，已知线段上所有线段之和为12，求的长． 42．如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ； (2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【考点题型九】角的有关概念辨析 例9：下列说法不正确的是（    ） A．两个锐角的和不一定大于直角 B．两个钝角的和不一定大于平角 C．直角都等于 D．1周角=2平角=4直角 44．下列选项中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 45．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 46．如图，下面的说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．可以表示成或 C．直线和相交于点 D．射线和射线表示同一条射线 47．如图，是直角，则图中的锐角共有 个． 48．分别写出图中有多少个角？ (1)如图①，在的内部从点O引出两条射线，，数一数，图中共有多少个角？并写出来． (2)如图②，如果在的内部以点O为端点作n条射线，则图中一共有多少个角？ 【考点题型十】方位角 例10：如图，一艘船在处遇险后向相距50海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置（　　） A．南偏西，50海里 B．南偏西，50海里 C．北偏东，50海里 D．北偏东，50海里 50．如图，下列说法错误的是（   ）    A．的方向是北偏东 B．的方向是北偏西 C．的方向是南偏西 D．的方向是东南方向 51．如图，点A，B，O分别表示一个景点．经测量，景点B在景点O的北偏东方向，则景点A相对于景点O的方向是（    ） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏东方向 52．如图所示，下列说法正确的是 （填序号）． ①的方向是北偏东；②的方向是北偏西；③的方向是南偏西；④的方向是东南方向． 【考点题型十一】角的运算与换算 例11：可化为（   ） A． B． C． D． 54．已知，则下列说法正确的是（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 55． ． 56．比较大小： ．（填“”“”或“”） 57．计算： ； 58．计算：的结果为 ． 59．关于度、分、秒的换算． (1)用度表示； (2)用度表示； (3)用度、分、秒表示． 【考点题型十二】角度的比较 例12：如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 61．，，关于两个角的大小，下列正确的是（  ） A． B． C． D．无法确定 62．已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 63．如图，已知是内部的一条射线，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．可以用表示 D．与表示同一个角 64．比较与的大小，把它们的顶点A和边重合，把它们的另一边和放在的同一侧，若，则（    ） A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D．不能确定的位置 【考点题型十三】与三角板有关的角度计算 例13：如图①、图②、图③和图④，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形为（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 66．如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 67．将一副直角三角板的直角顶点重合，按照如图所示的方式摆放． (1)与相等吗，为什么？ (2)若，则的度数是多少？ 68．三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 69．如图①，将直角三角板的直角顶点O放在直线上．以点O为端点作射线，使． (1)如图①，若直角三角板的一边在直线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点O按逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求，的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 【考点题型十四】与角平分线有关的角度计算 例14：如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 71．如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 72．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 73．如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 【考点题型十五】与余角和补角有关的计算 例15：下列语句中，正确的是（   ） A．若，则是补角 B．若，则是直角 C．若与互为补角，则与中必有一个为锐角，另一个为钝角 D．若与互为余角，则 75．若的余角为，则的补角的大小是 ． 76．若一个角的余角与它的补角的和为，则这个角是 度． 77．如图，已知，与互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 78．利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 79．如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【考点题型十六】图形的旋转 例16：如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置也从点运动到了点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 81．如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 82．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，每次均旋转，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2024次旋转后得到的图形与图①-④中相同的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 83．如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（   ） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 84．图中的雪花图案是由一个“基本图形”经过旋转得到的，下面四个图形中，不能作为“基本图形”的是（    ） A． B． C． D． 85．数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示，在旋转过程中，小明发现的大小发生了变化，但它们的和不变，即 ； (2)若分别位于的上方和下方，如图所示，则之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线分别是的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 提升训练 86．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 87．李红所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳讲台上的粉笔． (1)图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)李红所在的综合实践小组把折叠的6个无盖正方体纸盒摆成图2所示的几何体． ①请在网格中画出从正面，左面和上面看到的这个几何体的形状图； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加______个正方体纸盒．    88．如果有两个点在由两条有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的三部分，那么这两个点依次叫做这条折线的“折点”和“折点”．如图，点和分别是折线的“折点”和“折点”． (1)当时，点与点______重合； (2)当时，若点为线段的中点，，，求的长； (3)若点在线段上，且，，，求的长（用含，的代数式表示）． 89．如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 90．如图，将射线、绕着射线的端点O从的位置起逆时针旋转． (1)若，绕着点O从的位置起逆时针旋转至． ①试求出的度数； ②设以度/秒的速度进行逆时针旋转，同时以度/秒的速度从的位置起进行逆时针旋转．当与重叠时，停止旋转，请说明：旋转过程中，； (2)若绕着点O从的位置起逆时针旋转至，旋转至停止，且满足．试求出与的度数之比． 91．点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； (3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 试卷第68页，共71页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 几何图形的初步知识（17个考点梳理+16个题型解读+6个提升训练） 【清单01】丰富的图形世界 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 【清单02】点、线、面、体之间的关系 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 【清单03】图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 【清单04】图形的展开与折叠 1、的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形； 2、体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 3、长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： 4、棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 5、能展开成平面图形． 【清单05】三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 【清单06】线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 【清单07】线段、射线的基本性质 1、直线的性质:两点确定一条直线． 2、线段的性质:两点之间，线段最短． 【清单08】画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 【清单09】线段的比较与运算 线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. 【清单10】线段的和差 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 【清单11】线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 【清单12】角的表示 1、角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 2、角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 【清单13】角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 【清单14】角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 【清单15】角的比较与运算 角的比较方法: ①度量法；②叠合法. 【清单16】画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 【清单17】角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线 【考点题型一】几何体的点、线、面、体 例1：小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（    ） A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了六棱柱的相关知识，根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形一一判断即可． 【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】C 【分析】本题主要考查了常见几何体的特点，侧面是长方形，底面是三角形，则该几何体是三棱柱，故该几何体有3条侧棱，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱，侧面都是长方形，底面是三角形，且共有3条侧棱， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 3．如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查截一个几何体，根据挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面，进行求解即可． 【详解】解：因为从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面， 所以第二个几何体有9个面． 故选：D． 4．一个正棱锥有六个顶点，所有侧棱长的和为，则每条侧棱的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了棱锥的相关性质，熟练掌握棱锥的性质是解题的关键； 棱锥：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥；棱锥的性质：棱锥有条棱，有个面，个侧面，条侧棱； 【详解】解：有六个顶点的正棱锥为正五棱锥，正五棱锥有条侧棱，它的每条侧棱长都相等，所以每条侧棱的长是． 故答案为：． 5．用平面截一个n棱柱，得到的截面边数最多是8条边，且这个n棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为，则这个n棱柱的棱长之和为 ． 【答案】27 【分析】本题考查截一个几何体，求棱长，根据截面最多是8边形，得到几何体为6棱柱，根据每个侧面都是正方形，求出一条棱长，进而求出棱长和即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∵每个侧面都是正方形，正方形的面积为， ∴每条棱长为， ∴棱长之和为：； 故答案为：27． 6．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 【考点题型二】点、线、面、体之间的关系 例2：下列现象属于面动成体的是（   ） A．雨滴滴下来形成雨丝 B．旋转门的旋转 C．汽车雨刷的转动 D．流星划过夜空 【答案】B 【分析】本题考查的是点、线、面、体的相关内容，点动成线，线动成面，面动成体，点、线、面、体组成几何图形． 根据线动成面判定即可得到答案． 【详解】解：A．雨滴滴下来形成雨丝，属于点动成线，故此选项不符合题意； B．旋转门的旋转，属于面动成体，故此选项符合题意； C．汽车雨刷的转动，属于线动成面，故此选项不符合题意； D．流星划过夜空，属于点动成线，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来是平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体的相关知识．熟练掌握由平面图形变成立体图形的过程是面动成体是解题的关键． 根据由平面图形变成立体图形的过程是面动成体判断作答即可． 【详解】解：由题意知，这种现象说明的数学道理是面动成体， 故选：C． 9．折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了 ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面． 故答案为：线动成面 10．中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．从数学的角度，“枪挑一条线”可解释为 ；“棍扫一大片”可解释为 ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查点、线、面、体．从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体，再结合题意即可求解． 【详解】解：枪挑一条线即为点动成线，棍扫一大片即为线动成面， 故答案为：点动成线，线动成面． 【考点题型三】平面图形旋转得到的几何体 例3：如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：观察如图，几何体可能是：空心的圆柱体． 故选：D． 12．如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．这两个圆柱的侧面积之比为： ．    【答案】1/ 【分析】本题考查了平面图形的旋转体和圆柱的侧面积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积，即可得出结果． 【详解】解：如图（1），圆柱的侧面积为， 如图（2），圆柱的侧面积为， ∴这两个圆柱的侧面积之比为。 故答案为：1 13．如图，将长和宽分别为和的长方形分别绕它的长和宽旋转一周，算一算，得到的两个几何体的体积相等吗? 如果不相等，哪个体积大?（π取3） 【答案】得到的两个几何体的体积不相等，绕它的宽旋转一周得到几何体的体积更大 【分析】本题考查旋转平面图形形成几何体，长方形旋转一周得到圆柱，再根据圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：将长方形分别绕它的长和宽旋转一周，得到都是圆柱体， 将长和宽分别为和的长方形绕它的长旋转一周，得到圆柱底面半径，高，则体积为， 将长和宽分别为和的长方形绕它的宽旋转一周，得到圆柱底面半径，高，则体积为， 所以得到的两个几何体的体积不相等，绕它的宽旋转一周得到几何体的体积更大． 14．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长分别为，和的直角三角形，绕不同的边所在的直线旋转一周，得到了如图所示的几何体．    (1)绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；（请填写序号） (2)请计算图①和图②中几何体的体积．（结果保留，圆锥体积底面积高） 【答案】(1)①，②，③ (2)题图①中几何体的体积为；题图②中几何体的体积为． 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握三角形旋转得到圆锥，是解题关键． （1）根据三角形旋转是圆锥，可得几何体； （2）根据圆锥的体积公式计算可得答案． 【详解】（1）解：绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图①；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图②；绕的边所在的直线旋转一周③， 故答案为：①，②，③ （2）解：题图①中几何体的体积为：； 题图②中几何体的体积为：． 15．如图，在直角三角形中，，边长，边长，，高长，，．求此三角形绕着它的边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为多少． 【答案】或或 【分析】本题考查了圆锥的体积公式，能根据已知条件求出旋转后的圆锥的底面半径和高是解此题的关键． 绕着边旋转，得到一个底面圆半径为3，高为4的圆锥；绕着边旋转，得一个底面圆半径半径为4，高为3的圆锥； 绕着边旋转， 得到两个底面相同的圆锥，底面圆半径都为，高分别为和． 【详解】解：三角形绕着边所在直线旋转一周，所得几何体的体积是 三角形绕着边所在直线旋转一周，所得几何体的体积是； 三角形绕边所在直线旋转一周，所得几何体是底面相同的一个正立，一个倒立的圆锥组合体，所以体积是． 答：所得几何体的体积为或或． 16．（1）如图所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有多少个面？这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？它的侧面积是多少？ （2）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． ①上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； ②请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 【答案】（1）这个棱柱共有8个面，有 12 个顶点，有18条棱；侧面积为；（2）①圆柱，面动成体；②方案一得到的圆柱的体积大 【分析】本题考查基本图形旋转得到的体积及棱柱、圆柱体积计算； （1）根据棱柱特征直接解答即可； （2）①根据面动成体解答即可；②先求出所得几何体体积再比较大小即可． 【详解】解：（1）①这个棱柱共有8个面，        有 12 个顶点，       有18条棱；       ②它的侧面积为 ； （2）①长方形旋转可以得到圆柱，上述操作能形成的几何体是圆柱， 说明的事实是：面动成体，           ②方案一：，     方案二：，       ∵，                       ∴方案一得到的圆柱的体积大． 【考点题型四】直线、射线、线段之间的关系 例4：以下关于图的表述，不正确的是（　　） A．点C在直线外 B．点D在直线上 C．射线是直线的一部分 D．直线和直线相交于点B 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，用到的知识点是直线、射线、线段的定义，点与直线、直线与直线的位置关系，熟记有关定义是本题的关键． 根据直线、线段、射线的定义，然后逐项进行判断即可选出答案． 【详解】解：A、点在直线外，正确，不符合题意； B、点在直线外，故原说法错误，符合题意； C、射线是直线的一部分，正确，不符合题意； D、直线和直线相交于点，正确，不符合题意； 故选：B． 18．下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线的长度是 C．直线相交于点M D．线段与射线在同一条直线上 【答案】D 【分析】根据直线、射线、线段的性质对各选项分析判断后利用排除法．本题主要考查了直线、射线、线段的特性，是基础题，需熟练掌握．本题考查了直线、射线的定义及表示方法：直线可用一个小写字母表示，如：直线，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线（或直线．射线是直线的一部分，可用一个小写字母表示，如：射线；或用两个大写字母表示，端点在前，如：射线．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．直线与射线都是无限长，不能度量．也考查了直线的性质公理． 【详解】解：A、射线和射线不是同一条射线，故本选项说法是错误； B、直线是无限长的，测量不了长度，故本选项说法是错误； C、直线不能用两个小写字母表示，故本选项说法是错误； D、两点确定一条直线，线段与射线在同一条直线上是正确的． 故选：D． 19．观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义进行判断． 【详解】解：直线是向两个方向无限延伸的，直线和直线是同一条直线，故正确； 线段有两个端点，不延伸，线段和线段是同一条线段，故不正确； 射线有一个端点，向一个方向无限延伸，射线和射线的端点相同，延伸的方向相同，是同一条射线，故正确； 说法正确的有个． 故答案为：． 20．如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：①以点A为端点的射线有射线，共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段有线段，共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故答案为：①④． 【考点题型五】与直线、射线、线段有关的作图问题 例5：如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，交于点O； (3)画射线，，交于点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画直线，射线和线段，掌握直线，射线和线段的定义，是解题的关键： （1）根据直线的定义，画图即可； （2）画出线段，，交于点O即可； （3）根据射线的定义，画图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，，，点O即为所求； （3）如图，射线，，点P即为所求． 22．如图，正方形网格中有四个点，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： (1)画出直线，并找出线段的中点O； (2)画出射线和射线． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）根据直线和线段中点的定义，即可求解； （）根据射线的定义，即可求解； 本题主要考查了直线、射线和线段及中点，熟练掌握直线、射线和线段及中点的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示， ∴直线，点即为所求； （2）解：如图所示， ∴射线即为所求． 23．如图，平面上有射线和点，请用尺规按下列要求作图： （1）连接，并在射线上截取； （2）连接，并延长到E，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段的画法；熟练掌握尺规作图是解题的关键． （1）由题意画出图形即可； （2）由题意画出图形即可． 【详解】（1）连接，并在射线上截； 如图1所示： （2）连接，并延长到E，使． 如图2所示： 24．如图，已知三点，，， (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并延长线段至点，使； 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了作图−−复杂作图、直线、射线、线段，解决本题的关键是根据语句准确画图． （1）根据射线的特征作图即可； （2）根据直线的特征作图即可； （3）画线段，并延长，画． 【详解】（1）解：如图，射线为所求； （2）解：如图，直线为所求； （3）解：如图，点即为所求． 【考点题型六】直线、射线、线段的数量问题 例6：直线上有一点C，直线外有一点D，则A、B、C、D四点确定的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，根据两点确定一条直线画出图形即可求解． 【详解】解：如图所示，则A、B、C、D四点能确定的直线有四条． 故选：C． 26．阅读：在直线上有n个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画图得如下表格： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系 2 1 3 3 4 6 … … … …    n 问题： (1)把表格补充完整； (2)根据上述得到的信息解决下列问题： ①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ ②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？ 【答案】(1)； (2)①15场；②132元 【分析】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到一条线段上有个点，可以得到条线段． （1）根据表格中的等式，得到以这些点为端点的线段总数共有条； （2）①根据（1）中的结论，进行求解即可；②根据（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：从左到右依次为；． 故答案为：，； （2）①把每一个班级看作一个点，则该校七年级的辩论赛共要进行（场）． ②由题意可得一共有12个车站，将其看作12个点，则线段的条数为． 因为有起点站和终点站之分， 所以需要安排种车票． 27．如图： (1)试验观察：如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画 条直线；图②中最多可以画 条直线；图③中最多可以画 条直线． (2)探索归纳：如果平面上有个点，且任意3个点均不在一条直线上，那么经过两点最多可以画条直线．（用含n的式子表示） ． (3)解决问题：某班54名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握 次手． 【答案】(1)3，6，10 (2) (3)1431 【分析】（1）根据图形画出直线即可； （2）根据上面得到的规律用代数式表示即可； （3）将代入公式即可求解． 本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细地观察图形并找到其中的规律． 【详解】（1）解：根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画3条直线；图②中最多可以画6条直线；图③中最多可以画10条直线； 故答案为：3，6，10； （2）解：如果平面上有个点，且任意3个点均不在一条直线上， ∴（条） 那么经过两点最多可以画条直线； 故答案为：； （3）解：某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）． 故答案为：1431. 28．若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 【答案】（1）3（2）6（3）（4）B 【分析】（1）直接利用线段的定义即可得到结论． （2）直接利用线段的定义即可得到结论． （3）根据（1）、（2）得到的结论进行解答． （4）单程两个站点有一种票，相当于两两组合，由结论式来解答． 此题考查直线、线段、射线，关键是掌握结论式．以及根据直线、线段、射线的区别解答． 【详解】解：（1）直线上有、、，线段总条数是：， 故答案为：3； （2）若直线上有四个点、、、，线段总条数是：， 故答案为：6； （3）若直线上有个点时，线段总条数． （4）解：（种， 要为这次列车制作的单程火车票10种． 故选：B． 【考点题型七】线段的比较 例7：在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查直线和线段，第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 【详解】第一、二、三幅图可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释． 故选：A． 30．体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示她最好成绩的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键．连结，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知， 所以表示她最好成绩的点是点P． 故选：C． 31．用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可． 【详解】解：依题意，能解释这一现象的数学道理是：两点之间，线段最短； 故答案为：两点之间，线段最短． 32．如图，已知平面上A，B，C，D四个点． (1)按下列要求画图（不写画法）： ①连接； ②过点A，C作直线； ③作射线，交于点； (2)通过测量线段的长度，可知__________（填“”“＝”或“”），可以解释这一现象的基本事实为_________________． 【答案】(1)见解析 (2)，两点之间线段最短 【分析】本题考查了应用与设计作图、直线、射线、线段、两点之间线段最短等知识，解决本题的关键是区别直线、射线、线段． （1）①连接即可；②画直线即可；③画射线，交于点O即可； （2）根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】（1）解：画图如图所示． （2）解：通过测量线段的长度，可知，可以解释这一现象的基本事实为两点之间线段最短， 故答案为：，两点之间线段最短． 33．如图，平面内有，，，四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若，，，四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站，要使供水站到，，，四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）①根据射线的定义画图即可； ②根据线段的定义画图即可； ③根据直线的定义画图即可； （2）线段与直线的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，射线即为所求； ②如图所示，线段即为所求； ③如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求． 34．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【答案】(1)见解析，理由为：两点之间，线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求，理由为两点之间，线段最短； （2）如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求； 理由为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【考点题型八】线段的和差 例8：如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出，，再根据，求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故选B． 36．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 37．如图，线段，E、F、G分别是的中点，且，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，设，中点得到：，根据，列出方程求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∵E、F、G分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：7． 38．已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 39．一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； 故答案为：； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 40．根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点． ①连接，画射线． ②画出一点P，使P到的距离之和最小，理由是________． (2)在（1）的条件下填空： ①图中共有________条线段． ②若，M是的一个三等分点，则的长为________． 【答案】(1)①见解析；②见解析，两点之间线段最短 (2)①8；②5或10 【分析】本题主要考查直线、射线、线段及线段的和差． （1）①根据题意作图即可；②根据两点之间线段最短，连接交于点P，点P即为所求， （2）①根据两点确定一条线段求解即可；②根据三等分点的定义求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，连接交于点P，点P即为所求， 理由为两点之间线段最短； （2）解：①图中有线段，共有8条线段， 故答案为：8； ②∵，M是的一个三等分点， ∴或， 故答案为：5或10． 41．（1）平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图： ①作直线； ②作射线交直线于点E； ③连接，交于点F； （2）图中共有______条线段； （3）若图中F是的一个三等分点，，已知线段上所有线段之和为12，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）（3） 【分析】本题考查直线、射线、线段作图，线段的数量，线段的和差，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）①根据直线概念作图即可； ②根据射线概念作图即可； ③连接，交于点F即可； （2）根据图形找出里面的线段即可，注意不要漏找，重复找； （3）根据题意得到，，结合线段上所有线段之和为12，推出，进而即可得到． 【详解】解：（1）①所作直线如图所示： ②所作射线交直线于点E如图所示： ③所作线段，交于点F如图所示： （2）由图可知线段有，，，，，，，，，，，共条， 故答案为：． （3）因为图中F是的一个三等分点，， 所以，， 因为线段上所有线段之和为12， 所以， 解得， 所以． 42．如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ； (2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①=；②21 (2) 【分析】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键． （1）①根据等式的性质，得出答案；②求出的值，在求出的长，进而求出的长即可； （2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 即：， 故答案为：=； ②∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：21； （2）解：如图1所示， 设每份为x，则，，， ∵P是的中点，点Q是的中点， ∴， 又∵， ∴， 解得，， ∴． 【考点题型九】角的有关概念辨析 例9：下列说法不正确的是（    ） A．两个锐角的和不一定大于直角 B．两个钝角的和不一定大于平角 C．直角都等于 D．1周角=2平角=4直角 【答案】B 【分析】本题考查的是角的概念．根据角的概念判断即可． 【详解】解：A、两个锐角的和不一定大于直角，本选项不符合题意； B、两个钝角的和一定大于平角，本选项符合题意； C、直角都等于，本选项不符合题意； D、1周角=2平角=4直角，本选项不符合题意； 故选：B． 44．下列选项中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的表示方法，解决这类问题的关键是要熟练掌握角的几种表示方法．根据角的表示方法对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】A．顶点O处有四个角， 这四个角均不能用表示，故本选项错误； B．顶点O处只有一个角， 这个角能用，，表示，故本选项正确； C．顶点O处有三个角， 这三个角均不能用表示，故本选项错误； D．顶点O处有3个角， 这3个角均不能用表示，故本选项错误； 故选：B． 45．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是角的表示方法，利用角的三种表示方法，逐个进行分析即可．熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键． 【详解】解：A．表示同一个角，不能用表示，故此选项不符合题意； B．不是同一个角，故此选项不符合题意； C．不能表示同一个角，不能用表示，故此选项不符合题意； D．，，可以表示同一个角，故此选项符合题意； 故选：D． 46．如图，下面的说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．可以表示成或 C．直线和相交于点 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的表示方法，射线和直线的相关概念，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、点不在直线上，原说法错误，不符合题意； B、可以表示成，不可以表示成，原说法错误，不符合题意； C、直线和相交于点，原说法正确，符合题意； D、射线和射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 47．如图，是直角，则图中的锐角共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了锐角的定义，锐角是指大于0度小于90度的角． 【详解】题图中的锐角有，共5个锐角 故答案为：5． 48．分别写出图中有多少个角？ (1)如图①，在的内部从点O引出两条射线，，数一数，图中共有多少个角？并写出来． (2)如图②，如果在的内部以点O为端点作n条射线，则图中一共有多少个角？ 【答案】(1)共有6个角，它们分别是，，，，， (2)个角 【分析】本题主要考查了角的概念，有理数的运算等知识点， （1）按照图示罗列出所有角即可； （2）罗列射线的条数n与角的个数，得出规律即可； 在规律探究时，按规则罗列一些代数式能够发现其中的规律是解本题的关键． 【详解】（1）共有6个角，它们分别是，，，，，； （2）如果在的内部作1条射线，这样一共有（个）角； 如果在的内部作2条射线，一共有（个）角； 如果在的内部作3条射线，一共有（个）角； ……以此类推； 如果在的内部以点O为端点作n条射线，一共有个角． 【考点题型十】方位角 例10：如图，一艘船在处遇险后向相距50海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置（　　） A．南偏西，50海里 B．南偏西，50海里 C．北偏东，50海里 D．北偏东，50海里 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键． 直接根据题意得出的长以及的度数，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：，海里， 故遇险船相对于救生船的位置是：南偏西，50海里， 故选：B． 50．如图，下列说法错误的是（   ）    A．的方向是北偏东 B．的方向是北偏西 C．的方向是南偏西 D．的方向是东南方向 【答案】A 【分析】此题考查了方位角．根据方位角的定义结合图形进行解答即可． 【详解】解：A. 的方向是北偏东，故选项错误，符合题意； B. 的方向是北偏西，故选项正确，不符合题意； C. 的方向是南偏西，故选项正确，不符合题意；     D. 的方向是东南方向，故选项正确，不符合题意； 故选：A 51．如图，点A，B，O分别表示一个景点．经测量，景点B在景点O的北偏东方向，则景点A相对于景点O的方向是（    ） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏东方向 【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角，平角，角的和差求角度，理解方位角是解题的关键． 记正北方为，由题意得出，根据算出，即可解题． 【详解】解：记正北方为，如图所示： ∵景点B在景点O的北偏东方向， ∴， ∵， ∴， ∴景点A相对于景点O的方向为北偏西方向． 故选：C． 52．如图所示，下列说法正确的是 （填序号）． ①的方向是北偏东；②的方向是北偏西；③的方向是南偏西；④的方向是东南方向． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了方位角，熟知方位角的定义是解题的关键． 根据方位角的定义逐一判断即可． 【详解】解：的方向是北偏东，①说法正确，符合题意； 的方向是北偏西，②说法错误，不符合题意； 的方向是南偏西，③说法正确，符合题意； 的方向是东南方向，④说法正确，符合题意； 故答案为：①③④． 【考点题型十一】角的运算与换算 例11：可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度分秒的换算，根据，进行计算即可． 【详解】解：， 故选D． 54．已知，则下列说法正确的是（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【答案】B 【分析】本题考查角度换算与大小比较，先统一换算成度表示，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最大， 故选：B． 55． ． 【答案】 【分析】本题考查了角的换算，掌握角度换算的方法是解题的关键． 根据，进行计算即可求解． 【详解】解：， ， 故答案为：①；② ． 56．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查度、分、秒换算，将化为，再进行比较即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 57．计算： ； 【答案】 【分析】本题主要考查角度的减法运算，掌握度、分、秒之间的单位换算是解题的关键．根据度、分、秒的计算方法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 58．计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】根据度分秒的换算计算即可， 本题考查了度分秒的换算，属于基础题． 【详解】解：， 故答案为：． 59．关于度、分、秒的换算． (1)用度表示； (2)用度表示； (3)用度、分、秒表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． （2）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． （3）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型十二】角度的比较 例12：如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【答案】B 【分析】本题考查比较角的大小，由图知，故可比较大小． 【详解】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 61．，，关于两个角的大小，下列正确的是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】本题主要考查角的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握度分秒的换算． 先换算单位，再进行比较． 【分析】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 62．已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较，注意：，． 【详解】解：， ∵， ∴， 只有选项B符合． 故选：B． 63．如图，已知是内部的一条射线，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．可以用表示 D．与表示同一个角 【答案】D 【分析】本题主要考查角的大小比较及角的概念，根据角的大小比较及角的概念进行逐一判断即可． 【详解】解：A．∵是内部的一条射线而不是角平分线，∴，故本选项不符合题意； B．可能大于，也可能小于，也有可能等于，故本选项不符合题意； C．不可以用表示，故本选项不符合题意； D．与表示同一个角，故本选项符合题意． 故选：D． 64．比较与的大小，把它们的顶点A和边重合，把它们的另一边和放在的同一侧，若，则（    ） A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D．不能确定的位置 【答案】A 【分析】此题考查利用重合的方法比较两个角的大小．如果两个角的顶点重合，且有一边重合，两角的另一边均落在重合边的同旁：如果这两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一条边在里面的小，在外面的大；由此方法直接填空即可． 【详解】解：比较与时，把它们的顶点A和边重合，把和放在AB的同一侧，若，则AD落在的内部． 故选：A． 【考点题型十三】与三角板有关的角度计算 例13：如图①、图②、图③和图④，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形为（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角板中的角度的关系，同角的余角相等，根据直角三角板中的角度分别求出和逐项求解即可． 【详解】图①，， ∴，符合题意； 图②，， ∴，不符合题意； 图③，根据同角的余角相等可得，符合题意； 图④，， ∴，符合题意； 综上所述，摆放位置中的图形为①③④． 故选：D． 66．如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，用含x的代数式表示出后根据建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 67．将一副直角三角板的直角顶点重合，按照如图所示的方式摆放． (1)与相等吗，为什么？ (2)若，则的度数是多少？ 【答案】(1)相等． 理由见解析 (2) 【分析】本题考查了三角板的角度计算，角度的和差计算； （1）根据，，结合三角板的特点可得，根据等式的性质，即可求解； （2）根据，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：相等． 理由如下： 因为，， 由题意可知，所以． （2）因为， 又因为， ， 所以． 68．三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线，与三角板有关的角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由角平分线可得，．由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知． ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 69．如图①，将直角三角板的直角顶点O放在直线上．以点O为端点作射线，使． (1)如图①，若直角三角板的一边在直线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点O按逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求，的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)， (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据，，求出结果即可； （2）根据角平分线的定义得出，．根据，求出； （3）根据图形得出，，相减即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：因为平分，， 所以，． 因为， 所以． （3）解：． 理由：因为，， 所以，， 所以， 所以． 【考点题型十四】与角平分线有关的角度计算 例14：如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算与证明是解本题的关键． （1）先求解，再证明，结合，从而可得答案； （2）证明，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 71．如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题考查余角与补，角度的计算，是基础题，熟记性质并准确识图，找出图中各角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得再根据补角的定义结合图形找出即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出，先求出，再根据角平分线的定义解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴ ∴的补角是或； （2）∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 72．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，（1）利用了对顶角相等，邻补角互补，（2）利用了角平分线的定义，邻补角互补的性质，角的和差． （1）根据对顶角相等，可得的度数，根据，可得，根据邻补角，可得答案； （2）根据角平分线的定义，可得，根据邻补角的关系，可得关于的方程，求出的度数，可得答案． 【详解】（1）由对顶角相等，得， 由把分成两部分且，得， 由邻补角，得； （2）平分， ． 由邻补角，得， 即， 解得． ∴，， ∴． 73．如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 【答案】(1)①，的补角的度数为；②，；与互补； (2)与不一定互补，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义等等： （1）①根据角的和差关系可求出的度数，进而可求出的补角的度数；②先求出的度数，再根据角平分线的定义分别求出的度数，再求出的度数即可得到结论； （2）根据角平分线的定义分别表示出的度数，再表示出的度数即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴的补角的度数为； ②∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）解：与不一定互补，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵不一定为， ∴不一定为 ∴与不一定互补． 【考点题型十五】与余角和补角有关的计算 例15：下列语句中，正确的是（   ） A．若，则是补角 B．若，则是直角 C．若与互为补角，则与中必有一个为锐角，另一个为钝角 D．若与互为余角，则 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角；如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角． 【详解】解：A．若，则是的补角，故原说法不正确； B．若，则不一定是直角，故原说法不正确； C．若与互为补角，则与中可能有一个为锐角，另一个为钝角，也可能两个都是直角，故原说法不正确； D．若与互为余角，则，正确； 故选D． 75．若的余角为，则的补角的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的补角和余角，熟练掌握角的补角和余角是解题的关键； 先计算出的度数，从平角为互补角的和，从而解得． 【详解】解：的余角为， ， 的补角为， 故答案为：． 76．若一个角的余角与它的补角的和为，则这个角是 度． 【答案】30 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，度数之和为90度的两个角互余，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x， 由题意得，， ∴， ∴这个角的度数为， 故答案为：30． 77．如图，已知，与互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据余角的定义可得：，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）， 理由：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 78．利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，由平角的性质可得，再由，即可求解； （2）同（1）的方法求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意知， ， ， ． 79．如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，的值为或． 【分析】（）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据与互补，即可得出，然后求解即可； （）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据角平分线的定义及，即可得出，然后求解即可； （）分情况画出图形讨论即可求解； 本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角与补角的定义，利用分类讨论的思想求解及掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）如图， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）存在， ∵与互余， ∴， ∵，平分， ∴， 如图， ∵， ∴， 解得； 如图所示， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 【考点题型十六】图形的旋转 例16：如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置也从点运动到了点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，根据旋转的性质得到，再利用等边对等角进行求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∴， 故选：D． 81．如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．根据旋转的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵是由绕着点旋转得到的， ∴，，，， 由已知条件无法得到， 故选： D． 82．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，每次均旋转，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2024次旋转后得到的图形与图①-④中相同的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，图形的变化类，由于每经过4次旋转后两矩形重合，而，所以第2024次旋转后得到的图形与图④相同． 【详解】解：∵， ∴第2024次旋转后得到的图形与图④相同． 故选：D． 83．如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（   ） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 【答案】D 【分析】本题考查了旋转角．解决本题的关键是根据射线旋转的方向和旋转的速度计算出旋转的角度，再根据两条射线形成的夹角的度数列方程求解即可 【详解】解：当时， 顺时针旋转， 逆时针旋转， 此时， 故A选项错误； 设旋转时，， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 整个运动过程中，存在的情况， 故B选项错误； 设旋转时，， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 两射线的旋转时间为秒或秒时， 故C选项错误； 当时，， ， ， 恰好平分， 故D选项正确． 故选：D． 84．图中的雪花图案是由一个“基本图形”经过旋转得到的，下面四个图形中，不能作为“基本图形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质对各选项逐项分析判即可得出答案． 【详解】 解：A. 图中的雪花图案是由“基本图形” 经过旋转、、、、得到的，故选项不符合题意； B. 图中的雪花图案是由“基本图形” 经过旋转、得到的，故选项不符合题意； C. 图中的雪花图案是由“基本图形” 经过旋转得到的，故选项不符合题意； D. 图中的雪花图案不能由经过旋转得到，因此它不能作为“基本图形”，故选项符合题意； 故选：． 85．数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示，在旋转过程中，小明发现的大小发生了变化，但它们的和不变，即 ； (2)若分别位于的上方和下方，如图所示，则之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线分别是的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)不成立，，理由见解析； (3)是， 【分析】本题考查角的和差计算及角平分线的定义，题目难度不大，掌握相关概念正确推理论证是解题关键． （1）根据平角和直角的概念分析求解； （2）根据平角和直角的概念及角的和差关系分析求解； （3）根据角平分线的定义及角的和差关系分析求解 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴当三角板在的上方， 故答案为：． （2）解：由题意可得：，， 若、分别位于的上方和下方， ∴，即， 故（1）中的关系不成立，之间的数量关系为． （3）射线、分别是的角平分线， ∴， ， ∴， ∵三角板始终在的上方，由（1）已得 ∴， 即的度数是一个定值为． 提升训练 86．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)这个几何体中所有棱长的和是51，表面积是120． 【分析】此题考查判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键． （1）只有棱柱从左面看和从正面看才能出现长方形，根据从上面看是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）3条长的高，加上两个三角形的周长就是几何体的所有棱长和；三个长为，宽分别为、、的长方形的面积与两个直角三角形的面积和就是表面积． 【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱； （2）解：这个几何体的所有棱长的和． 表面积． 87．李红所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳讲台上的粉笔． (1)图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)李红所在的综合实践小组把折叠的6个无盖正方体纸盒摆成图2所示的几何体． ①请在网格中画出从正面，左面和上面看到的这个几何体的形状图； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加______个正方体纸盒． 【答案】(1)①③④ (2)①见解析；②3 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，从不同方向看立体图形． （1）根据正方体的展开图，逐个分析即可求解； （2）①根据从正面，左面和上面看到的这个几何体的形状图，画出即可； ②根据题意，在第二层最多可以添加3个正方体纸盒． 【详解】（1）解：①③④能围成无盖的正方体． 故答案为：①③④； （2）解：①从正面，左面和上面看到的这个几何体的形状如下图；    ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以在第二层再添加3个正方体． 故答案为：3． 88．如果有两个点在由两条有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的三部分，那么这两个点依次叫做这条折线的“折点”和“折点”．如图，点和分别是折线的“折点”和“折点”． (1)当时，点与点______重合； (2)当时，若点为线段的中点，，，求的长； (3)若点在线段上，且，，，求的长（用含，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】此题考查了线段的和差运算，理解新定义并画出图形是解题关键． （1）首先由得到，然后根据题意得到，进而得到，即可得到点与点B重合； （2）首先求出，根据线段中点的概念得到，然后根据点N在线段上和点N在线段上两种情况讨论分别求解即可； （3）首先由，，得到，判断出点N在线段上，，然后分点M在线段上和点M在线段上两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵点和分别是折线的“折点”和“折点” ∴ ∴ ∴点与点B重合； （2）∵ ∴根据题意得， ∵点为线段的中点，， ∴ 如图所示，当点N在线段上时， ∴，不符合题意； 如图所示，当点N在线段上时， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）∵点在线段上，，， ∴ ∴ ∴点N在线段上， 如图所示，当点M在线段上时， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 如图所示，当点M在线段上时， ∴， ∵ ∴，， ∴ ∴ 综上所述，的长为或． 89．如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)是，见解析 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ， 解得：， ， 若，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ， ， ； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ， ； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ， ∵点分别是线段的中点， ， ， ∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下： 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴， ∴， ∴． ∴为定值． 90．如图，将射线、绕着射线的端点O从的位置起逆时针旋转． (1)若，绕着点O从的位置起逆时针旋转至． ①试求出的度数； ②设以度/秒的速度进行逆时针旋转，同时以度/秒的速度从的位置起进行逆时针旋转．当与重叠时，停止旋转，请说明：旋转过程中，； (2)若绕着点O从的位置起逆时针旋转至，旋转至停止，且满足．试求出与的度数之比． 【答案】(1)①；②见解析； (2)． 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）①根据角的和差关系，直接进行计算即可；②分别求出的度数，进行判断即可； （2）设，则，根据已知条件和角的和差关系得到，进而求出，的度数，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②如图， 由题意得，， ∴， ∴； （2）如图， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 91．点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； (3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ， 故答案为：； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或， 试卷第68页，共71页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$